高考數(shù)學浙江專用總復習教師用書：第7章 第6講　數(shù)學歸納法 Word版含解析

1、高考數(shù)學精品復習資料2019.5第第 6 講講數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法最新考綱1.了解數(shù)學歸納法的原理；2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.知 識 梳 理1.數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù) n 有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當 n 取第一個值 n0(n0n*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè) nk(kn0，kn*)時命題成立，證明當 nk1 時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從 n0開始的所有正整數(shù) n 都成立.2.數(shù)學歸納法的框圖表示診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證 n1 時，左

2、邊式子應(yīng)為 122223.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明.()(3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用.()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由 nk 到 nk1 時，項數(shù)都增加了一項.()解析對于(2)，有些命題也可以直接證明；對于(3)，數(shù)學歸納法必須用歸納假設(shè)；對于(4)，由 nk 到 nk1，有可能增加不止一項.答案(1)(2)(3)(4)2.(選修 22p99b1 改編)在應(yīng)用數(shù)學歸納法證明凸 n 邊形的對角線為12n(n3)條時，第一步檢驗 n 等于()a.1b.2c.3d.4解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗 n3.答案

3、c3.已知 f(n)1n1n11n21n2，則()a.f(n)中共有 n 項，當 n2 時，f(2)1213b.f(n)中共有 n1 項，當 n2 時，f(2)121314c.f(n)中共有 n2n 項，當 n2 時，f(2)1213d.f(n)中共有 n2n1 項，當 n2 時，f(2)121314解析f(n)共有 n2n1 項，當 n2 時，1n12，1n214，故 f(2)121314.答案d4.用數(shù)學歸納法證明 1121312n11)，第一步要證的不等式是_.解析當 n2 時，式子為 112132.答案112130，且 b1，b，r 均為常數(shù))的圖象上.(1)求 r 的值；(2)當 b

4、2 時，記 bn2(log2an1)(nn*).證明：對任意的 nn*，不等式b11b1b21b2bn1bn n1成立.(1)解由題意，snbnr，當 n2 時，sn1bn1r，所以 ansnsn1bn1(b1)，由于 b0，且 b1，所以 n2 時，an是以 b 為公比的等比數(shù)列，又 a1br，a2b(b1)，a2a1b，即b（b1）brb，解得 r1.(2) 證 明由 (1) 知 an 2n1， 因 此 bn 2n(nn*) ， 所 證 不 等 式 為2124142n12n n1.當 n1 時，左式32，右式 2，左式右式，所以結(jié)論成立.假設(shè) nk 時結(jié)論成立，即2124142k12k k

5、1，則當 nk1 時，212414 2k12k2k32（k1） k12k32（k1）2k32 k1，要證當 nk1 時結(jié)論成立，只需證2k32 k1 k2，即證2k32 （k1） （k2），由基本不等式可得2k32（k1）（k2）2 （k1） （k2）成立，故2k32 k1 k2成立，所以當 nk1 時，結(jié)論成立.由可知，nn*時，不等式b11b1b21b2bn1bn n1成立.規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)當遇到與正整數(shù) n 有關(guān)的不等式證明時，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學歸納法.(2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由 nk 成立，推證 nk1 時也成立，證明時

6、用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法.【訓練 2】 求證：12131n1ln(n1)，nn*.證明當 n1 時，12ln 2，結(jié)論成立.假設(shè)當 nk(k1，kn*)時結(jié)論成立，即12131k1ln(k1).那么，當 nk1 時，12131k11k2ln(k1)1k2.下面證明 ln(k1)1k20)，則 f(x)x（1x）20，f(x)在(0，)上遞增，f(x)f(0)0，1k10，f1k1 0，即 ln11k1 1k111k10，即 lnk2k11k20，ln(k2)ln(k1)1k20，即 ln(k1)1k2ln(k2).當 nk1 時，不

7、等式也成立.綜上由，12131n10，nn*.(1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通項公式；(2)證明(1)中的猜想.(1)解當 n1 時，由已知得 a1a121a11，即 a212a120.a1 31(a10).當 n2 時，由已知得 a1a2a221a21，將 a1 31 代入并整理得 a222 3a220.a2 5 3(a20).同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nn*).(2)證明由(1)知，當 n1，2，3 時，通項公式成立.假設(shè)當 nk(k3，kn*)時，通項公式成立，即 ak 2k1 2k1.由于 ak1sk1skak121ak1ak21ak，將 ak 2k

8、1 2k1代入上式，整理得a2k12 2k1ak120，ak1 2k3 2k1，即 nk1 時通項公式成立.由可知對所有 nn*，an 2n1 2n1都成立.規(guī)律方法(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù) n 有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題.【訓練 3】 設(shè)函數(shù) f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中 f(x)是 f(x)的導函數(shù).(1)令 g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nn*，求 gn(

9、x)的表達式；(2)若 f(x)ag(x)恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍；(3)設(shè) nn*，猜想 g(1)g(2)g(n)與 nf(n)的大小，并加以證明.解由題設(shè)得，g(x)x1x(x0).(1)由已知，g1(x)x1x，g2(x)g(g1(x)x1x1x1xx12x，g3(x)x13x，可猜想 gn(x)x1nx.下面用數(shù)學歸納法證明.當 n1 時，g1(x)x1x，結(jié)論成立.假設(shè) nk 時結(jié)論成立，即 gk(x)x1kx.那么，當 nk1 時，gk1(x)g(gk(x)gk（x）1gk（x）x1kx1x1kxx1（k1）x，即結(jié)論成立.由可知，結(jié)論對 nn*成立.(2)已知 f(x)ag

10、(x)恒成立，即 ln(1x)ax1x恒成立.設(shè)(x)ln(1x)ax1x(x0)，則(x)11xa（1x）2x1a（1x）2，當 a1 時，(x)0(僅當 x0，a1 時等號成立)，(x)在0，)上單調(diào)遞增.又(0)0，(x)0 在0，)上恒成立，a1 時，ln(1x)ax1x恒成立(僅當 x0 時等號成立).當 a1 時，對 x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1 時，存在 x0，使(x)nln(n1).證明如下：上述不等式等價于12131n1x1x，x0.令 x1n，nn*，則1n1lnn1n.下面用數(shù)學歸納法證明.當 n1 時，12ln 2，結(jié)論成立.假設(shè)當

11、nk 時結(jié)論成立，即12131k1ln(k1).那么， 當 nk1 時，12131k11k2ln(k1)1k2n2(n2，nn*)”的過程中，由“nk”變到“nk1”時，左邊增加了()a.1 項b.k 項c.2k1項d.2k項解析左邊增加的項為12k12k112k11共 2k項，故選 d.答案d4.對于不等式 n2nn1(nn*)，某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下：(1)當 n1 時， 12111，不等式成立.(2)假設(shè)當 nk(kn*)時，不等式k2kk1 成立，當 nk1 時，（k1）2k1 k23k2 （k23k2）（k2）（k2）2(k1)1.當 nk1 時，不等式成立，則上述證法()

12、a.過程全部正確b.n1 驗得不正確c.歸納假設(shè)不正確d.從 nk 到 nk1 的推理不正確解析在 nk1 時，沒有應(yīng)用 nk 時的假設(shè)，不是數(shù)學歸納法.答案d5.用數(shù)學歸納法證明 123n2n4n22，則當 nk1 時左端應(yīng)在 nk的基礎(chǔ)上加上()a.k21b.(k1)2c.（k1）4（k1）22d.(k21)(k22)(k1)2解析當 nk 時，左端123k2.當 nk1 時，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故當 nk1 時，左端應(yīng)在 nk 的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.故選 d.答案d二、填空題6.設(shè) sn112131412n，則 sn1sn_.解析sn111

13、212n12n112n2n，sn112131412n.sn1sn12n112n212n312n2n.答案12n112n212n312n2n7.(20 xx紹興調(diào)研)數(shù)列an中， 已知 a12， an1an3an1(nn*)， 依次計算出 a2，a3，a4的值分別為_；猜想 an_.解析a12，a2232127，a3273271213，a421332131219.由此，猜想 an是以分子為 2，分母是以首項為 1，公差為 6 的等差數(shù)列.an26n5.答案27，213，21926n58.凸 n 多邊形有 f(n)條對角線.則凸(n1)邊形的對角線的條數(shù) f(n1)與 f(n)的遞推關(guān)系式為_.解

14、析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案f(n1)f(n)n1三、解答題9.用數(shù)學歸納法證明：11221321n221n(nn*，n2).證明(1)當 n2 時，11225421232，命題成立.(2)假設(shè) nk 時命題成立，即 11221321k221k.當 nk1 時，11221321k21（k1）221k1（k1）221k1k（k1）21k1k1k121k1，命題成立.由(1)(2)知原不等式在 nn*，n2 時均成立.10.數(shù)列an滿足 sn2nan(nn*).(1)計算 a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式 an；(2)證明(1)中的猜想.(1)解當 n1 時，a1s1

15、2a1，a11；當 n2 時，a1a2s222a2，a232；當 n3 時，a1a2a3s323a3，a374；當 n4 時，a1a2a3a4s424a4，a4158.由此猜想 an2n12n1(nn*).(2)證明當 n1 時，a11，結(jié)論成立.假設(shè) nk(k1 且 kn*)時，結(jié)論成立，即 ak2k12k1，那么 nk1 時，ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak12ak222k12k122k112k.所以當 nk1 時，結(jié)論成立.由知猜想 an2n12n1(nn*)成立.能力提升題組(建議用時：25 分鐘)11.(20 xx昆明診斷)設(shè) n 為正整數(shù)，

16、 f(n)112131n， 經(jīng)計算得 f(2)32， f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論()a.f(2n)2n12b.f(n2)n22c.f(2n)n22d.以上都不對解析因為 f(22)42， f(23)52， f(24)62， f(25)72， 所以當 n1 時， 有 f(2n)n22.答案c12.設(shè) f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且 f(x)滿足：“當 f(k)k2成立時，總可推出 f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命題總成立的是()a.若 f(1)1 成立，則 f(10)100 成立b.若 f(2)0)，設(shè) fn(x)為 fn

17、1(x)的導數(shù)，nn*.(1)求 2f12 2f22 的值；(2)證明：對任意的 nn*，等式|nfn14 4fn4 |22都成立.(1)解由已知，得 f1(x)f0(x)sin xxcos xxsin xx2，于是 f2(x)f1(x)cos xxsin xx2sin xx2cos xx22sin xx3，所以 f12 42，f22 2163.故 2f12 2f22 1.(2)證明由已知，得 xf0(x)sin x，等式兩邊分別對 x 求導，得 f0(x)xf0(x)cosx，即 f0(x)xf1(x)cos xsinx2 ，類似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x

18、)xf3(x)cos xsinx32，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2).下面用數(shù)學歸納法證明等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2對所有的 nn*都成立.()當 n1 時，由上可知等式成立.()假設(shè)當 nk(k1，且 kn*)時等式成立，即 kfk1(x)xfk(x)sinxk2.因 為 kfk1(x) xfk(x) kfk1(x) fk(x) xfk(x) (k 1)fk(x) xfk1(x) ，sinxk2cosxk2xk2sinx（k1）2，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sinx（k1）2.因此當 nk1 時，等式也成立.綜合()，()可知等式 nfn1(x)

19、xfn(x)sinxn2對所有的 nn*都成立.令 x4，可得 nfn14 4fn4 sin4n2(nn*).所以|nfn14 4fn4 |22(nn*).高考導航考查內(nèi)容主要集中在兩個方面： 一是以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運算和性質(zhì)，題目多為常規(guī)試題；二是等差、等比數(shù)列的通項與求和問題；三是結(jié)合函數(shù)、不等式(放縮法)等進行綜合考查，難度較大，涉及內(nèi)容較為全面，試題思維量較大.熱點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差、等比數(shù)列的綜合問題時，重點在于讀懂題意，靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項公式及前 n 項和公式解決問題，求解這類問題要重視方程思想的應(yīng)用.【例 1】 已知首項

20、為32的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前 n 項和為 sn(nn*)，且 s3a3，s5a5，s4a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè) tnsn1sn(nn*)，求數(shù)列tn的最大項的值與最小項的值.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q，因為 s3a3，s5a5，s4a4成等差數(shù)列，所以 s5a5s3a3s4a4s5a5，即 4a5a3，于是 q2a5a314.又an不是遞減數(shù)列且 a132，所以 q12.故等比數(shù)列an的通項公式為 an3212n1(1)n132n.(2)由(1)得 sn112n112n，n 為奇數(shù)，112n，n 為偶數(shù)，當 n 為奇數(shù)時，sn隨 n 的增大而減小，

21、所以 1sns132，故 0sn1sns11s1322356.當 n 為偶數(shù)時，sn隨 n 的增大而增大，所以34s2snsn1sns21s23443712.綜上，對于 nn*，總有712sn1sn56.所以數(shù)列tn最大項的值為56，最小項的值為712.探究提高解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題， 既要善于綜合運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關(guān)知識求解，更要善于根據(jù)具體問題情境具體分析，尋找解題的突破口.【訓練 1】 (20 xx樂清模擬)已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列， 其前 n 項和為 sn，滿足 s52a225，且 a1，a4，a13恰為等比數(shù)列bn的前三項.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式

22、；(2)設(shè) tn是數(shù)列1anan1的前 n 項和， 是否存在 kn*， 使得等式 12tk1bk成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，請說明理由.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d(d0)，5a1542d2（a1d）25，（a13d）2a1（a112d） ，解得 a13，d2，an2n1.b1a13，b2a49，等比數(shù)列bn的公比 q3，bn3n.(2)不存在.理由如下：1anan11（2n1） （2n3）1212n112n3 ，tn121315 1517 12n112n3121312n3 ，12tk2312k3(kn*)，易知數(shù)列12k3 為單調(diào)遞減數(shù)列，231 時，記 cnanbn，求數(shù)

23、列cn的前 n 項和 tn.滿分解答(1)解由題意有10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，2 分解得a11，d2或a19，d29.4 分故an2n1，bn2n1或an19（2n79） ，bn929n1.6 分(2)解由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，7 分于是 tn1325227239242n12n1，12tn123225237249252n12n.8 分可得12tn21212212n22n12n10 分32n32n，11 分故 tn62n32n1.12 分由題意列出方程組得 2 分；解得 a1與 d 得 2 分，漏解得 1 分；正確導出 an，

24、bn得 2 分，漏解得 1 分；寫出 cn得 1 分；把錯位相減的兩個式子，按照上下對應(yīng)好，再相減，就能正確地得到結(jié)果，本題就得滿分，否則就容易出錯，丟掉一些分數(shù).用錯位相減法解決數(shù)列求和的模板第一步：(判斷結(jié)構(gòu))若數(shù)列anbn是由等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn(公比 q)的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則可用此法求和.第二步：(乘公比)設(shè)anbn的前 n 項和為 tn，然后兩邊同乘以 q.第三步：(錯位相減)乘以公比 q 后，向后錯開一位，使含有 qk(kn*)的項對應(yīng)，然后兩邊同時作差.第四步：(求和)將作差后的結(jié)果求和，從而表示出 tn.【訓練 2】 已知數(shù)列an，an(1)n14n（2n1） （2n1

25、），求數(shù)列an的前 n項和 tn.解an(1)n112n112n1 ，當 n 為偶數(shù)時，tn113 1315 12n312n1 12n112n1 112n12n2n1.當 n 為奇數(shù)時，tn113 1315 12n312n1 12n112n1 112n12n22n1.所以 tn2n22n1，n 為奇數(shù)，2n2n1，n 為偶數(shù)(或 tn2n1（1）n12n1).熱點三數(shù)列的綜合應(yīng)用熱點 3.1數(shù)列的實際應(yīng)用數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，要充分利用題中限制條件確定數(shù)列的特征，如通項公式、前 n 項和公式或遞推關(guān)系式，建立數(shù)列模型.【例 31】 某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年

26、底固定給股東們分紅 500 萬元，該企業(yè)年底分紅后的資金為 1 000 萬元.(1)求該企業(yè)年底分紅后的資金；(2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過 32 500 萬元.解設(shè) an為(20 xxn)年年底分紅后的資金，其中 nn*，則 a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2).an5002(an1500)(n2)，即數(shù)列an500是以 a15001 000 為首項，2 為公比的等比數(shù)列，an5001 0002n1，an1 0002n1500.(1)a41 0002415008 500，該企業(yè)年底分紅后的資金為 8 500 萬元.(2

27、)由 an32 500，即 2n132，得 n6，該企業(yè)從開始年底分紅后的資金超過 32500 萬元.熱點 3.2數(shù)列與函數(shù)的綜合問題數(shù)列是特殊的函數(shù)， 以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點，該類綜合題的知識綜合性強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力，因而一直是高考命題者的首選.【例32】已知二次函數(shù)f(x)ax2bx的圖象過點(4n， 0)， 且f(0)2n(nn*).(1)求 f(x)的解析式；(2)若數(shù)列an滿足1an1f1an，且 a14，求數(shù)列an的通項公式；(3)對于(2)中的數(shù)列an，求證：nk1ak5；43nk1akak12.(1)解由 f(x)2a

28、xb，f(0)2n，得 b2n，又 f(x)的圖象過點(4n，0)，16n2a4nb0，解得 a12.f(x)12x22nx(nn*).(2)解由(1)知 f(x)x2n(nn*)，1an11an2n，即1an11an2n，1an1an12(n1)，1an11an22(n2)，1a21a12，1an14n2n，an1n2n14，即 an4（2n1）2(nn*).(3)證明ak1k（k1）141k（k1）1k11k(k2).當 n1 時，nk1ak5 顯然成立；當 n2 時，nk1ak4112 1213 1n11n 51n5. akak14（2k1） （2k1）22k122k1，nk1akak1

29、2123 2325 22n122n1 222n1.nn*，2n13，43222n10，x214，故 x12.(充分性)由 x120， xn1xn22xn， 易得數(shù)列xn為正項數(shù)列， 從而 xn1xn22xn2xn22xn2(n1)，即 xn2(n2)，又 x12，xn2(n1).于是 xn1xnxn22xnxn4x2n2xn（2xn） （2xn）2xn0，即 xn1xn對一切正整數(shù) n 成立.4.(20 xx浙江卷)已知數(shù)列an滿足 a112且 an1ana2n(nn*).(1)證明：1anan12(nn*)；(2)設(shè)數(shù)列a2n的前 n 項和為 sn，證明：12（n2）snn12（n1）(nn*).(1)證明由題意得 an1ana2n0，即 an1an，故 an12.由 an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a10.由 0an12得anan1anana2n11an(1，2，即 1anan12 成立.(2)解由題意得a2nanan1，所以 sna1an1由1an11ananan1和 1anan12 得 11an11an2，所以 n1an11a12n，因此12（n1）an11n2(nn*).由得12（n2）snn12（n1）(nn*).5.(20 xx杭州調(diào)研)已知數(shù)列an，bn中，a11，b