高中數(shù)學選修2-1第三章+空間向量與立體幾何+測試題(含詳解)(精華版)

1、高中數(shù)學選修2-1第三章+空間向量與立體幾何+測試題（時間：120分鐘，滿分：150分）、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）向量 a=(2x,1,3)b= （1, 2y,9）,若 a 與 b 共線，則（）21A.3b+3c12D.3b +3c-1 -A . x= 1, y= 113c. x= 6, y= 211b. x= 2, y=-2d . x= - 6，y=2 63解析由 a/ b知，a= ?b, . 2x =1=2入出=9力32.答案 C2 .已知 a=(- 3,2,5), b=(1, x, 1),且 a b=2,則

2、 x 的值是()A. 6 B. 5 C. 4 D. 3解析 a b= 3 + 2x5=2,x= 5.答案 B3 .設(shè)1i的方向向量為a=（1,2, 2）, l2的方向向量為b=（2,3, m）,若ldl2,則實數(shù)m的值為（1A. 3 B. 2 C. 1D.2解析1i±12,a±b, a b = 0, /. -2+ 6-2m= 0, . m= 2.答案 B4.若a, b均為非零向量，則 a b=|a|b|是a與b共線的（）A .必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件解析 a b= |a|b|cosa, b，而 a b= |a|b|.，a與b

3、共線.反之，若cosa, b> = 1,a, b> = 0.a與b共線，也可能 ab=一 |a|b|,因此應(yīng)選 B.答案 B5.在 4ABC 中，AB=cAC= b.若點D 滿足 BD = 2DC,貝U AD=()21C.3b3c解析如圖，AD=AB + BD 2 -= AB+-BC3= AB+2(AC AB)3= -AB+-AC 33=3c+3b.答案 A起構(gòu)成空間6.已知a, b, c是空間的一個基底，設(shè) p=a+b, q=ab,則下列向量中可以與 p, q的另一個基底的是（）A. a B. b C. c D.以上都不對解析 a, b, c不共面，a+b, a- b, c不共面

4、，p, q, c可構(gòu)成空間的一個基底.答案 C7.已知4ABC的三個頂點A(3,3,2), B(4, 3,7),C（0,5,1）,則BC邊上的中線長為（A. 2 B. 3八64C.7D.65737'6-7)-2 -解析 BC的中點D的坐標為（2,1,4）,-AD = (-1, 2,2). |AD |= l + 4+4 = 3.答案 B8.與向量a =（2,3,6）共線的單位向量是（）67)2B. (7，236/236236/236c. (7, 一7)和(7, 7 7)d. (7, 7, 7)和(一力一一融解析同=，22 + 32 + 62 = 7, 與a共線的單位向量是g(2,3,6)

5、,故應(yīng)選D.答案 D9.已知向量 a= (2,4, x), b=(2, y,2),若 |a|=6 且 a,b,則 乂 + 丫為()A. 3 或 1 B. 3 或1 C. -3 D. 1解析由冏=6, a±b,4+16+x2=36,x=4,x= 4,得解得或4+4y+2x=0,y=3,y= 1.x+ y= 1,或一3.答案 A10 .已知a=(x,2,0), b= (3,2-x, x2),且a與b的夾角為鈍角，則實數(shù) x的取值范圍是(A. x>4B. x< 4C, 0<x<4D, - 4<x<0.解析 : a, b> 為鈍角，. a b= |a

6、|b|cosa, b> <0,即 3x+2(2 x)<0,，x< 4.答案 B11 .已知空間四個點 A(1,1,1), B(4,0,2), C(-3, 1, 0), D( 1,0,4),則直線 AD 與平面 的角為()A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°解析 設(shè)平面ABC的一個法向量為 n=(x, v, z),ABC所成- AB=(-5, -1,1), AC=(-4, -2, 1),由 n AB=0 及 n AC=0,得5x y+ z= 0,令 z= 1,4x 2y z= 0,得x=2, y=-2，-n = (

7、2, -2, 1).又AD = (2, 1,3),設(shè)AD與平面ABC所成的角為 &則sin 0=一 ，3c|AD n|_ +2+3 一14M14 x-|AD|n|'212'-11 -0= 30°.答案 A12 .已知二面角 al 3的大小為50°, P為空間中任意一點，則過點 P且與平面a和平面3所成的 角都是25°的直線的條數(shù)為()A. 2 B. 3C. 4 D. 5解析 過點P分別作平面 a, 3的垂線11和12,則11與12所成的角為130?；?0。，問題轉(zhuǎn)化為過點P與直線11, 12成65 °角的直線有幾條，與11 , 1

8、2共面的有一條，不共面的有2條.因此，共有 3條.答案 B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.把答案填在題中橫線上)13 .已知i, j, k為單位正交基底，且 a=i + j+3k, b=2i-3j-2k,則向量a+b與向量a2b的 坐標分別是; .解析 依題意知，a=(1,1,3), b=(2, 3, 2),則 a+ b=(1, 2,1),a2b=(1,1,3) 2(2, 3, 2)=(5,7,7).答案 (1, 2,1) (-5,7,7)14 .在 ABC 中，已知 AB=(2,4,0), BC=(1,3,0),則/ ABC=解析 cosAB, BC>AB BC 1

9、0 V2 一一一1072 2，|AB|BC|AB, BC> =4,，/ABC=l4=7答案3T 415 .正方體 ABCD A1B1C1D1中，面 ABDi與面BiBDi所夾角的大小為 解析建立空間直角坐標系Dxyz,如圖.設(shè)正方體的棱長為1,則 A(1,0,0), B(1,1,0), Bi(1,1,1), Di(0,0,1). -DiA=(1,0, 1), DiB=(1,1, 1), DiBi=(1,1,0).設(shè)平面ABDi的法向量為 m=(xi, yi, zi),平面BiBDi的法向量為n = (x2, y2, Z2),則由m DiA= 0, 一 g,mm n 1m DiB=0,可得

10、 m= (1,0,1),由 n DiB=0, n DiBi=0,得 n = (1, 1,0), ，cosm, n> = m|jnj=2. '-所求二平面的大小為 60 :答案 60016. 在下列命題中：若 a, b共線，則a, b所在的直線平行；若a, b所在的直線是異面直線，則a, b一定不共面；若 a, b, c三向量兩兩共面，則 a, b, c三向量一定也共面；已知三向量 a, b, c,則空間任意一個向量p總可以唯一表示為 p = xa+ yb+zc,其中不正確的命題為 .解析 a, b共線，包括a與b重合，所以錯.空間任意兩個向量均共面，所以 錯.以空間向量的一組基底

11、a, b, c為例，知它們兩兩共面，但它們?nèi)齻€不共面，所以 錯.當與a, b, c共面時，不成立，所以 錯.答案三、解答題(本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、 證明過程或演算步驟)17. (10分)如圖，空間四邊形 OABC中，E, F分別為OA, BC的中點,設(shè)OA=a, OB=b, OC=c,試用 a, b, c表示 EF.111a + /b +2c.一11解 EF = EO+OF = - OA+ 2(OB+ OC)=18. (12 分)設(shè) a1=2i-j+ k, a2=i+3j-2k, a3=-2i+j-3k, a4=3i+2j+5k,試問是否存在實數(shù)a,b, c使a

12、4= aa +ba2+ca3成立？如果存在，求出 a, b, c的值；如果不存在，請說明理由.解 假設(shè)a4 = aa1 + ba2 + ca3成立.由已知 a = (2, 1,1), a2=(1,3, 2),a3=(2,1, 3), a4= (3,2,5),可得(2a+ b-2c, - a+3b+c, a-2b-3c)= (3,2,5).2a+b-2c= 3,a+3b+c=2,a-2b-3c= 5,解得：a=2, b=1, c= - 3.故有 a4= 2a1+a23a3.綜上知，滿足題意的實數(shù)存在，且 a= - 2, b=1, c= 3.19. (12 分)四棱柱 ABCD AB'CD

13、'中,AB=5, AD = 3, AA = 7, Z BAD=60°, /BAA'= / DAA'= 45°, 求AC '的長. 解 AC 工 AB+ BC+ CC '= AB + AD + AA .(AC )2= (AB + AD + AA)2 = AB2+AD2+AA2+2(AB AD +AB AA'+ AD AA )= 25+9+49+2(5 3tos60 +°5 X7cos45 +°3 >7cos45 ) °= 98+56 .2.|ACj=，98+56V2,即AC的長為 V98+56

14、班.20. (12分)如圖所示，PD垂直于正方形 ABCD所在的平面， AB=2, PC與平面 ABCD所成角是 45°, F是AD的中點，M是 PC的中點.求證：DM /平面PFB.證明以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由 PC與平面 ABCD所成的角為 45 °,即/PCD = 45；得PD=2,則P(0,0,2), C(0,2,0), B(2,2,0), F(1,0,0), D(0,0,0), M(0,1,1),-FB= (1,2,0), FP=(1,0,2), DM =(0,1,1).設(shè)平面PFB的法向量為n = (x, v, z),則FB n = 0, x+

15、2y=0, 即一一x+2z=0.FP n = 0,令 y= 1,貝U x= - 2, z= 1.故平面PFB的一個法向量為 n = (-2,1, - 1).DM n=0, .DM ±n.又DM?平面PFB,則DM /平面PFB.21 . (12 分)如圖，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 = 2AB=4,點 E 在 C1C 上，且 C1E= 3EC.(1)證明A1CL平面BED;(2)求二面角 A1DE B的余弦值.解 以D為坐標原點，射線 DA為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D xyz.依題設(shè) B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,2,1), A

16、i(2,0,4).DE= (0,2,1), DB = (2,2,0),AiC=(2,2, -4), DAi = (2,0,4). (1)AiC DB=0, AiC DE = 0, AiCXBD, AiC± DE.又 DB ADE=D,AiC,平面 DBE.n±DAi.,2y+z=0,2x+4z= 0.令 y= i,則 z= - 2, x= 4,n = (4,i, -2)., n AiCVT4 cos n, AiC= 42 .|n|AiC|(2)設(shè)向量n=(x, y, z)是平面DAiE的法向量，則nDE、i4一面角Ai-DE-B的余弦值為 42 .n, AiC等于二面角 A

17、iDE B的平面角,22. (i2 分)正方體 ABCDAiBiCiDi 中，E, F 分別是BBi, CD的中點.(1)證明：平面 AED，平面 AiFDi;(2)在AE上求一點 M,使得 AiM，平面 DAE.解(1)證明：建立如圖所示的空間直角坐標系D xyz,不妨設(shè)正方體的棱長為 2,則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0), Ai(2,0,2), Di(0,0,2).設(shè)平面AED的法向量為ni = (xi, yi, zi),則ni DA=xi, yi, zi2, 0, 0 =0,ni DE =xi, yi, zi2, 2, 1 =0.2xi = 0,2xi+ 2yi + z