高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：2.6 二次函數(shù)

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.52.6 二次函數(shù)知識梳理二次函數(shù)的基本性質(zhì)（1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c；y=a（xx1）（xx2）；y=a（xx0）2+n.（2）當(dāng)a0，f（x）在區(qū)間p，q上的最大值為m，最小值為m，令x0=（p+q）.若p，則f（p）=m，f（q）=m；若px0，則f（）=m，f（q）=m；若x0q，則f（p）=m，f（）=m；若q，則f（p）=m，f（q）=m.點(diǎn)擊雙基1.設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a0），如果f（x1）=f（x2）（其中x1x2），則f（）等于a. b. c.c d. 解析：f（）=f（）=.答案：d2.二次函數(shù)y=x2

2、2（a+b）x+c2+2ab的圖象的頂點(diǎn)在x軸上，且a、b、c為abc的三邊長，則abc為a.銳角三角形 b.直角三角形c.鈍角三角形d.等腰三角形解析：y=x（a+b）2+c2+2ab（a+b）2=x（a+b）2+c2a2b2.頂點(diǎn)為（a+b，c2a2b2）.由題意知c2a2b2=0.abc為直角三角形.答案：b3.已知函數(shù)f（x）=4x2mx5在區(qū)間2，）上是增函數(shù)，則f（1）的范圍是a.f（1）25b.f（1）=25c.f（1）25d.f（1）25解析：由y=f（x）的對稱軸是x=，可知f（x）在，+）上遞增，由題設(shè)只需2m16，f（1）=9m25.答案：a4.函數(shù)f（x）=2x26x+

3、1在區(qū)間1，1上的最小值是_，最大值是_.解析：f（x）=2（x）2.當(dāng)x=1時(shí)，f（x）min=3；當(dāng)x=1時(shí)，f（x）max=9.答案：3 95.（2003年春季上海）若函數(shù)y=x2+（a+2）x+3，xa，b的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則b=_.解法一：二次函數(shù)y=x2+（a+2）x+3的圖象關(guān)于直線x=1對稱，說明二次函數(shù)的對稱軸為1，即=1.a=4.而f（x）是定義在a，b上的，即a、b關(guān)于x=1也是對稱的，=1.b=6.解法二：二次函數(shù)y=x2+（a+2）x+3的對稱軸為x=1，f（x）可表示為f（x）=（x1）2+c，與原二次函數(shù)的表達(dá)式比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得a+2=2.a=4，b的

4、計(jì)算同解法一.解法三：二次函數(shù)的對稱軸為x=1，有f（x）=f（2x），比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，a=4，b的計(jì)算同解法一.答案：6典例剖析【例1】 設(shè)x、y是關(guān)于m的方程m22am+a+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則（x1）2+（y1）2的最小值是a.12b.18 c.8 d. 剖析：由=（2a）24（a+6）0，得a2或a3.于是有（x1）2+（y1）2=x2+y22（x+y）+2=（x+y）22xy2（x+y）+2=（2a）22（a+6）4a+2=4a26a10=4（a）2.由此可知，當(dāng)a=3時(shí)，（x1）2+（y1）2取得最小值8.答案：c深化拓展0是二次方程有實(shí)根的隱含條件.【例2】 （2004年江蘇，1

5、3）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（xr）的部分對應(yīng)值如下表：x32101234y60466406則不等式ax2+bx+c0的解集是_.解析：由表知y=a（x+2）（x3），又x=0，y=6，代入知a=1.y=（x+2）（x3）.答案：x|x3或x2【例3】 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象與直線y=25有公共點(diǎn)，且不等式ax2+bx+c0的解是x，求a、b、c的取值范圍.解：依題意ax2+bx+c25=0有解，故=b24a（c25）0.又不等式ax2+bx+c0的解是x，a0且有=，=.b=a，c=a.b=c，代入0得c2+24c（c25）0.c24.故得a、b、c的取值范圍為a1

6、44，b24，c24.評述：二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c0（或0）與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象聯(lián)系比較密切，要注意利用圖象的直觀性來解二次不等式和二次方程的問題.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.下圖所示為二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象，則oa·ob等于a.b.c.±d.無法確定解析：|oa|·|ob|=|oa·ob|=|x1x2|=|=（a0，c0）.答案：b2.已知f（x）=x22x+3，在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是_.解析：通過畫二次函數(shù)圖象知m1，2.答案：1，23.已知函數(shù)y=（exa）2+（ex

7、a）2（ar，且a0），求y的最小值.解：y（exex）22a（exex）2a22.令texex，則f（t）t22at2a22.texex2，f（t）（ta）2a22的定義域?yàn)?，）.拋物線的對稱軸方程是ta，當(dāng)a2時(shí)，yminf（a）a22；當(dāng)a2且a0時(shí)，yminf（2）2（a1）2.4.要使y=x2+4x（xa）有反函數(shù)，則a的最小值為_.解析：要使y=x2+4x（xa）有反函數(shù)，則y=x2+4x在a，+）上是單調(diào)函數(shù).a2.答案：25.已知函數(shù)f（x）=mx2+（m3）x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：若m=0，則f（x）=3x+1，顯然滿足要求.

8、若m0，有兩種情況：原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè)，則m0；都在原點(diǎn)右側(cè)，則解得0m1.綜上可得m（，1.培養(yǎng)能力6.設(shè)f（x）=x22ax+2.當(dāng)x1，+）時(shí)，f（x）a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)a1時(shí)，f（x）min=f（1）=3+2a，x1，+），f（x）a恒成立f（x）mina，即3+2aaa3.故此時(shí)3a1.（2）當(dāng)a1時(shí)，f（x）min=f（a）=a22a2+2=2a2，x1，+），f（x）a恒成立f（x）mina，即2a2aa2+a202a1.故此時(shí)1a1.由（1）（2）知，當(dāng)3a1時(shí)，x1，+），f（x）a恒成立.7.對于函數(shù)f（x），若存在x0r，使f（x0）=x0成立，則

9、稱x0為f（x）的不動點(diǎn).已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+b1（a0）.（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的不動點(diǎn)；（2）若對于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，f（x）=x2x3=xx22x3=0（x3）（x+1）=0x=3或x=1，f（x）的不動點(diǎn)為x=3或x=1.（2）對任意實(shí)數(shù)b，f（x）恒有兩個(gè)相異不動點(diǎn)對任意實(shí)數(shù)b，ax2+（b+1）x+b1=x恒有兩個(gè)不等實(shí)根對任意實(shí)數(shù)b，=（b+1）24a（b1）0恒成立對任意實(shí)數(shù)b，b2+2（14a）b+1+4a0恒成立=4（14a）24（1+4a）0（14a）2（1+4a）

10、04a23a0a（4a3）00a.8.（2003年全國，文）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+|x2|1，xr.（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）求函數(shù)f（x）的最小值.解：（1）f（x）=f（0）=10，f（x）不是r上的奇函數(shù).f（1）=1，f（1）=3，f（1）f（1），f（x）不是偶函數(shù).故f（x）是非奇非偶的函數(shù).（2）當(dāng)x2時(shí)，f（x）=x2+x3，此時(shí)f（x）min=f（2）=3.當(dāng)x2時(shí)，f（x）=x2x+1，此時(shí)f（x）min=f（）=.總之，f（x）min=.探究創(chuàng)新9.二次函數(shù)f（x）=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足+=0，其中m0，求證：（1）pf（）0；（2）方程f（x

11、）=0在（0，1）內(nèi)恒有解.證明：（1）pf（）=pp（）2+q（）+r=pm+=pm=p2m=p2m.由于f（x）是二次函數(shù)，故p0.又m0，所以pf（）0.（2）由題意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r.當(dāng)p0時(shí)，由（1）知f（）0.若r0，則f（0）0，又f（）0，f（x）=0在（0，）內(nèi)有解；若r0，則f（1）=p+q+r=p+（m+1）（）+r=0，又f（）0，所以f（x）=0在（，1）內(nèi)有解.因此方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)恒有解.當(dāng)p0時(shí)，同樣可以證得結(jié)論.評述：（1）題目點(diǎn)明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項(xiàng)系數(shù)p0，若將題中的“二次”兩個(gè)字去掉，所證結(jié)論相應(yīng)更改.（2）對

12、字母p、r分類時(shí)先對哪個(gè)分類是有一定講究的.本題的證明中，先對p分類，然后對r分類顯然是比較好的.思悟小結(jié)1.二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象形狀、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向等是處理二次函數(shù)問題的重要依據(jù).2.二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體，要深刻理解它們相互之間的關(guān)系，能用函數(shù)思想來研究方程和不等式，便是抓住了關(guān)鍵.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.二次函數(shù)是最重要的初等函數(shù)之一，因?yàn)楹芏鄦栴}可化歸為二次函數(shù)來處理，所以必須熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用這些性質(zhì)去解決問題.2.求二次函數(shù)的解析式就是確定函數(shù)式f（x）=ax2+bx+c（a0）中a、b、c的值.二次

13、函數(shù)也可以表示為y=a（xx0）2+h或y=a（xx1）（xx2）（b24ac0）等形式，應(yīng)提醒學(xué)生根據(jù)題設(shè)條件選用適當(dāng)?shù)谋硎拘问剑么ㄏ禂?shù)法確定相應(yīng)字母的值.3.結(jié)合圖象可以得到一系列與二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有關(guān)的結(jié)論，教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：（1）方程f（x）=0的兩根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）0.（2）二次方程f（x）=0的兩根都大于r（3）二次方程f（x）=0在區(qū)間（p，q）內(nèi)有兩根（4）二次方程f（x）=0在區(qū)間（p，q）內(nèi)只有一根f（p）·f（q）0，或f（p）=0，另一根在（p，q）內(nèi)或f（q）=0，另一根在（p，q）內(nèi).（

14、5）方程f（x）=0的兩根中一根大于p，另一根小于q（pq）4.二次函數(shù)與二次不等式密切相關(guān)，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可方便直觀地解決與不等式有關(guān)的問題.例如：（1）二次不等式f（x）=ax2+bx+c0的解集是（，+）a0且f（）=f（）=0.（2）當(dāng)a0時(shí)，f（）f（）|+|+|；當(dāng)a0時(shí)，f（）f（）|+|+|.（3）當(dāng)a0時(shí)，二次不等式f（x）0在p，q上恒成立或或 （4）f（x）0恒成立或f（x）0恒成立或拓展題例【例1】 已知當(dāng)mr時(shí)，函數(shù)f（x）m（x21）xa的圖象和x軸恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）m=0時(shí)，f（x）=xa是一次函數(shù)，它的圖象恒與x軸相交，此時(shí)ar.（2）m0時(shí)，由題意知，方程mx2x（ma）0恒有實(shí)數(shù)解，其充要條件是14m（ma）4m24am10.又只需（4a）2160，解得1a1，即a1，1.m0時(shí)，ar；m0時(shí)，a1，1.評述：g（a）是a的函數(shù)，可作出g（a）的草圖來求最大值.【例2】 已知f（x）ax2bxc的圖象過點(diǎn)（1，0