高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：10.3組合教案含習(xí)題及答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.510.3 組合知識(shí)梳理1.組合的概念：從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，組合的個(gè)數(shù)叫組合數(shù)，用c表示.2.組合數(shù)公式c=.3.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）c=c；（2）c=c+c.點(diǎn)擊雙基1.從4臺(tái)甲型電腦和5臺(tái)乙型電腦中任取3臺(tái)，其中兩種電腦都要取，則不同的取法種數(shù)是a.140 b.84 c.70 d.35解析：取3臺(tái)分兩類：2臺(tái)甲型1臺(tái)乙型，有c·c種；1臺(tái)甲型2臺(tái)乙型，有c·c種.c·c+c·c=30+40=70（種）.答案：c特別提示先從甲型、乙型中各抽1臺(tái)，有c

2、83;c種，再從余下的中選1臺(tái)，有c種，故有c·c·c=140（種）.解法不正確.2.（2004年北京，理17）從長度分別為1、2、3、4、5的五條線段中，任取三條的不同取法共有n種.在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為m，則等于a. b. c. d.解析：n=c=10，由余弦定理知可組成鈍角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m=2.=.答案：b3.已知1，2x1，2，3，4，5，滿足這個(gè)關(guān)系式的集合x共有_個(gè).a.2b.6c.4d.8解析：由題意知集合x中的元素1，2必取，另外可從3，4，5中可以不取，取1個(gè)，取2個(gè)，取3個(gè)，故有c+c+

3、c+c=8（個(gè)）.答案：d4.（2003年東北三校模擬題）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色.若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為_.解析：設(shè)四棱錐為pabcd.（1）p：c，a：c，b：c，c與b同色：1，d：c.（2）p：c，a：c，b：c，c與b不同色c，d：c.共有c·c·c·1·c+c·c·c·c·c=420.答案：4205.某校準(zhǔn)備參加2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把10個(gè)名額分配給高三年級(jí)8個(gè)班，每班至少1人，不同的分配方案有_種.解析：把10個(gè)名額分成8份，每份至少一

4、個(gè)名額即可，用隔板法：c=c=36.答案：36典例剖析【例1】 某外語組有9人，每人至少會(huì)英語和日語中的一門，其中7人會(huì)英語，3人會(huì)日語，從中選取會(huì)英語和日語的各一人，有多少種不同的選法?解：由題意可知，只會(huì)英語的有6人，只會(huì)日語的有2人，英語和日語都會(huì)的有1人.以只會(huì)英語的人數(shù)分類，c·c·c+c·c=20.【例2】 設(shè)集合a=1，2，3，10，（1）設(shè)a的3個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為n，求n的值；（2）設(shè)a的3個(gè)元素的子集中，3個(gè)元素的和分別為a1，a2，an，求a1+a2+a3+an的值.解：（1）a的3元素子集的個(gè)數(shù)為n=c=120.（2）在a的3元素子集中，含

5、數(shù)k（1k10）的集合個(gè)數(shù)有c個(gè)，因此a1+a2+an=c×（1+2+3+10）=1980.評(píng)述：在求從n個(gè)數(shù)中取出m（mn）個(gè)數(shù)的所有組合中各組合中數(shù)字的和時(shí)，一般先求出含每個(gè)數(shù)字的組合的個(gè)數(shù)，含每個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)一般都相等，故每個(gè)數(shù)字之和與個(gè)數(shù)之積便是所求結(jié)果.【例3】 從1，2，30這30個(gè)自然數(shù)中，每次取不同的三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？解：令a=1，4，7，10，28，b=2，5，8，11，29，c=3，6，9，30組成三類數(shù)集，有以下四類符合題意：a，b，c中各取一個(gè)數(shù)，有ccc種；僅在a中取3個(gè)數(shù)，有c種；僅在b中取3個(gè)數(shù)，有c種；僅在c中取3個(gè)數(shù)，有c

6、種.故由加法原理得共有c·c·c+3c=1360種. 評(píng)述：按元素的性質(zhì)分類是處理帶限制條件的組合問題的常用方法，對(duì)于某幾個(gè)數(shù)的和能被某數(shù)整除一類的問題，通常是將整數(shù)分類，凡余數(shù)相同者歸同一類.思考討論討論下面的問題：用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的能被25整除的四位數(shù)多少個(gè)？提示：能被25整除的數(shù)的后兩位是25或50，后兩位是50的數(shù)有a個(gè)，后兩位是25的數(shù)有3×3=9個(gè)，所以能被25整除的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為a+9=21.【例4】 如圖，從一個(gè)3×4的方格中的一個(gè)頂點(diǎn)a到對(duì)頂頂點(diǎn)b的最短路線有幾條？解：從a到b的最短路線，均需走7步

7、，包括橫向的4步和縱向的3步，于是我們只要確定第1，2，7步哪些是橫向的，哪些是縱向的就可以了，實(shí)際只要確定哪幾步是橫向走.所以每一條從a到b的最短路線對(duì)應(yīng)著從第1，2，7步取出4步（橫向走）的一個(gè)組合，因此從a到b的最短路線共有c=c=35條.深化拓展1.某城市由n條東西方向的街道和m條南北方向的街道組成一個(gè)矩形街道網(wǎng)，如下圖所示.要從a處走到b處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？解：將相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的街道稱為一段，那么從a到b需要走（n+m2）段，而這些段中，必須有東西方向的（n1）段，其余的為南北方向的（m1）段，所以共有c=c種走法.2.從一樓到二樓樓梯一共10級(jí)，上樓可以一步

8、上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，規(guī)定用8步走完樓梯的方法種數(shù)是_.解：設(shè)一步一級(jí)x步，一步兩級(jí)y步，則故走完樓梯的方法有c=28種.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有a.240種b.180種c.120種d.60種解析：先從6雙手套中任選一雙，有c種取法，再從其余手套中任選2只，有c種，其中選一雙同色手套的選法為c種.故總的選法數(shù)為c（cc）=240種.答案：a2.（2004年江蘇，3）從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有a.140種b.120種c.35種d.34種解析：7人中任選4人，共c種選法，扣

9、除只有男生的選法c，就可得有既有男生，又有女生的選法cc=34.答案：d3.（2004年湖北，理14）將標(biāo)號(hào)為1，2，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，10的10個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法共有_種.（以數(shù)字作答）解析：從10個(gè)盒中挑3個(gè)與球標(biāo)號(hào)不一致，共c種挑法，每一種3個(gè)盒子與球標(biāo)號(hào)全不一致的方法為2種，共有2c=240種.答案：2404.某年級(jí)有6個(gè)班，派3個(gè)數(shù)學(xué)老師任教，每位教師教兩個(gè)班，不同的任課方法種數(shù)有_種.解析：把6個(gè)班均勻分為3份，有種分法，再把這三份分給3位教師，所以不同的任課方法有a=ccc種.答案：905.某運(yùn)輸公司有

10、7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號(hào)相同，要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì)，每個(gè)隊(duì)至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？解：由于每隊(duì)至少抽1輛，故問題轉(zhuǎn)化為從7個(gè)車隊(duì)中抽3輛車，分類討論.3輛車都從1個(gè)隊(duì)抽，有c種；3輛車從2個(gè)隊(duì)抽，有a種；3輛車從3個(gè)隊(duì)抽，有c種.綜上所述，共有c+a+c=84種. 6.袋中有10個(gè)球，其中4個(gè)紅球，6個(gè)白球，若取到1個(gè)紅球記2分，取到1個(gè)白球記1分，那么從這10個(gè)球中取出4個(gè)，使總分不低于5分的取法有多少種?解法一：取出4個(gè)球不低于5分只能是4紅或3紅1白或2紅2白或1紅3白.故有c+cc+cc+cc=195種.解法二：取出4個(gè)球總分低于5分只能

11、是4個(gè)白球，故有cc=195種.培養(yǎng)能力7.（理）有11名外語翻譯人員，其中5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另兩名英、日語都精通，從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作，問這樣的分配名單共可開出幾張?分析：既精通英語，又精通日語的“多面手”是特殊元素，所以可以從他們的參與情況入手進(jìn)行分類討論.解：按“多面手”的參與情況分成三類.第一類：多面手不參加，這時(shí)有cc種；第二類：多面手中有一人入選，這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有ccc+ccc種；第三類：多面手中兩個(gè)均入選，這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語

12、種，因此有ccc+ccc+cccc種.綜上分析，共可開出cc+ccc+ccc+ccc+ccc+ cccc=185種.評(píng)述：首先注意分類方法，體會(huì)分類方法在解組合問題中的作用.本題也可以先安排翻譯英文人員，后安排翻譯日文人員進(jìn)行分類求解，共有cc+ccc+ccc=185種.（文）某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，鑒定結(jié)果有15種假貨，現(xiàn)從35種商品中選取3種.（1）其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種?（2）其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種?（3）恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?（4）至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?（5）至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?解

13、：（1）c=561.（2）c=5984.（3）c·c=2100.（4）c·c+c=2555.（5）c+cc+cc=6090.探究創(chuàng)新8.有點(diǎn)難度喲！從1到100這100個(gè)正整數(shù)中，每次取出2個(gè)數(shù)使它們的和大于100，共有多少種取法?解：（1）若取出的2個(gè)數(shù)都大于50，則有c種.（2）若取出的2個(gè)數(shù)有一個(gè)小于或等于50，當(dāng)取1時(shí)，另1個(gè)只能取100，有c種取法；當(dāng)取2時(shí)，另1個(gè)只能取100或99，有c種取法；當(dāng)取50時(shí)，另1個(gè)數(shù)只能取100，99，98，51中的一個(gè)，有c種取法，所以共有1+2+3+50=.故取法種數(shù)為c+=+=2500.思悟小結(jié)1.組合數(shù)公式有連乘和階乘形式

14、，階乘形式一般用于證明和計(jì)算，組合數(shù)的性質(zhì)常用于證明等式及合并組合數(shù)簡化計(jì)算.2.解受條件限制的組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）.3.解組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意至少、至多、最多、恰好等詞的含義.4.各種與元素的位置、順序無關(guān)的組合問題，常見的有選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題，解答組合問題的關(guān)鍵是用好組合的定義和兩個(gè)基本原理，只選不排，合理分類、分步.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.要搞清組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系：組合與順序無關(guān)，排列與順序有關(guān)；排列可以分成先選?。ńM合）后排列兩個(gè)步驟進(jìn)行.2.熟練掌握組合數(shù)公式的兩種形式.拓展題例【例題】 某籃球隊(duì)共7名老隊(duì)員，5名新隊(duì)員，根據(jù)下列情況分別求出有多少種不同的出場陣容.（1）某老隊(duì)員必須