高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：12.1 離散型隨機(jī)變量的分布列

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第十二章 概率與統(tǒng)計(jì)網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點(diǎn)目標(biāo)定位1.了解離散型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列.2.了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差.3.會(huì)用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本.4.會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布.5.了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì).6.了解線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用.7.實(shí)習(xí)作業(yè)以抽樣方法為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.復(fù)習(xí)方略指南在復(fù)習(xí)中，要注意理解變量的多樣性，深化函數(shù)的思想方法在實(shí)際問題中的應(yīng)用，充分注意一些概念的實(shí)際意義，理解概率中處理問題的

2、基本思想方法，掌握所學(xué)概率知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用.1.把握基本題型應(yīng)用本章知識(shí)要解決的題型主要分兩大類：一類是應(yīng)用隨機(jī)變量的概念，特別是離散型隨機(jī)變量分布列以及期望與方差的基礎(chǔ)知識(shí)，討論隨機(jī)變量的取值范圍，取相應(yīng)值的概率及期望、方差的求解計(jì)算；另一類主要是如何抽取樣本及如何用樣本去估計(jì)總體.作為本章知識(shí)的一個(gè)綜合應(yīng)用，教材以實(shí)習(xí)作業(yè)作為一節(jié)給出，應(yīng)給予足夠的重視.2.強(qiáng)化雙基訓(xùn)練主要是培養(yǎng)扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，迅捷準(zhǔn)確的運(yùn)算能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛嗤评砟芰?3.強(qiáng)化方法選擇特別在教學(xué)中要掌握思維過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，達(dá)到舉一反三的目的，還要進(jìn)行題后反思，使學(xué)生在大腦記憶中構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成條理

3、化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系.4.培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)要挖掘知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從形式結(jié)構(gòu)、數(shù)字特征、圖形圖表的位置特點(diǎn)等方面進(jìn)行聯(lián)想和試驗(yàn)，找到知識(shí)的“結(jié)點(diǎn)”.再有就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題進(jìn)行訓(xùn)練，以培養(yǎng)利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.12.1 離散型隨機(jī)變量的分布列知識(shí)梳理1.隨機(jī)變量的概念如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，它常用希臘字母、等表示.（1）離散型隨機(jī)變量.如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.（2）若是隨機(jī)變量，=a+b，其中a、b是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列（1）概率分布

4、（分布列）.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為x1，x2，xi，取每一個(gè)值xi（i=1，2，）的概率p（=xi）=pi，則稱表x1x2xipp1p2pi為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.（2）二項(xiàng)分布.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是p（=k）=cpkqnk.其中k=0，1，n，q=1p，于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knpcp0qncp1qn1cpkqnkcpnq0我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作b（n，p），其中n、p為參數(shù)，并記cpkqnk=b（k；n，p）.特別提示二項(xiàng)分布是一種常用的離散型隨機(jī)變量的分布.點(diǎn)擊雙基1.拋

5、擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為，那么=4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是a.一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)b.兩顆都是2點(diǎn)c.兩顆都是4點(diǎn)d.一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)解析：對(duì)a、b中表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，隨機(jī)變量均取值4，而d是 =4代表的所有試驗(yàn)結(jié)果.掌握隨機(jī)變量的取值與它刻畫的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系是理解隨機(jī)變量概念的關(guān)鍵.答案：d2.下列表中能成為隨機(jī)變量的分布列的是a.101p0.30.40.4b.123p0.40.70.1c.101p0.30.40.3d.123p0.30.40.4解析：a、d不滿足分布列的基本性質(zhì)，b不滿足分布列的基本性質(zhì).答案：c3.已知隨機(jī)變量的分布列為p（=k）=，k=

6、1，2，則p（2<4）等于a.b.c.d.解析：p（2<4）=p（=3）+p（=4）=+=.答案：a4.某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%，從中任意地連續(xù)取出5件，其中次品數(shù)的分布列為_.解析：本題中商品數(shù)量較大，故從中任意抽取5件（不放回）可以看作是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)n=5，因而次品數(shù)服從二項(xiàng)分布，即b（5，0.1）.的分布列如下：012345p0.950.5×0.940.1×0.930.01×0.924.5×0.140.155.設(shè)隨機(jī)變量b（2，p），b（4，p），若p（1）=，則p（1）=_.解析：p（1）=1p（<1）=1cp0

7、83;（1p）2=，p=，p（1）=1p（=0）=1c（）0（）4=1=.答案： 典例剖析【例1】 在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列；（2）放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列.剖析：隨機(jī)變量可以取0，1，2，也可以取0，1，2，3，放回抽樣和不放回抽樣對(duì)隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問題具體分析.解：（1）p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，所以的分布列為012p（2）p（=k）=c·0.83k·0.2k（k=0，1，2，3），所以的分布列為0123pc0.83c0.82·0.2c0.8

8、·0.22c0.23評(píng)述：放回抽樣時(shí)，抽到的次品數(shù)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件，即b（3，0.8）.特別提示求離散型隨機(jī)變量分布列要注意兩個(gè)問題：一是求出隨機(jī)變量所有可能的值；二是求出取每一個(gè)值時(shí)的概率.【例2】 一袋中裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取3只，以表示取出的三只球中的最小號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量的分布列.剖析：因?yàn)樵诰幪?hào)為1，2，3，4，5的球中，同時(shí)取3只，所以小號(hào)碼可能是1或2或3，即可以取1，2，3.解：隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3.當(dāng)=1時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為1，則其他兩只球只能在編號(hào)為2，3，4，5的四只球中任取兩只，故有p（=1）=；當(dāng)=2時(shí)，即取

9、出的三只球中最小號(hào)碼為2，則其他兩只球只能在編號(hào)為3，4，5的三只球中任取兩只，故有p（=2）=；當(dāng)=3時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為3，則其他兩只球只能在編號(hào)為4，5的兩只球中任取兩只，故有p（=3）=.因此，的分布列如下表所示：123p評(píng)述：求隨機(jī)變量的分布列，重要的基礎(chǔ)是概率的計(jì)算，如古典概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等.本題中基本事件總數(shù)，即n=c，取每一個(gè)球的概率都屬古典概率（等可能性事件的概率）.【例3】 （2004年春季安徽）已知盒中有10個(gè)燈泡，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品.需要從中取出2個(gè)正品，每次取出1個(gè)，取出后不放回，直到取出

10、2個(gè)正品為止.設(shè)為取出的次數(shù)，求的分布列及e.剖析：每次取1件產(chǎn)品，至少需2次，即最小為2，有2件次品，當(dāng)前2次取得的都是次品時(shí)，=4，所以可以取2，3，4.解：p（=2）=×=；p（=3）=××+××=；p（=4）=1=.的分布列如下：234pe=2×p（=2）+3×p（=3）+4×p（=4）=.評(píng)述：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.思考討論1.=4時(shí)有哪些情況?2.本題若改為取出后放回，如何求解?闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，

11、4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量，則所有可能取值的個(gè)數(shù)是a.5 b.9 c.10 d.25解析：號(hào)碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種.答案：b2.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了次球，則p（=12）等于a.c（）10·（）2b.c（）9（）2·c.c（）9·（）2d.c（）9·（）2解析：p（=12）表示第12次為紅球，前11次中有9次為紅球，從而p（=12）=c·（）9（）2×.答

12、案：b3.現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%，從中任取5粒，記為5粒中的優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是_.解析：b（5，0.3），的分布列是p（=k）=c0.3k0.75k，k=0，1，5.答案：p（=k）=c0.3k0.75k，k=0，1，54.袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，則p（6）=_.解析：取出的4只球中紅球個(gè)數(shù)可能為4，3，2，1個(gè)，黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為0，1，2，3個(gè).其分值為=4，6，8，10分.p（6）=p（=4）+p（=6）=+=.答案：5.（2004年天津，理18）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.設(shè)隨

13、機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率.解：（1）的可能取值為0，1，2.p（=k）=，k=0，1，2.的分布列為012p（2）由（1），可知e=0×+1×+2×=1.（3）“所選3人中女生人數(shù)1”的概率為p（1）=p（=0）+p（=1）=.培養(yǎng)能力6.（2003年高考·新課程）a、b兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，a隊(duì)隊(duì)員是a1、a2、a3，b隊(duì)隊(duì)員是b1、b2、b3，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：對(duì)陣隊(duì)員a隊(duì)隊(duì)員勝的概率a隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率a1對(duì)b1a2對(duì)b

14、2a3對(duì)b3現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)，每場(chǎng)勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分.設(shè)a隊(duì)、b隊(duì)最后所得總分分別為、.（1）求、的概率分布；（2）求e、e.分析：本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.解：（1）、的可能取值分別為3，2，1，0.p（=3）=××=，p（=2）=××+××+××=，p（=1）=××+××+××=，p（=0）=××=；根據(jù)題意知+=3，所以p（=0）=p（=3）=，p（=1）=p（=2）

15、=，p（=2）=p（=1）=，p（=3）=p（=0）=.（2）e=3×+2×+1×+0×=；因?yàn)?=3，所以e=3e=.7.金工車間有10臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為10 kw，已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)12 min，且開動(dòng)與否是相互獨(dú)立的.現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提供50 kw的電力，這10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率為多大?在一個(gè)工作班的8 h內(nèi)，不能正常工作的時(shí)間大約是多少?分析：由實(shí)際問題確定隨機(jī)變量的取值，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求概率值.解：設(shè)10臺(tái)機(jī)床中實(shí)際開動(dòng)的機(jī)床數(shù)為隨機(jī)變量，由于機(jī)床類型相同，且機(jī)床的開動(dòng)與否相互獨(dú)

16、立，因此b（10，p）.其中p是每臺(tái)機(jī)床開動(dòng)的概率，由題意p=.從而p（=k）=c（）k（）10k，k=0，1，2，10.50 kw電力同時(shí)供給5臺(tái)機(jī)床開動(dòng)，因而10臺(tái)機(jī)床同時(shí)開動(dòng)的臺(tái)數(shù)不超過5臺(tái)時(shí)都可以正常工作.這一事件的概率為p（5），p（5）=c（）10+c··（）9+c（）2·（）8+c（）3（）7+c（）4·（）6+c（）5·（）50.994.因此，在電力供應(yīng)為50 kw的條件下，機(jī)床不能正常工作的概率僅約為0.006，從而在一個(gè)工作班的8 h內(nèi)，不能正常工作的時(shí)間只有大約8×60×0.006=2.88（min），

17、這說明，10臺(tái)機(jī)床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張的影響.評(píng)述：分布列的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)結(jié)合題意給出答案.8.一袋中裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取3只，以表示取出的3只球中的最大號(hào)，寫出隨機(jī)變量的分布列.解：根據(jù)題意可知隨機(jī)變量的取值為3，4，5.當(dāng)=3時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為3，則其他兩球的編號(hào)只能是1，2，故有p（=3）=.當(dāng)=4時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為4，則其他兩球只能在編號(hào)為1，2，3的3球中取2個(gè)，故p（=4）=.p（=5）=.可得的分布列為345p探究創(chuàng)新9.如果b（20，），則使p（=k）取最大值的k的值是_.解析：=×1，得k6.所以當(dāng)k6時(shí)，

18、p（=k+1）p（=k），當(dāng)k0時(shí)，p（=k+1）p（=k），其中k=6時(shí)，p（=k+1）=p（=k），從而k=6或7時(shí)，p（=k）取得最大值.答案：6或7思悟小結(jié)1.離散型隨機(jī)變量的概率分布的兩個(gè)本質(zhì)特征：pi0（i=1，2，n）與pi=1是確定分布列中參數(shù)值的依據(jù).2.求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出取各個(gè)值的概率.3.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.4.處理有關(guān)離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于根據(jù)實(shí)際問題確定恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率和.求離散型隨機(jī)變量的分布列必須解決好兩個(gè)問題，一是求出的所有取值，二是求出取每一個(gè)值時(shí)的概率.求一些離散型隨機(jī)變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個(gè)數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提.拓展題例【例題】 盒中裝有一打（12個(gè)