湖北高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)同步教材提能課件：2.12導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例新人教A版

1、第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例內(nèi)內(nèi) 容容 知識(shí)要求知識(shí)要求了解了解(a)(a)理解理解(b)(b)掌握掌握(c)(c)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性( (其其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次) ) 函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值、最值( (其中多項(xiàng)式其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次函數(shù)一般不超過(guò)三次) )利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題三年三年3131考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)

2、區(qū)間、求函數(shù)的極值極值( (最值最值) )是考查重點(diǎn)；是考查重點(diǎn)；2.2.含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點(diǎn)和難含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)；點(diǎn)；3.3.題型有選擇題和填空題，難度較??；與方程、不等式等知識(shí)題型有選擇題和填空題，難度較?。慌c方程、不等式等知識(shí)點(diǎn)交匯則以解答題為主，難度較大點(diǎn)交匯則以解答題為主，難度較大. .1.1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)(1)函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)若若f(x)f(x)0 0，則，則f(x)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_；若若f(x)f(x)0 0，則

3、，則f(x)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_._.如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0f(x)=0，則，則f(x)f(x)為為_(kāi)._.單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)(2)(2)單調(diào)性的應(yīng)用單調(diào)性的應(yīng)用若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上單調(diào)，則上單調(diào)，則y=f(x)y=f(x)在該區(qū)間上不在該區(qū)間上不變號(hào)變號(hào). .【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)=1+x-sinxf(x)=1+x-sinx在在(0,2)(0,2)上的單調(diào)情況是上的單調(diào)情況是_._.(2)(2)設(shè)設(shè)f(x)f(x)是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x

4、)的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，y=f(x)y=f(x)的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，則則y=f(x)y=f(x)的圖象最有可能是的圖象最有可能是_._.(3)(3)若函數(shù)若函數(shù)y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是r r上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m m的取值范圍的取值范圍是是_._.【解析】【解析】(1)(1)在在(0(0，2)2)上有上有f(x)=1-cosx0f(x)=1-cosx0，所以，所以f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .(2)(2)由導(dǎo)函數(shù)圖象知，由導(dǎo)函數(shù)圖象知，f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上為正，在上為正，在(

5、0,2)(0,2)上為上為負(fù)，在負(fù)，在(2,+)(2,+)上為正，所以上為正，所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在(0,2)(0,2)上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(2,+)(2,+)上是增函數(shù)，比較上是增函數(shù)，比較，只，只有有符合符合. .(3)(3)函數(shù)函數(shù)y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是r r上的單調(diào)函數(shù)，只需上的單調(diào)函數(shù)，只需y=3xy=3x2 2+2x+m0+2x+m0恒成立，恒成立，即即=4-12m0=4-12m0，答案：答案：(1)(1)單調(diào)遞增單調(diào)遞增(2)(2)(3)(3)1m.31m32.2.函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的

6、概念(1)(1)極值點(diǎn)與極值極值點(diǎn)與極值設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x0 0及附近有定義，且在及附近有定義，且在x x0 0兩側(cè)的單調(diào)性?xún)蓚?cè)的單調(diào)性_(_(或?qū)?shù)值異號(hào)或?qū)?shù)值異號(hào)) )，則，則x x0 0為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)的極值點(diǎn)，的極值點(diǎn)，f(xf(x0 0) )為函為函數(shù)的極值數(shù)的極值. .(2)(2)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)若先增后減若先增后減( (導(dǎo)數(shù)值先正后負(fù)導(dǎo)數(shù)值先正后負(fù)) )，則，則x x0 0為為_(kāi)點(diǎn)點(diǎn). .若先減后增若先減后增( (導(dǎo)數(shù)值先負(fù)后正導(dǎo)數(shù)值先負(fù)后正) )，則，則x x0 0為為_(kāi)點(diǎn)點(diǎn). .相反相反極大值極大值極小值極小值【即時(shí)應(yīng)

7、用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)判斷下列結(jié)論的正誤判斷下列結(jié)論的正誤.(.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“”或或“”)”)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)( )( )函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x0 0及附近有定義，如果在及附近有定義，如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f(x)f(x)0 0，右側(cè)，右側(cè)f(x)f(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0) )是極大值是極大值( )( )函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x0 0及附近有定義，如果在及附近有定義，如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f(x)f(x)0 0，右側(cè)，右側(cè)f(x)f(x)0 0，那么，那么f(x

8、f(x0 0) )是極大值是極大值( )( )(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a(a，b)b)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)f(x)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a(a，b)b)內(nèi)有極小值點(diǎn)內(nèi)有極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為_(kāi)._.(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+3x+3x2 2-9x-9x的極值點(diǎn)為的極值點(diǎn)為_(kāi)._.【解析】【解析】(1)(1)導(dǎo)數(shù)為零只是函數(shù)在該點(diǎn)取極值的必要條件，導(dǎo)數(shù)為零只是函數(shù)在該點(diǎn)取極值的必要條件，正確，正確，f(xf(x0 0) )為極小值，故錯(cuò)誤

9、為極小值，故錯(cuò)誤. .(2)(2)從從f(x)f(x)的圖象可知的圖象可知f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增增減減增增減，所以減，所以f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)；內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)；(3)(3)由由f(x)=3xf(x)=3x2 2+6x-9=0+6x-9=0得得x=1x=1或或x=-3,x=-3,當(dāng)當(dāng)x x-3-3時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0,0,當(dāng)當(dāng)-3-3x x1 1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0,0,當(dāng)當(dāng)x x1 1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0,0,x=1x=1和和x=-3x=-3都是都是f(x)f(x)的極值

10、點(diǎn)的極值點(diǎn). .答案：答案：(1)(1) (2)1(2)1(3)x=1,x=-3(3)x=1,x=-33.3.函數(shù)極值與最值的求法函數(shù)極值與最值的求法(1)(1)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)；求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根；的根；列表，檢驗(yàn)列表，檢驗(yàn)f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的根左右兩側(cè)的符號(hào)的根左右兩側(cè)的符號(hào)( (判判斷斷y=f(x)y=f(x)在根左右兩側(cè)的單調(diào)性在根左右兩側(cè)的單調(diào)性) )，確定是否為極值，是極大，確定是否為極值，是極大值還是極小值值還是極小值. .(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)y=f(x)在

11、閉區(qū)間在閉區(qū)間a,ba,b上的最值可分兩步進(jìn)行上的最值可分兩步進(jìn)行求求y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)的內(nèi)的_；將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)f(a)、f(b)f(b)比較，比較，其中最大的一個(gè)為其中最大的一個(gè)為_(kāi)，最小的一個(gè)為，最小的一個(gè)為_(kāi)._.極值極值最大值最大值最小值最小值【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)思考：最值是否一定是極值？思考：最值是否一定是極值？提示：提示：不一定不一定. .如果最值在端點(diǎn)處取得就不是極值如果最值在端點(diǎn)處取得就不是極值. .(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)=3x-4xf(x)=3x

12、-4x3 3，x0,1x0,1的最大值是的最大值是_._.【解析】【解析】由由f(x)=3-12xf(x)=3-12x2 2=0=0得得答案：答案：1 11x2 ， max1f 00f( )1 f 11f x1.2 q，(3)(3)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=1x=1處取極值處取極值1010，則，則f(2)=_.f(2)=_.【解析】【解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b，由題意，由題意即即得得a=4a=4或或a=-3.a=-3.但當(dāng)?shù)?dāng)a=-3a=-3時(shí)，時(shí)，b=3,f(x)=3xb=3,f(x

13、)=3x2 2-6x+30-6x+30，故不存在極值，故不存在極值，a=4a=4，b=-11b=-11，f(2)=18.f(2)=18.答案：答案：1818 f 110,f 1021aba10,32ab0 4.4.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤(rùn)最大、用料最省、效導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題中，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型率最高等問(wèn)題中，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型( (函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系) )，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值. .解題過(guò)程中要時(shí)解題過(guò)程中要時(shí)刻注意實(shí)際問(wèn)題的

14、意義刻注意實(shí)際問(wèn)題的意義. .【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(y(單位：萬(wàn)元單位：萬(wàn)元) )與年產(chǎn)量與年產(chǎn)量x(x(單位：?jiǎn)挝唬喝f(wàn)件萬(wàn)件) )的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為 則使該生產(chǎn)廠家獲得則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為_(kāi)._.(2)(2)將邊長(zhǎng)為將邊長(zhǎng)為1 m1 m的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記兩塊，其中一塊是梯形，記則則s s的最小值是的最小值是_. . 31yx81x2343 ，2s,梯形的周長(zhǎng)梯形的面積【解析】【解析】(1)y=-x(

15、1)y=-x2 2+81,+81,令令y=0y=0得得x=9x=9或或x=-9(x=-9(舍去舍去) )，當(dāng)當(dāng)x x9 9時(shí)時(shí)yy0 0；當(dāng)；當(dāng)x x9 9時(shí)時(shí)yy0 0，故當(dāng)，故當(dāng)x=9x=9時(shí)函數(shù)有極大值，時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值；也是最大值；即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為9 9萬(wàn)件萬(wàn)件. .(2)(2)設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x x，則：則：23xs13(x1)(1x)22 22222222223x40 x 1 ,1x33x4s x,1x3(2x6) 1x3x( 2x)4s x31x2 3x1x34,31x 令令s(

16、x)=0(0s(x)=0(0 x x1),1),得得當(dāng)當(dāng)x(0, )x(0, )時(shí)，時(shí)，s(x)s(x)0,s(x)0,s(x)遞減；遞減；當(dāng)當(dāng)x( ,1)x( ,1)時(shí)，時(shí)，s(x)s(x)0,s(x)0,s(x)遞增；遞增；故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)，s s取得最小值取得最小值答案：答案：(1)9(1)9萬(wàn)件萬(wàn)件(2)(2)1x313131x332 3.332 33利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】1.1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用(1)(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用

17、導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)(3)已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍. .2.2.導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：求定義域：求函數(shù)第一步：求定義域：求函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域的定義域第二步：求根：求方程第二步：求根：求方程f(x)=0f(x)=0在定義域內(nèi)的根在定義域內(nèi)的根第三步：劃分區(qū)間：用求得的方程的根劃分定義域所在的區(qū)間第三步：劃分區(qū)間：用求得的方程的根劃分定義域所在的區(qū)間第四步：定號(hào)：確定第四步：定號(hào)：確定f(x)f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)第五步：結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)第五步：

18、結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)y=f(x)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .【提醒】【提醒】當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)不含參數(shù)時(shí)，也可通過(guò)解不等式不含參數(shù)時(shí)，也可通過(guò)解不等式f(x)0(f(x)0(或或f(x)0)f(x)2x2時(shí)，時(shí)， 排除排除d.d.由由 得得 在滿足上式的在滿足上式的x x的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)，y y是是增函數(shù)增函數(shù). .由由 得得 在滿足上式的在滿足上式的x x的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)，y y是減是減函數(shù)函數(shù), ,由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無(wú)數(shù)多個(gè)由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無(wú)數(shù)多個(gè), ,bb不正確，不正確，c c正確正確. .xy2sinx0

19、2 ，1y2cosx0,2 1cosx4，1y2cosx0,2 1cosx,4(2) (2) 定義域?yàn)椋憾x域?yàn)椋?-2,-1)(-1,+).(-2,-1)(-1,+).令令f(x)f(x)0 0，得單調(diào)增區(qū)間為，得單調(diào)增區(qū)間為(-2,- )(-2,- )和和( ,+)( ,+)令令f(x)f(x)0 0，得單調(diào)減區(qū)間為，得單調(diào)減區(qū)間為(- ,-1)(- ,-1)和和(-1, )(-1, ) 2xf xln x2x1 2222222 x12x112f xx2x2x1x1x12(x2)x3,x2x1x2x13333不等式不等式f(x+1)f(2x+1)-mf(x+1)f(2x+1)-m2 2+3

20、am+4+3am+4化為：化為：ln(x+1)ln(2x+1)-mln(x+1)ln(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4即即現(xiàn)在只需求現(xiàn)在只需求 的最大值和的最大值和y=3ma+4-my=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)的最小值的最小值. .因?yàn)橐驗(yàn)?在在00，11上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,所以所以 的最大值為的最大值為0,0,2x1ln3ma4m .2x1x1yln(x0,1)2x1x1112x122(2x1)x1yln(x0,1)2x1而而y=3ma+4-my=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)是關(guān)于是關(guān)于a a的一次函數(shù)，故其最小值只的一次函數(shù)，故

21、其最小值只能在能在a=-1a=-1或或a=1a=1處取得處取得, ,于是得到：于是得到：解得解得0m10m1或或-1m-1m0 0，所以所以m m的取值范圍是的取值范圍是-1-1，1.1.2203m4m03m4m,3m03m0 或【互動(dòng)探究】【互動(dòng)探究】若本例若本例(2)(2)第第問(wèn)中條件改為問(wèn)中條件改為“f(x)=f(x+2)-kxf(x)=f(x+2)-kx在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)”，則，則k k的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析】【解析】由題意由題意 在在(-2,+)(-2,+)上恒成立，上恒成立， 恒成立，恒成立，k0.k0.答案：答案：k0k0 1f xk

22、0 x21kx2【反思【反思感悟】感悟】1.1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，切記定義域優(yōu)先的原求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，切記定義域優(yōu)先的原則，一定要注意先求定義域則，一定要注意先求定義域. .2.2.恒成立問(wèn)題的處理，一般是采用恒成立問(wèn)題的處理，一般是采用“分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化”的的方法方法. .【變式備選】【變式備選】已知已知f(x)=ef(x)=ex x-ax-1.-ax-1.(1)(1)求求f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)(2)是否存在是否存在a,a,使使f(x)f(x)在在(-(-，0 0上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在0 0，+)+)上單調(diào)遞增？若存在，求出上單調(diào)

23、遞增？若存在，求出a a的值；若不存在，說(shuō)明理由的值；若不存在，說(shuō)明理由. .【解析】【解析】f(x)=ef(x)=ex x-a.-a.(1)(1)若若a0a0，f(x)=ef(x)=ex x-a0-a0恒成立，即恒成立，即f(x)f(x)在在r r上遞增上遞增. .若若a0,a0,令令e ex x-a0,-a0,得得e ex xa,xlna.a,xlna.f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+).(lna,+).(2)(2)方法一：由題意知方法一：由題意知e ex x-a0-a0在在(-(-，0 0上恒成立上恒成立. .aeaex x在在(-(-，0 0上恒成立上恒成立

24、. .eex x在在(-(-，0 0上為增函數(shù)上為增函數(shù). .當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)，時(shí)，e ex x最大為最大為1.1.a1.a1.同理可知同理可知e ex x-a0-a0在在0 0，+)+)上恒成立上恒成立. .aeaex x在在0 0，+)+)上恒成立上恒成立.a1.a1，a=1.a=1.方法二：由題意知，方法二：由題意知，x=0 x=0為為f(x)f(x)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn). .f(0)=0,f(0)=0,即即e e0 0-a=0,a=1-a=0,a=1，驗(yàn)證，驗(yàn)證a=1a=1符合題意符合題意. .利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值( (最值最值) )【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】

25、 1.1.應(yīng)用函數(shù)極值應(yīng)注意的問(wèn)題應(yīng)用函數(shù)極值應(yīng)注意的問(wèn)題(1)(1)注意極大值與極小值的判斷注意極大值與極小值的判斷. .(2)(2)已知極值求參數(shù)的值已知極值求參數(shù)的值: :注意注意f(xf(x0 0)=0)=0是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x x0 0處取得極值的必要不充分條件處取得極值的必要不充分條件. .2.2.數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性和極值后，可以畫(huà)出草圖，進(jìn)行利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性和極值后，可以畫(huà)出草圖，進(jìn)行觀察分析，確定滿足條件的參數(shù)范圍觀察分析，確定滿足條件的參數(shù)范圍. .【例【例2 2】已知函數(shù)】已知函數(shù)f(x

26、)=xef(x)=xe-x-x(xr).(xr).(1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)(2)已知函數(shù)已知函數(shù)y=g(x)y=g(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=1x=1對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng). .證明當(dāng)證明當(dāng)x x1 1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)g(x).g(x).(3)(3)如果如果x x1 1xx2 2，且，且f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2) )，證明，證明x x1 1+x+x2 22.2.【解題指南】【解題指南】由由f(x)=0f(x)=0得出可能的極值點(diǎn)，再列表判斷；利得出可能的極值點(diǎn)，再列

27、表判斷；利用已知條件求出用已知條件求出y=g(x)y=g(x)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行證明；討論的解析式，構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行證明；討論x x1 1,x,x2 2的可能取值，判斷其范圍，再利用的可能取值，判斷其范圍，再利用f(x)f(x)的單調(diào)性證明的單調(diào)性證明. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)f(x)=(1-x)e(1)f(x)=(1-x)e-x-x. .令令f(x)=(1-x)ef(x)=(1-x)e-x-x=0=0，得，得x=1.x=1.當(dāng)當(dāng)x x變化時(shí)，變化時(shí)，f(x),f(x)f(x),f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x x(-,1)(-,1)1 1(1,+)(1,+)f(x

28、)f(x)+ +0 0- -f(x)f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減1e所以所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(-,1)(-,1)內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間(1,+)(1,+)內(nèi)是減函內(nèi)是減函數(shù)數(shù). .函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在x=1x=1處取得極大值處取得極大值f(1),f(1),且且 1f 1.e(2)(2)因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)y=g(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=1x=1對(duì)對(duì)稱(chēng)，稱(chēng)，所以所以g(x)=f(2-x)g(x)=f(2-x)，于是，于是g(x)=(2-x)eg(x)=(2-x)ex-2x-2. .記

29、記f(x)=f(x)-g(x)f(x)=f(x)-g(x)，則，則f(x)=xef(x)=xe-x-x+(x-2)e+(x-2)ex-2x-2，f(x)=(x-1)(ef(x)=(x-1)(e2x-22x-2-1)e-1)e-x-x, ,當(dāng)當(dāng)x x1 1時(shí)，時(shí)，2x-22x-20 0，從而，從而e e2x-22x-2-1-10 0，又又e e-x-x0 0，所以，所以f(x)f(x)0 0，于是函數(shù)，于是函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,+)1,+)上是上是增函數(shù)增函數(shù). .因?yàn)橐驗(yàn)閒(1)=ef(1)=e-1-1-e-e-1-1=0=0，所以，所以，當(dāng)當(dāng)x x1 1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)

30、f(1)=0.f(1)=0.因此因此f(x)f(x)g(x).g(x).(3)(3)若若(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)=0-1)=0，由，由(1)(1)及及f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),得得x x1 1=x=x2 2, ,與與x x1 1xx2 2矛盾；矛盾；若若(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)0 0，由，由(1)(1)及及f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),得得x x1 1=x=x2 2, ,與與x x1 1xx2 2矛盾；矛盾；根據(jù)根據(jù)，可得可得(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)0.0.不妨設(shè)不妨設(shè)

31、x x1 11,x1,x2 21.1.由由(2)(2)可知可知f(xf(x2 2) )g(xg(x2 2)=f(2-x)=f(2-x2 2) )，所以，所以f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2) )g(xg(x2 2)=f(2-x)=f(2-x2 2).).因?yàn)橐驗(yàn)閤 x2 21 1，所以，所以2-x2-x2 21 1，又，又x x1 11 1，由，由(1)(1)知知f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(-,1)(-,1)內(nèi)是增函數(shù)，內(nèi)是增函數(shù)，所以所以x x1 12-x2-x2 2，即，即x x1 1+x+x2 22.2.【反思【反思感悟】感悟】1.1.求函數(shù)的極值時(shí)，極易弄混極大值、極小值

32、求函數(shù)的極值時(shí)，極易弄混極大值、極小值. .2.2.利用導(dǎo)數(shù)研究了單調(diào)性和極值，就可以大體知道函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究了單調(diào)性和極值，就可以大體知道函數(shù)的圖象，為數(shù)形結(jié)合解題提供了方便為數(shù)形結(jié)合解題提供了方便. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2011(2011北京高考北京高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ef(x)=(x-k)ex x. .(1)(1)求求f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；(2)(2)求求f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值上的最小值. .【解析】【解析】(1)f(x)=(x-k+1)e(1)f(x)=(x-k+1)ex x. .令令f(x)=0,

33、f(x)=0,得得x=k-1,f(x)x=k-1,f(x)與與f(x)f(x)的變化情況如下：的變化情況如下：所以所以f(x)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,k-1)(-,k-1)；單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+).(k-1,+).x x(-,k-1)(-,k-1)k-1k-1(k-1,+)(k-1,+)f(x)f(x)- - 0 0+ +f(x)f(x) -e-ek-1k-1 (2)(2)當(dāng)當(dāng)k-10k-10，即，即k1k1時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)f(x)在在0,10,1上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞增，所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f

34、(0)=-kf(0)=-k；當(dāng)；當(dāng)0 0k-1k-11 1，即，即1 1k k2 2時(shí)，由時(shí)，由(1)(1)知知f(x)f(x)在在0,k-1)0,k-1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(k-1,1(k-1,1上單上單調(diào)遞增，所以調(diào)遞增，所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f(k-1)=-ef(k-1)=-ek-1k-1. .當(dāng)當(dāng)k-11,k-11,即即k2k2時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)f(x)在在0,10,1上單調(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，所以f(x)f(x)在在區(qū)間區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f(1)=(1-k)e.f(1)=(1-k)e.綜上，當(dāng)綜上，

35、當(dāng)k1k1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為-k-k；當(dāng)當(dāng)1k21k3,c3,所以所以c-20,c-20,所以令所以令yy0 0得得: :令令yy0 0得得: :2160y16 r8 crr 328c2 r20,0r2.r320r; c23200r,c2 當(dāng)即當(dāng)即 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y y在在(0(0，2 2上是單調(diào)遞減的，上是單調(diào)遞減的，故建造費(fèi)用最小時(shí)故建造費(fèi)用最小時(shí)r=2.r=2.當(dāng)即當(dāng)即 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y y在在(0(0，2 2上是先減后增上是先減后增的，故建造費(fèi)用最小時(shí)的，故建造費(fèi)用最小時(shí)93c2，3202c29c2 ，32002c2320r.c

36、2【反思【反思感悟】感悟】1.1.解決實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模是關(guān)鍵，恰當(dāng)變量解決實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模是關(guān)鍵，恰當(dāng)變量的選擇，決定了解答過(guò)程的繁簡(jiǎn)；函數(shù)模型的確定，決定了能的選擇，決定了解答過(guò)程的繁簡(jiǎn)；函數(shù)模型的確定，決定了能否解決這個(gè)問(wèn)題否解決這個(gè)問(wèn)題. .2.2.解決實(shí)際問(wèn)題必須考慮實(shí)際意義，忽視定義域是這類(lèi)題目失解決實(shí)際問(wèn)題必須考慮實(shí)際意義，忽視定義域是這類(lèi)題目失分的主要原因分的主要原因. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量的耗油量y(y(升升) )關(guān)于行駛速度關(guān)于行駛速度x(x(千米千米/ /小時(shí)小時(shí)) )的函

37、數(shù)解析式可以的函數(shù)解析式可以表示為：表示為： 已知甲、乙兩地相距已知甲、乙兩地相距100100千米千米. .(1)(1)當(dāng)汽車(chē)以當(dāng)汽車(chē)以4040千米千米/ /小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？耗油多少升？(2)(2)當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？少？最少為多少升？313yxx8 0 x120 .128 00080【解析】【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)x=40 x=40時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了 小小時(shí)，要耗油時(shí)，要耗油 =17.5(=17.5

38、(升升).).答：當(dāng)汽車(chē)以答：當(dāng)汽車(chē)以4040千米千米/ /小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油耗油17.517.5升升. .1002.540313(40408)2.5128 00080(2)(2)當(dāng)速度為當(dāng)速度為x x千米千米/ /小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了 小時(shí)，小時(shí)，設(shè)耗油量為設(shè)耗油量為h(x)h(x)升，升，依題意得依題意得100 x 313100h x(xx8)128 00080 x 23322180015x0 x120 ,1 280 x4x800 x80h x0 x120 .640 x640 x令令h(x)=0,

39、h(x)=0,得得x=80.x=80.當(dāng)當(dāng)x(0,80)x(0,80)時(shí)，時(shí)，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是減函數(shù)；是減函數(shù)；當(dāng)當(dāng)x(80,120 x(80,120時(shí)，時(shí)，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是增函數(shù)是增函數(shù). .當(dāng)當(dāng)x=80 x=80時(shí)，時(shí)，h(x)h(x)取到極小值取到極小值h(80)=11.25.h(80)=11.25.因?yàn)橐驗(yàn)閔(x)h(x)在在(0,120(0,120上只有一個(gè)極值，所以它是最小值上只有一個(gè)極值，所以它是最小值. .答：當(dāng)汽車(chē)以答：當(dāng)汽車(chē)以8080千米千米/ /小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少

40、，最少為耗油最少，最少為11.2511.25升升. .【變式備選】【變式備選】某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a a元元(3a5)(3a5)的管理費(fèi)，預(yù)的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x x元元(9x11)(9x11)時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為(12-x)(12-x)2 2萬(wàn)件萬(wàn)件. .(1)(1)求分公司一年的利潤(rùn)求分公司一年的利潤(rùn)l(l(萬(wàn)元萬(wàn)元) )與每件產(chǎn)品的售價(jià)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x x的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān)系式；系式；(2)(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多

41、少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)l l最大，最大，并求出并求出l l的最大值的最大值q(a).q(a).【解析】【解析】(1)(1)分公司一年的利潤(rùn)分公司一年的利潤(rùn)l(l(萬(wàn)元萬(wàn)元) )與售價(jià)與售價(jià)x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式為：為：l=(x-3-a)(12-x)l=(x-3-a)(12-x)2 2,x,x9,119,11. .(2)l=(12-x)(2)l=(12-x)2 2-2(x-3-a)(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).=(12-x)(18+2a-3x).令令l=0l=0得得 或或x=12(x=12(不合

42、題意，舍去不合題意，舍去).).在在 兩側(cè)，由左向右兩側(cè)，由左向右ll的值由正變負(fù)的值由正變負(fù). .2x6a32283a5,86a.33 q2x6a3所以所以當(dāng)當(dāng)86+ a86+ a9 9即即3a3a 時(shí)，時(shí)，l lmaxmax=l(9)=(9-3-a)(12-9)=l(9)=(9-3-a)(12-9)2 2=9(6-a).=9(6-a).當(dāng)當(dāng) 即即 a5a5時(shí)，時(shí)，239222896a33，9223max2221ll(6a)(6a3a) 12(6a)4(3a) .3333 399 6a3a2q a.194(3a)a532所以即：若即：若 則當(dāng)每件售價(jià)為則當(dāng)每件售價(jià)為9 9元時(shí)，分公司一年的利

43、潤(rùn)元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)l l最最大，最大值大，最大值q(a)=9(6-a)(q(a)=9(6-a)(萬(wàn)元萬(wàn)元) )；若；若 則當(dāng)每件售價(jià)為則當(dāng)每件售價(jià)為 元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)l l最大，最大值最大，最大值 ( (萬(wàn)元萬(wàn)元).).93a2 ，9a52 ，2(6a)3 31q a4(3a)3【滿分指導(dǎo)】【滿分指導(dǎo)】函數(shù)綜合題的規(guī)范解答函數(shù)綜合題的規(guī)范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011湖南高考湖南高考) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) (1)(1)討論討論f(x)f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)(2)若若f(x)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)有兩個(gè)極值點(diǎn)x x1 1和和x

44、 x2 2，記過(guò)，記過(guò)a(xa(x1 1,f(x,f(x1 1),b(x),b(x2 2,f(x,f(x2 2)的直的直線的斜率為線的斜率為k k，問(wèn)：是否存在，問(wèn)：是否存在a a，使得，使得k=2-ak=2-a？若存在，求出？若存在，求出a a的值，的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. . 1f xxalnx ar .x【解題指南】【解題指南】(1)(1)對(duì)對(duì)f(x)f(x)求導(dǎo)，就求導(dǎo)，就a a的取值分類(lèi)討論；的取值分類(lèi)討論；(2)(2)假設(shè)存在假設(shè)存在a a滿足條件，判斷條件是否滿足滿足條件，判斷條件是否滿足. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)f(x)(1)f(x)的定義域?yàn)?/p>

45、的定義域?yàn)?0,+).(0,+). 2 2分分令令g(x)=xg(x)=x2 2-ax+1,-ax+1,其判別式其判別式=a=a2 2-4.-4. 2221axax1fx1xxx 當(dāng)當(dāng)|a|2|a|2時(shí)，時(shí)，00，f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞上單調(diào)遞增增. .3 3分分當(dāng)當(dāng)a a-2-2時(shí)，時(shí)，0,g(x)=00,g(x)=0的兩根都小于的兩根都小于0 0，在，在(0,+)(0,+)上，上，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .4 4分分當(dāng)當(dāng)a a2 2時(shí)，時(shí)，0,g(x)=00,g(x)

46、=0的兩根為的兩根為當(dāng)當(dāng)0 0 x xx x1 1時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0 0；當(dāng)；當(dāng)x x1 1x xx x2 2時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0 0；當(dāng)；當(dāng)x xx x2 2時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)分別在分別在(0,x(0,x1 1),(x),(x2 2,+),+)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(x(x1 1,x,x2 2) )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. . 6 6分分2212aa4aa4x,x22，(2)(2)由由(1)(1)知，知，a a2.2.因?yàn)橐驗(yàn)樗运? 8分分又由又由(1)(1)知，知，x x1 1x x2 2=1.=1.于是于是若存在若存在a a，使得

47、，使得k=2-a,k=2-a,則則即即lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2=x=x1 1-x-x2 2，亦即，亦即 ( () )1010分分1212121212xxf(x )f(x )(xx )a lnxlnxx x，1212121212f xf(x )lnxlnx1k1axxx xxx 1212lnxlnxk2a,xx 1212lnxlnx1,xx22221x2lnx0 x1x再由再由(1)(1)知，函數(shù)知，函數(shù) 在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增，而上單調(diào)遞增，而x x2 21 1，所以，所以這與這與( (* *) )式矛盾式矛盾. .1111分分故不存在故不存在a a，使得，使得k=2-a. k=2-a. 1212分分 1h tt2lntt 22211x2lnx12ln10.x1【閱卷人點(diǎn)撥】【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以通過(guò)高考中的