第三節(jié)格林公式

1、第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用 第十章 ld區(qū)域 d 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 d 邊界l 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 d 是由分段光滑正向曲線 l 圍成,則有, ),(yxp),(yxqldyqxpyxypxqdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 d 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),ldyxyqxpyxqpdddd或一、一、 格林公式格林公式證明證明: 1) 若d 既是 x - 型區(qū)域 , 又是 y - 型區(qū)域 , 且bxaxy

2、xd)()(:21dycyxyd)()(:21則yxxqddddcyyyqd),(2)()(21dyyxxqcbeyyxqd),(caeyyxqd),(cbeyyxqd),(eacyyxqd),(dcyyyqd),(1dcyddcyxoecbabad即yxxqdddlyyxqd),(同理可證yxypdddlxyxpd),(、兩式相加得:ldyqxpyxypxqddddyxol2) 若d不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割1dnd2dnkdyxypxqk1ddyxypxqdddnkdkyqxp1ddlyqxpdd為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkdd證畢推論推論: 正向

3、閉曲線 l 所圍區(qū)域 d 的面積lxyyxadd21格林公式格林公式ldyqxpyxypxqdddd例如例如, 橢圓20,sincos:byaxl所圍面積lxyyxadd212022d)sincos(21ababab例例1. 設(shè) l 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxl證證: 令,22xqyxp則ypxq利用格林公式 , 得yxxyxldd22022xxdyxdd00例例2. 計(jì)算,dd2dyyxe其中d 是以 o(0,0) , a(1,1) , b(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0yexqpypxq利用格林公式 , 有dyyxedd2dyyexd2y

4、exoayd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (a) 1 , 0(bd2ye例例3. 計(jì)算,dd22lyxxyyx其中l(wèi)為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時(shí)則當(dāng) yx22222)(yxxyxq設(shè) l 所圍區(qū)域?yàn)閐,)0 , 0(時(shí)當(dāng)d由格林公式知0dd22lyxxyyx,22yxyp22yxxqypyxoldsincos2022222rrr2,)0 , 0(時(shí)當(dāng)d在d 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時(shí)針方向,1d, 對(duì)區(qū)域1d應(yīng)用格lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddllyxxyyx22dd0dd01yxdllyxxyyxyxxyyx

5、2222ddddl1dloyx記 l 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)d 是單連通域 ,),(),(yxqyxp在d 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿d 中任意光滑閉曲線 l , 有.0ddlyqxp(2) 對(duì)d 中任一分段光滑曲線 l, 曲線積分(3)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(d(4) 在 d 內(nèi)每一點(diǎn)都有.xqyplyqxpdd與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 d 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 說明說明: 積分與路徑無關(guān)時(shí), 曲線積分可記為 證明證明

6、(1) (2)設(shè)21, ll21ddddllyqxpyqxp1ddlyqxp2ddlyqxp21ddllyqxp0ab1l2l2ddlyqxp1ddlyqxp為d 內(nèi)任意兩條由a 到b 的有向分段光滑曲線, 則(根據(jù)條件(1)bayqxpddabyqxpdd證明證明 (2) (3)在d內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxa因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyqxpyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxpxuxuxx0lim),(lim0yxxpx),(),(ddyxxyxyqxp),(),(dyxxyxxpxyxxp),(同理可證yu),(yxq因此有yqxpuddd和任一點(diǎn)b( x,

7、y ),與路徑無關(guān),),(yxxc),(yxb),(00yxa有函數(shù) 證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yqxpuddd則),(),(yxqyuyxpxup, q 在 d 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在d內(nèi)每一點(diǎn)都有xqypxyuxqyxuyp22,證明證明 (4) (1)設(shè)l為d中任一分段光滑閉曲線,dd (如圖) ,上因此在dxqyp利用格林公式格林公式 , 得yxxqxqyqxplddd)(ddddl0所圍區(qū)域?yàn)樽C畢yx說明說明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xqyp則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡化計(jì)算,3) 可用積分法求d u

8、= p dx + q dy在域 d 內(nèi)的原函數(shù):dyx),(00及動(dòng)點(diǎn),),(dyxyyxqxyxpyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxp0d),(0或yyyyxqyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxq0d),(xxxyxp0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;ya xol例例4. 計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxl其中l(wèi) 為上半24xxy從 o (0, 0) 到 a (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,aod它與l 所圍原式y(tǒng)xyxyxaold)(d)3(22d

9、yxdd4oayxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域?yàn)閐 , 則6483例例5. 驗(yàn)證yyxxyxdd22是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證證: 設(shè),22yxqyxp則xqyxyp2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx例例6. 驗(yàn)證22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222,yxxqyxyp則)0()(22222xyqyxxyxp由定理定

10、理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy例例7. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場作用下沿曲線 l :xycos2由)2, 0(a移動(dòng)到, )0,2(b求力場所作的功w解解:)dd(2lyxxyrk令,22rxkqrykp則有)0()(22422yx

11、ryxkypxq可見, 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān). )(22yxr其中l(wèi)bayox),(2xyrkfsfwld:ab)dd(2yxxyrkwabd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?obao取圓弧lbayox為什么？注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) !內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式lyqxpdd2. 等價(jià)條件在 d 內(nèi)與路徑無關(guān).ypxq在 d 內(nèi)有yqxpudddyxypxqdddlyqxpdd對(duì) d 內(nèi)任意閉曲線 l 有0ddlyqxp在 d 內(nèi)有設(shè) p, q 在 d 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有思

12、考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxl且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確 ?lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41do2y1x2lldd5415lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41dd2412提示提示:時(shí)022 yxypxq) 1(ypxq)2(2. 設(shè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422c551x322yxcy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxccccdyxoaac 備用題備用題 1. 設(shè) c 為沿yxaxyxaxxaycd)ln(2d22222222ayx從點(diǎn)), 0(a依逆時(shí)針), 0(a的半圓, 計(jì)算解解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(d222xaya222xayyxddc到點(diǎn)d2. 質(zhì)點(diǎn)m 沿著以ab為直徑的半