高考數(shù)學(xué)理二輪配套訓(xùn)練【專題9】1函數(shù)與方程思想含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第1講函數(shù)與方程思想1函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決方程的教學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)

2、系2和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)yf(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要(3)在三角函數(shù)求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通過三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式，那么問題就能化為未知量的方程來解(4)解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(5)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程

3、或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切.熱點(diǎn)一函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用例1(1)f(x)ax33x1對(duì)于x1,1總有f(x)0成立，則a_.(2)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在r上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是_答案(1)4(2)(，3)(0,3)解析(1)若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當(dāng)x>0即x(0,1時(shí)，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g

4、(x)maxg4，從而a4；當(dāng)x<0即x1,0)時(shí)，f(x)ax33x10可化為a，設(shè)g(x)，且g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，因此g(x)ming(1)4，從而a4，綜上a4.(2)設(shè)f(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在r上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)，即f(x)在r上為奇函數(shù)又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)>0，所以x<0時(shí)，f(x)為增函數(shù)因?yàn)槠婧瘮?shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以x>0時(shí)，f(x)也是增函數(shù)因?yàn)閒(3)f(3)g(3)0f(3)所以，由圖可知f(x)&l

5、t;0的解集是(，3)(0,3)思維升華(1)在解決不等式問題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題；(2)函數(shù)f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可轉(zhuǎn)化為f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù)，然后利用函數(shù)值域求解(1)若2x5y2y5x，則有()axy0 bxy0cxy0 dxy0(2)已知函數(shù)f(x)x42x33m，xr，若f(x)90恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()am bm>cm dm<答案(1)b(2)a解析(1)把不等式變形為2x5x2y5y，構(gòu)造函數(shù)y2x5x，其為r上的增

6、函數(shù)，所以有xy.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x42x33m.所以f(x)2x36x2，令f(x)0得x0或x3，經(jīng)檢驗(yàn)知x3是函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值為f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m，故選a.熱點(diǎn)二函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例2已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)在(1)的條件下，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，設(shè)bn，若對(duì)任意的nn*，不等式bnk恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值解(1)因?yàn)閍12，aa2·(a41)，又因?yàn)閍n是正項(xiàng)等差數(shù)列，故d0，所以(2

7、2d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n.(2)因?yàn)閟nn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，則f(x)2，當(dāng)x1時(shí)，f(x)>0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，故當(dāng)x1時(shí)，f(x)minf(1)3，即當(dāng)n1時(shí)，(bn)max，要使對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實(shí)數(shù)k的最小值為.思維升華(1)等差(比)數(shù)列中各有5個(gè)基本量，建立方程組可“知三求二”；(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式即為相應(yīng)的解析式，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)注意利用函數(shù)的思想求解(1)(20xx

8、83;江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21，a8a62a4，則a6的值是_(2)已知函數(shù)f(x)()x，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f(n)c，則an的最小值為()a1 b1c. d答案(1)4(2)d解析(1)因?yàn)閍8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41×224.(2)由題設(shè)，得a1f(1)cc；a2f(2)cf(1)c；a3f(3)cf(2)c.又?jǐn)?shù)列an是等比數(shù)列，()2(c)×()，c1.又公比q，an()n12()n，nn

9、*.且數(shù)列 an是遞增數(shù)列，n1時(shí)，an有最小值a1.熱點(diǎn)三函數(shù)與方程思想在幾何中的應(yīng)用例3已知橢圓c：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為a(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)m，n.(1)求橢圓c的方程；(2)當(dāng)amn的面積為時(shí)，求k的值解(1)由題意得解得b.所以橢圓c的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)m，n的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|mn|.又因?yàn)辄c(diǎn)a(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以amn的面積為s|mn|·d.由，解得k±1.所以，k的值為1或1.思維升華

10、幾何最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決(1)(20xx·安徽)設(shè)f1，f2分別是橢圓e：x21(0<b<1)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)f1的直線交橢圓e于a，b兩點(diǎn)若|af1|3|f1b|，af2x軸，則橢圓e的方程為_(2)若a>1，則雙曲線1的離心率e的取值范圍是()a(1，) b(，)c， d(，)答案(1)x2y21(2)b解析(1)設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為(x0，y0)，x21，且0<b<1，f1(

11、，0)，f2(，0)af2x軸，a(，b2)|af1|3|f1b|，3，(2，b2)3(x0，y0)x0，y0.點(diǎn)b的坐標(biāo)為.將點(diǎn)b代入x21，得b2.橢圓e的方程為x2y21.(2)e2()21(1)2，因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí)，0<<1，所以2<e2<5，即<e<.1在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是一個(gè)方程，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當(dāng)題目與這些問題有關(guān)時(shí)，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量2當(dāng)問題中涉及一些變化的量時(shí)，就需要建立這些變化的量之間的關(guān)系，通過變量之間的關(guān)系探究問題的

12、答案，這就需要使用函數(shù)思想3借助有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，一是用來解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題，二是在問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)來求解4許多數(shù)學(xué)問題中，一般都含有常量、變量或參數(shù)，這些參變量中必有一個(gè)處于突出的主導(dǎo)地位，把這個(gè)參變量稱為主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實(shí)質(zhì)就是分離參變量.真題感悟1(20xx·遼寧)已知a2，blog2，c，則()aa>b>c ba>c>bcc>a>b dc>b>a答案c解析0<a<201，blog2<l

13、og210，c>1，即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.2(20xx·福建)設(shè)p，q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點(diǎn)，則p，q兩點(diǎn)間的最大距離是()a5 b.c7 d6答案d解析如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以r為半徑的圓的方程為x2(y6)2r2(r>0)，與橢圓方程y21聯(lián)立得方程組，消掉x2得9y212yr2460.令1224×9(r246)0，解得r250，即r5.由題意易知p，q兩點(diǎn)間的最大距離為r6，故選d.3(20xx·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))

14、過點(diǎn)p(2，5)，且該曲線在點(diǎn)p處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_答案3解析yax2的導(dǎo)數(shù)為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.4(20xx·福建)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_(單位：元)答案160解析設(shè)該長方體容器的長為x m，則寬為 m又設(shè)該容器的造價(jià)為y元，則y20×42(x)×10，即y8020(x)(x>0)因?yàn)閤24(當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時(shí)取“”)，所以ymin8020×4160(元)押題精練1

15、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞，f(1)2，對(duì)任意xr，f(x)>2，則f(x)>2x4的解集為()a(1,1) b(1，)c(，1) d(，)答案b解析f(x)>2轉(zhuǎn)化為f(x)2>0，構(gòu)造函數(shù)f(x)f(x)2x，得f(x)在r上是增函數(shù)又f(1)f(1)2×(1)4，f(x)>2x4，即f(x)>4f(1)，所以x>1.2設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖象分別交于點(diǎn)m、n，則當(dāng)|mn|達(dá)到最小時(shí)t的值為()a1 b. c. d.答案d解析可知|mn|f(x)g(x)x2ln x.令f(x)x2ln x，f(x)2x，所以當(dāng)0

16、<x<時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)xt時(shí)，f(x)有最小值，即|mn|達(dá)到最小3(20xx·遼寧)當(dāng)x2,1時(shí)，不等式ax3x24x30恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a5，3 b6，c6，2 d4，3答案c解析當(dāng)x0時(shí)，ax3x24x30變?yōu)?0恒成立，即ar.當(dāng)x(0,1時(shí)，ax3x24x3，a，所以amax.設(shè)(x)，所以(x)>0，所以(x)在(0,1上遞增，(x)max(1)6.所以a6.當(dāng)x2,0)時(shí)，a，所以amin.仍設(shè)(x)，(x).當(dāng)x2，1)時(shí)，(x)<0，(x)在2

17、，1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(1,0)時(shí)，(x)>0，(x)在(1,0)上單調(diào)遞增所以當(dāng)x1時(shí)，(x)有極小值，即為最小值而(x)min(1)2，所以a2.綜上知6a2.4若關(guān)于x的方程(22|x2|)22a有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案1,2)解析令f(x)(22|x2|)2.要使f(x)2a有實(shí)根，只需2a是f(x)的值域內(nèi)的值f(x)的值域?yàn)?,4)，1a2<4，1a<2.5已知函數(shù)f(x)ax2ax和g(x)xa，其中ar，且a0.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)a、b，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求oab的面積s的最大值解依題意，f(x)g(x)，即ax2axxa，

18、整理得ax2(a1)xa0，a0，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)a、b，>0，即(a1)24a23a22a1(3a1)·(a1)>0，1<a<且a0.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1<x2，由得x1x21>0，x1x2.設(shè)點(diǎn)o到直線g(x)xa的距離為d，則d，s|x1x2|· .1<a<且a0，當(dāng)a時(shí)，s取得最大值.即oab的面積s的最大值為.6.如圖，已知橢圓g：1(a>1)，m：(x1)2y21，p為橢圓g上一點(diǎn)，過p作m的兩條切線pe、pf，e、f分別為切點(diǎn)(1)求t|的取值范圍；(2)把·表示成t的函數(shù)f(t)，并求出f(t)的最大值、最小值解(1)設(shè)p(x0，y0)，則1(a>1)，y(a21)，t2|2(x01)2y(x01)2(