【四川】高考數(shù)學文二輪復習：專題3第2講數(shù)列求和及綜合應用考點精講精練及答案

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第二講數(shù)列求和及綜合應用1等差、等比數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列前n項和公式：snna1·d.(2)等比數(shù)列前n項和公式：q1時，snna1；q1時，sn.2數(shù)列求和的方法技巧(1)轉化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并(2)錯位相減法這是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排

2、列(反序)，當它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和3數(shù)列的應用題(1)應用問題一般文字敘述較長，反映的事物背景陌生，知識涉及面廣，因此要解好應用題，首先應當提高閱讀理解能力，將普通語言轉化為數(shù)學語言或數(shù)學符號，實際問題轉化為數(shù)學問題，然后再用數(shù)學運算、數(shù)學推理予以解決(2)數(shù)列應用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經(jīng)濟上涉及利潤、成本、效益的增減，解決該類題的關鍵是建立一個數(shù)列模型an，利用該數(shù)列的通項公式、遞推公式

3、或前n項和公式1 (20xx·課標全國)設等差數(shù)列an的前n項和為sn，sm12，sm0，sm13，則m等于()a3 b4 c5 d6答案c解析am2，am13，故d1，因為sm0，故ma1d0，故a1，因為amam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.2 (20xx·福建)數(shù)列an的通項公式anncos ，其前n項和為sn，則s2 012等于()a1 006 b2 012 c503 d0答案a解析用歸納法求解anncos ，a10，a22，a30，a44，a50，a66，a70，a88，.由此易知a4n2(4n2)，a4n4n，且a1a2a3a42

4、42，a5a6a7a8682，a4n3a4n2a4n1a4n(4n2)4n2.又2 0124×503，a1a2a2 0122222×5031 006.503個3 (20xx·大綱全國)已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，a55，s515，則數(shù)列的前100項和為()a. b. c. d.答案a解析設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.a55，s515，ana1(n1)dn.，數(shù)列的前100項和為11.4 (20xx·課標全國)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47

5、a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.5 (20xx·湖南)設sn為數(shù)列an的前n項和，sn(1)nan，nn*，則：(1)a3_；(2)s1s2s100_.答案(1)(2)解析ansnsn1(1)nan(1)n1an1，an(1)nan(1)n1an1.當n為偶數(shù)時，an1，當n為奇數(shù)時，2anan1，當n4時，a3.根據(jù)以上an的關系式及

6、遞推式可求a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8.a2a1，a4a3，a6a5，s1s2s100(a2a1)(a4a3)(a100a99).題型一分組轉化法求和例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項和sn.審題破題(1)可以通過逐個驗證來確定數(shù)列的前三項，進而求得an；(2)可以分組求和：將bn前n項和轉化為數(shù)列an和數(shù)列(1)nln an前n項的

7、和解(1)當a13時，不合題意；當a12時，當且僅當a26，a318時，符合題意；當a110時，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3.故an2·3n1 (nn*)(2)因為bnan(1)nln an2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln 2(n1)ln 32·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以sn2(133n1)111(1)n·(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以當n為偶數(shù)時，sn2×ln 33nln 31；當n為奇數(shù)時，sn2×(ln 2ln

8、 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，sn反思歸納某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對數(shù)列通項結構特點進行分析研究，將數(shù)列的通項合理分解轉化特別注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論變式訓練1在等差數(shù)列an中，a3a4a542，a830.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn()an2(r)，則是否存在這樣的實數(shù)使得bn為等比數(shù)列；(3)數(shù)列cn滿足cn，tn為數(shù)列cn的前n項和，求t2n.解(1)因為an是一個等差數(shù)列，所以a3a4a53a442，a414.設數(shù)列an的公差為d，則4da8a416，故d4.故ana

9、4(n4)d4n2.(2)bn()an29n.假設存在這樣的使得bn為等比數(shù)列，則bbn·bn2，即(9n1)2(9n)·(9n2)，整理可得0，即存在0使得bn為等比數(shù)列(3)cn，t2n1(2×23)22(2×43)2422n2(2×2n3)1222422n24(12n)3n4×3n2n2n.題型二錯位相減法求和例2已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項a12，且，成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足b12b222b32n1bnan，求數(shù)列nbn的前n項和tn.審題破題(1)列方程求an的通項公式；(2)先求bn

10、(兩式相減)，再用錯位相減法求tn.解(1)設等差數(shù)列an的公差為d，由2·，得(a1d)2a1(a13d)因為d0，所以da12，所以an2n.(2)b12b24b32n1bnanb12b24b32n1bn2nbn1an1得：2n·bn12.bn121n.當n1時，b1a12，bn22n.tn，tn，上兩式相減得tn222，tn8.反思歸納錯位相減法適用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列；所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)變式訓練2(20xx·山東)設等差數(shù)列an

11、的前n項和為sn，且s44s2，a2n2an1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設數(shù)列bn的前n項和為tn，且tn(為常數(shù))令cnb2n，nn*，求數(shù)列cn的前n項和rn.解(1)設公差為d，令n1，則a22a11，a1d1，又s44s2，即2a1d，由得：a11，d2，所以an2n1(nn*)(2)由題意知，tn，當n2時，bntntb2n(nn*)rnc1c2cn1cn0，rn，得：rn，rn.題型三裂項相消法求和例3在公差不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4，a8成等比數(shù)列(1)已知數(shù)列an的前10項和為45，求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，且數(shù)列bn的前n項和為tn，若t

12、n，求數(shù)列an的公差審題破題(1)列方程組(兩個條件)確定an；(2)不可以采用裂項相消法求得，應該和已知tn對比求得公差解設數(shù)列an的公差為d，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得aa1·a8，即(a13d)2a1(a17d)，a6a1d9d2a7a1d，而d0，a19d.(1)由數(shù)列an的前10項和為45可得s1010a1d45，即90d45d45，故d，a13，故數(shù)列an的通項公式為an3(n1)·(n8)(2)bn，則數(shù)列bn的前n項和為tn.故數(shù)列an的公差d1或1.反思歸納裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn (k1，kn*)的形式，從而達到在求和

13、時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式，使之符合裂項相消的條件變式訓練3等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項和解(1)設數(shù)列an的公比為q.由a9a2a6，得a9a，所以q2.由條件可知q>0，故q.由2a13a21，得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2，2.所以數(shù)列的前n項和為.題型四數(shù)列的綜合應用例4已知sn是數(shù)列an的前n項和，點(n，sn)在函數(shù)f(

14、x)x2x的圖象上(1)求數(shù)列an的通項；(2)若cn，求證：2n<c1c2cn<2n.審題破題(1)由sn求an可考慮ansnsn1；(2)利用不等式放縮、數(shù)列求和分析(1)解因為點(n，sn)在f(x)的圖象上，所以snn2n.當n2時，ansnsn1n1.當n1時，a1s12，適合上式所以ann1對任意nn*都成立(2)證明cn>2 2，所以c1c2cn>2n.又因為cn2.故c1c2cn2n()()()2n<2n.所以2n<c1c2cn<2n成立反思歸納數(shù)列與不等式綜合的問題是常見題型，常見的證明不等式的方法有：作差法；作商法；綜合法；分析法；

15、放縮法變式訓練4已知各項全不為零的數(shù)列an的前n項和為sn，sn，nn*.(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)若a23，求證：當nn*時，<.證明(1)由s1a1知a11.當n2時，ansnsn1，化簡得(n2)an(n1)an110，以n1代替n得(n1)an1nan10.兩式相減得(n1)an12(n1)an(n1)an10.則an12anan10，其中n2.所以，數(shù)列an為等差數(shù)列(2)由a11，a23，結合(1)的結論知an2n1(nn*)于是(1)()()(1)<.典例(12分)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記a(n)a1a2an，b(n)a2a3an1，c(n)a3a4

16、an2，n1,2，.(1)若a11，a25，且對任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件：對任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)組成公比為q的等比數(shù)列規(guī)范解答(1)解對任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)成等差數(shù)列，所以b(n)a(n)c(n)b(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故數(shù)列an是首項為1，公差為4的等差數(shù)列于是an1(n1)×44n3.5分(2)證明必要性：若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則對任意nn*，有an1anq.由an>

17、;0知，a(n)，b(n)，c(n)均大于0，于是q，q，即q.所以三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)組成公比為q的等比數(shù)列8分充分性：若對任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則b(n)qa(n)，c(n)qb(n)，于是c(n)b(n)qb(n)a(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1有b(1)qa(1)，即a2qa1，從而an2qan10.因為an>0，所以q.故數(shù)列an是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列11分綜上所述，數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件：對任意nn*，三個數(shù)a(n)，b(n)，c(n)組成公比

18、為q的等比數(shù)列12分評分細則(1)得到an是等差數(shù)列給3分；(2)證明中沒有寫出必要性、充分性的不扣分；(3)證明必要性時沒有指明an>0扣1分；(4)最后結論不寫扣1分閱卷老師提醒本題背景新穎，考查轉化能力用到的知識很簡單，失去信心是本題失分的主要原因第(1)問根據(jù)b(n)a(n)c(n)b(n)即可輕松解決；第(2)問需分充分性和必要性分別證明，其依據(jù)完全是非常簡單的等比數(shù)列的定義，其關鍵是要有較好的推理論證能力1 數(shù)列an中，an1(1)nan2n1，則數(shù)列an的前12項和等于()a76 b78 c80 d82答案b解析an2an(1)n(2n1)(2n1)，取n1,5,9及n2,

19、6,10，結果相加可得s12a1a2a3a4a11a1278.故選b.2 已知等差數(shù)列an的公差d2，a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99的值是()a78 b82 c148 d182答案b解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)a1a4a7a972d×335066×(2)82.3 已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，若a1a200，且a，b，c三點共線(該直線不過點o)，則s200等于()a100 b101 c200 d201答案a解析因為a，b，c三點共線，所以a1a2001，s200×200100.4 已知數(shù)列2 008

20、,2 009,1，2 008，2 009，這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2 013項之和s2 013等于()a1 b2 010c4 018 d0答案c解析由已知得anan1an1 (n2)，an1anan1.故數(shù)列的前8項依次為2 008,2 009,1，2 008，2 009，1，2 008,2 009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且s60.2 0136×3353，s2 013s34 018.5 已知數(shù)列an，an，前n項和為sn，關于an及sn的敘述正確的是()aan與sn都有最大值 ban與sn都沒有最大值can與sn都有最小值

21、dan與sn都沒有最小值答案c解析畫出an的圖象，點(n，an)為函數(shù)y圖象上的一群孤立點，(，0)為對稱中心，s5最小，a5最小，a6最大6 若數(shù)列n(n4)()n中的最大項是第k項，則k_.答案4解析由題意知解得k1.kn*，k4.專題限時規(guī)范訓練一、選擇題1 設sn是等差數(shù)列an的前n項和，已知a23，a611，則s7等于()a13 b35 c49 d63答案c解析a1a7a2a631114.s749.2 等差數(shù)列an的前n項和為sn，已知a58，s36，則s10s7的值是()a24 b48 c60 d72答案b解析設等差數(shù)列an的公差為d，由題意可得，解得，則s10s7a8a9a103

22、a124d48.3 已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x) (xr)，且f(1)，則數(shù)列f(n) (nn*)前20項的和為()a305 b315 c325 d335答案d解析因為f(1)，f(2)，f(3)，f(n)f(n1)，所以f(n)是以為首項，為公差的等差數(shù)列所以s2020××335.4 已知數(shù)列1，3，5，7，則其前n項和sn為()an21 bn22cn21 dn22答案a解析因為an2n1，則snnn21.5 已知數(shù)列an的前n項和snn23n，若an1an280，則n的值等于()a5 b4 c3 d2答案a解析由snn23n可得an42n.因此an1an242

23、(n1)42(n2)80，即n(n1)20，解得n5，故選a.6 數(shù)列an的通項公式是an(1)n·(3n2)，則a1a2a10等于()a15 b12 c12 d15答案a解析an(1)n(3n2)，a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3×515.7 (20xx·上海)設ansin ，sna1a2an.在s1，s2，s100中，正數(shù)的個數(shù)是()a25 b50 c75 d100答案d解析結合三角函數(shù)性質，尋求數(shù)列前n項和的符號特點ansin ，當1n24時，sin >0，即a1，a2，a24>0；當n25時，a250；當26n4

24、9時，ansin sin <0，且|an|<sin an25；當n50時，a500.s1，s2，s3，s50>0，同理可知s51，s52，s53，s100>0.在s1，s2，s100中，正數(shù)的個數(shù)為100.8 已知數(shù)列an的前n項和sn滿足：snsmsnm，且a11，那么a10等于()a1 b9 c10 d55答案a解析snsmsnm，a11，s11.可令m1，得sn1sn1，sn1sn1.即當n1時，an11，a101.二、填空題9 在數(shù)列an中，sn是其前n項和，若a11，an1sn (n1)，則an_.答案解析an1sn，an2sn1，an2an1(sn1sn)an1，an2an1 (n1)a2s1，an.10各項均為實數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和記為sn，若s1010，s3070，則s40_.答案150解析設每10項一組的和依次組成的數(shù)列為bn，由已知可得，b110，b1b2b370.設原等比數(shù)列an的公比為q，則q10.同理：q10，q10，bn構成等比數(shù)列，且公比qq10.由可得1010q10(q)270，即(q)2q60，解得q2或q3.qq10>0，q2.bn的前4項依次是10,20,40,80.s40150.11在等比數(shù)列an中，a13，a481，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列的前n項和sn_.答案解析設等比數(shù)列an的