三角函數(shù)專題(知識歸納記憶技巧典型真題題剖析)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角函數(shù)專題（知識歸納/記憶技巧 /典型真題剖析）一、 三角函數(shù)的概念任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個角，P( x, y) 是的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原yxy, x 0點(diǎn) ）， 它 與 原 點(diǎn) 的 距 離 是 rx2y20，那么s i n, c o stanrr ，x，xsecrcscr0cotxx 0 ，yy ( y 0) ，y。三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P 的位置無關(guān)。 如已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5， 12)，則 sincos 的值7為。（答：13 ）；二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）倒數(shù)關(guān)系：（ 2）商的關(guān)系（ 3）平

2、方關(guān)系： sin 2cos212、誘導(dǎo)公式三、兩角和與差的三角函數(shù)1、 兩角和與差的三角函數(shù)公式：2、二倍角公式sin 22sincos2tan；tan21cos2cos2sin 22cos21 12sin 21tan2； tan 22 tan1tan21tan2四、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)（1）注意會解三角函數(shù)在區(qū)間上的值域如：求sin,0, 上的取值范圍。42（2）注意求單調(diào)區(qū)間時的整體意識。如：求 ysin2x的單調(diào)增區(qū)間 ,在 0,2上的6單調(diào)增區(qū)間。而 y sin2x 求單調(diào)增區(qū)間時,先化成 ysin 2x的形式 ,再求66ysin2x的單調(diào)遞減區(qū)間。6（3）求對稱軸、對稱中心時,注意整

3、體意識,同時 ysin x、ycos x 在對稱軸處取最值。五、圖象變換：學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.函數(shù) yA sinxA0,0 的圖象可由ysin x 的圖象做如下變換得到(1) 、先平移后伸縮向左 (>0) 或向右 (0)y sxi的 圖象平移個單位長度得y sin(x)的圖象橫坐標(biāo)伸長 (0<<1) 或縮短 (>1)到原來的 1 (縱坐標(biāo)不變 )得 y sin( x) 的圖象縱坐標(biāo)伸長 ( A 1) 或縮短 (0< A<1)為原來的 A倍 (橫坐標(biāo)不變 )得 yA sin(x) 的圖象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 個單位長度得 y Asi

4、n( x) k 的圖象(2) 、先伸縮后平移y sin x 的圖象縱坐標(biāo)伸長 ( A 1) 或縮短 (0A 1)得 yAsin x 的圖象為原來的 A倍 ( 橫坐標(biāo)不變 )橫坐標(biāo)伸長 (01) 或縮短 ( 1)向左( 0)或向右( 0)到原來的 1(縱坐標(biāo)不變 )A sin(平移個單位得 yx) 的圖象向上(k 0) 或向下 ( k 0)得 yAsin x(x) 的圖象平移 k 個單位長度得 yA sin(x)k 的圖象2. 注 意 ：（ 1 ） 要 會 畫 yAsinx在 一 個 周 期 的 圖 象 ：（ 即 五 點(diǎn) 作 圖 法 ： 設(shè)tx0, , ,3, 2 ,求相應(yīng)的 x 值和對應(yīng)的y值

5、 ,描點(diǎn)作圖）如y2sin2x在0,2,26上的圖象的畫法。（ 2）注意圖象變換時先平移后伸縮和先伸縮后平移時平移單位的區(qū)別。要先使函數(shù)名稱相同再變換。如：為得到函數(shù)ycos 2 x的圖象 ,只需將函數(shù)y sin 2 x 的圖象向平移個單3位。（3） T2 , f1（頻率）。注意 y Asin x、 y Acos x相鄰兩對稱軸間的距離T為 T。2（4）已知圖象求解析式時注意：看振幅求 A ,看周期求,看特殊點(diǎn)求（通常是最大值或最小值時的位置）（ 5）已知變換求解析式時 ,注意只能對自變量 x 進(jìn)行變換。六方法技巧歸納：1.八大基本關(guān)系依據(jù)它們的結(jié)構(gòu)分為倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、 平方關(guān)系 ,用三角

6、函數(shù)的定義反復(fù)證明強(qiáng)化記憶 ,這是最有效的記憶方法。誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制表示都成立,記憶方法可概括為“奇變偶不變,符號看象限”,變與不變是相對于奇偶關(guān)系的函數(shù)而言的學(xué)習(xí)必備歡迎下載2.三角函數(shù)值的符號 在求角的三角函數(shù)值和三角恒等變換中,顯得十分重要3.在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡、求值和證明恒等關(guān)系時,要注意用是否“同角”來區(qū)分和選用公式,注意 切化弦、“ 1”的妙用、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,在利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡、求值時,要注意 正負(fù)號 的選取4.求三角函數(shù)值域的常用方法：求三角函數(shù)值域除了判別式、重要不等式、單調(diào)性等方法之外下方法：,結(jié)合三角函數(shù)的特點(diǎn),還有如（

7、1）將所給三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),通過配方法求值域；（ 2）利用 sin x,cos x 的有界性求值域；（ 3）換元法 ,利用換元法求三角函數(shù)的值域 ,要注意前后的等價性 ,不能只注意換元 ,不注意等價性七 . 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是， 已知一個角的三角函數(shù)值， 求此角的其它三角函數(shù)值。 在運(yùn)用平方關(guān)系解題時， 要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值， 盡可能地壓縮角的范圍， 以便進(jìn)行定號；在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值。 如sinm3cos42

8、m (2)5（1）已知m5 ，m5，則 tan _ （答：12 ）；tan1sin3 cos5213（ 2）已知 tan1cos3 ； sin 2sincos，則 sin5（ 3）已知 sin 200a ，則 tan160 等于Baa1a21a21 a 2B 、 1 a2A 、C、aD、a（ 4） f (cos x) cos3x ，則 f (sin 30) 的值為 1八 .三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记?/p>

9、有 :1巧變角 （已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如()()， 2() () ，2() () ，22，222等），如tan()2tan()1tan()34 ，那么22 ）；（1）已知5 ，44的值是 _（答：學(xué)習(xí)必備歡迎下載0cos()1sin(229) 的（ 2）已知，且2，23 ，求 cos(490值（答： 729）；cos(3（ 3）已知 ,為銳角， sinx,cosy)，5 ，則 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系為y31 x24 x(3x 1)_（答：55 5）2.三角函數(shù)名互化(切割化弦 ) ，如（ 1）求值 sin 50 (1 3 tan1

10、0 ) （答： 1）；sincos21（2）已知 11,tan()2 ) 的值（答：8 ）cos23 ，求 tan(3.公式變形使用 （ tantantan1 tantan。如（ 1）已知 A 、B 為銳角，且滿足tan A tan Btan Atan B1，則 cos( AB) _2（答：2 ）；3ABC 中， tan Asin Acos A(2) 設(shè)tan B33 tan Atan B ，4 ，則此三角形是_三角形（答：等邊）4.三角函數(shù)次數(shù)的降升(7) 正余弦“ 三兄妹 sinxcosx、sin xcosx ”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二” ，如t21（1）若sin xcosxt ， 則 sin

11、 x cosx_（答：2)，特別提醒：這里t 2 ,2 ；(0,),sincos147（2）若2 ，求 tan的值。（答：3）；sin 22sin 2k ()1tan2cos 的值（答： 1k ）。（ 3）已知4，試用 k 表示 sin學(xué)習(xí)必備歡迎下載典型真題1.若 ABC 的三個內(nèi)角滿足sin A :sin B :sin C 5:11:13 ，則 ABC B（A ）一定是銳角三角形 .（ B ）一定是直角三角形 .（C）一定是鈍角三角形 .(D) 可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.2.設(shè)函數(shù) f (x)4sin(2 x1)x ，則在下列區(qū)間中函數(shù)f ( x) 不存在零點(diǎn)的是 A（A ）4

12、, 2（ B ）2,0（C） 0,2（D ） 2,43.為了得到函數(shù)y sin(2 x)y sin(2 x)3 的圖像，只需把函數(shù)6的圖像B（A ）向左平移4 個長度單位（ B ）向右平移 4 個長度單位（ C）向左平移 2 個長度單位（D ）向右平移 2 個長度單位y sin( x)244.設(shè)0 ,函數(shù)3的圖像向右平移3個單位后與原圖像重合， 則的最小值是 C243（A） 3 （B） 3（C） 2 （D）45.設(shè)>0,函數(shù) y=sin(x+3 )+2的圖像向右平移3個單位后與原圖像重合，則的最小值是 C243（A） 3(B) 3(C) 2(D)3ysin x(0,)6）圖所示，則 D6

13、.已知函數(shù)2 的部分圖象如題（A.=1=6 B.=1=-6 C.=2=6D.=2=-6f ( x)s i xn ( 22)x22 s i n7.函數(shù)4的最小正周期是_ .tan(2a)418.已知 a是第二象限的角，3 ，則 tan a2學(xué)習(xí)必備歡迎下載3249.已知sin a7為第二象限的角，5 ,則 tan2ba6cos CantC antCa、b、c，abB =_ 。10.在銳角三角形ABC ，A 、B、C 的對邊分別為，則 tanA ant解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識的應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對于角A 、 B 和邊 a、 b 具有輪

14、換性。cosC1tan2 C1cosC1tan C2當(dāng) A=B 或 a=b 時滿足題意，此時有：3 ，21cosC2 ，22 ，tan AtanB12tan CtanCtanC2， tan Atan B = 4。ba6cos C6ab cosCa2b26ab a2b2c2a2b2 ,a2b23c2（方法二） ab，2ab2tanCtan Csin C cos B sin A sin B cos Asin Csin( AB)1sin2 Ctan Atan BcosCsin Asin BcosCsin Asin BcosCsin Asin Bcos2C1411.在ABC 中 ,角 A 、 B、 C

15、 所對的邊分別為a,b,c，已知(I) 求 sinC 的值；( )當(dāng) a=2， 2sinA=sinC 時，求 b 及 c 的長解析：本題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識110（）解：因為 cos2C=1-2sin2C=4 ，及 0 C 所以 sinC= 4 .ac（）解：當(dāng) a=2， 2sinA=sinC 時，由正弦定理 sinAsin C ，得 c=416由 cos2C=2cos2C-1=4 ， J 及 0 C 得 cosC=±4由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得b2±6 b-12=0 解得b= 6 或 26所以b= 6b= 6c=4或c=41

16、2. 在ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 邊上的一點(diǎn)，AD=10,AC=14,DC=6 ，求 AB 的長 .解在 ADC 中， AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得學(xué)習(xí)必備歡迎下載AD2DC 2AC 2100361961cos2AD DC= 21062 ,ADC=120 ° ,ADB=60 °在 ABD 中， AD=10,B=45 ° ,ADB=60 °，3AD sin ADB10sin 6010ABAD256sin Bsin 452由正弦定理得 sin ADBsin B ,AB=2.13.在ABC中，a、 、bc別為 內(nèi)角A、 、BC對邊，且分的2a s i A nb( 2c) B s i ncbC（）求 A 的大??；（）若 sin Bsin C1，試判斷ABC 的形狀 .14.（本小題滿分12 分）在 ABC 中，a, b, c 分別為內(nèi)角 A, B, C 的對邊，且 2asin A(2 ac)sin B(2 cb)sin C.（）求 A 的大??；（）求 sin Bsin C 的最大值 .解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2 bc)b(2cb)c 即 a2b2c2bca2b2c2b c o s A cos A1由余弦定理得22 ，A=120 °6分故s i nBs iCnsBins i n