二次函數(shù)-因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題典型例題

1、中考?jí)狠S題精選典型例題講解二次函數(shù)-因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題例1、如圖1，已知拋物線（b、c是常數(shù)，且c0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)（1）b_，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；（2）連結(jié)BC，過點(diǎn)A作直線AE/BC，與拋物線交于點(diǎn)E點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為(2,0)，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PB、PC設(shè)PBC的面積為S求S的取值范圍；若PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的PBC共有_個(gè)圖1 思路點(diǎn)撥1用c表示b以后，把拋物線的一般式改

2、寫為兩點(diǎn)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)OB2OC2當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，EHACOB，EHDCOD3求PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計(jì)算，P在BC上方或下方4求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過C運(yùn)動(dòng)到B的過程中，面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個(gè)數(shù)注意排除點(diǎn)A、C、B三個(gè)時(shí)刻的值滿分解答（1）b，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2c（2）由，設(shè)E過點(diǎn)E作EHx軸于H由于OB2OC，當(dāng)AE/BC時(shí)，AH2EH所以因此所以當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，所以整理，得2c23c20解得c2或（舍去）所以拋物線的解析式為（3）當(dāng)P在BC下方時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于F直線BC的解析式為設(shè)，那么，所以SPBCSPBFSPCF因此當(dāng)P在

3、BC下方時(shí)，PBC的最大值為4當(dāng)P在BC上方時(shí)，因?yàn)镾ABC5，所以SPBC5綜上所述，0S5若PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的PBC共有11個(gè)考點(diǎn)伸展點(diǎn)P沿拋物線從A經(jīng)過C到達(dá)B的過程中，PBC的面積為整數(shù)，依次為（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）當(dāng)P在BC下方，S4時(shí)，點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)的正下方，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)例 2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形ABO（1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、B，求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上

4、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PBAB是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質(zhì)圖1思路點(diǎn)撥1四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形PBOB的面積是ABO面積的3倍2聯(lián)結(jié)PO，四邊形PBOB可以分割為兩個(gè)三角形3過點(diǎn)向x軸作垂線，四邊形PBOB也可以分割為一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形滿分解答（1）AOB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1, 0) 、(0, 2)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1, 0)、B(2, 0)，設(shè)解析式為ya(x1)

5、(x2)，代入B(0, 2)，得a1所以該拋物線的解析式為y(x1)(x2) x2x2（2）SABO1如果S四邊形PBAB4 SABO4，那么S四邊形PBOB3 SABO3如圖2，作PDOB，垂足為D設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (x，x2x2)所以解方程x22x23，得x1x21所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)圖2 圖3 圖4（3）如圖3，四邊形PBAB是等腰梯形，它的性質(zhì)有：等腰梯形的對(duì)角線相等；等腰梯形同以底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)過兩底中點(diǎn)的直線考點(diǎn)伸展第（2）題求四邊形PBOB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運(yùn)算過程更簡(jiǎn)單所以甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對(duì)稱性直接得到

6、點(diǎn)P：作AOB關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的BOE，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)而矩形EBOD與AOB、BOP是等底等高的，所以四邊形EBAB的面積是ABO面積的4倍因此點(diǎn)E就是要探求的點(diǎn)P例 3、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線yax2bx3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PDAB于點(diǎn)D（1）求a、b及sinACP的值；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD長(zhǎng)的最大值；連結(jié)PB，線段PC把PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積

7、比為910？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1思路點(diǎn)撥1第（1）題由于CP/y軸，把ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角2第（2）題中，PDPCsinACP，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊3PCD與PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高DN與BM的比4兩個(gè)三角形的面積比為910，要分兩種情況討論滿分解答（1）設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在RtAEO中，OA2，OE1，所以所以因?yàn)镻C/EO，所以ACPAEO因此將A(2,0)、B(4,3)分別代入yax2bx3，得解得，（2）由，得所以所以PD的最大值為（3）當(dāng)SPCDSPCB910時(shí)，；當(dāng)SPCDSP

8、CB109時(shí)，圖2考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是：PCD與PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高DN與BM的比而，BM4m當(dāng)SPCDSPCB910時(shí)，解得當(dāng)SPCDSPCB109時(shí)，解得例 4、如圖1，直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，且與雙曲線(x0)交于點(diǎn)B(2，1)過點(diǎn)(p1)作x軸的平行線分別交曲線(x0)和(x0)于M、N兩點(diǎn)（1）求m的值及直線l的解析式；（2）若點(diǎn)P在直線y2上，求證：PMBPNA；（3）是否存在實(shí)數(shù)p，使得SAMN4SAMP？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1思路點(diǎn)撥1第（2）題準(zhǔn)確畫圖，點(diǎn)的位置關(guān)系盡在圖形中2第（3）題把SAMN4SA

9、MP轉(zhuǎn)化為MN4MP，按照點(diǎn)M與線段NP的位置關(guān)系分兩種情況討論滿分解答（1）因?yàn)辄c(diǎn)B(2，1)在雙曲線上，所以m2設(shè)直線l的解析式為，代入點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(2，1)，得 解得 所以直線l的解析式為（2）由點(diǎn)(p1)的坐標(biāo)可知，點(diǎn)P在直線上x軸的上方如圖2，當(dāng)y2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知PMB為等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知PNA為等腰直角三角形所以PMBPNA圖2 圖3 圖4（3）AMN和AMP是兩個(gè)同高的三角形，底邊MN和MP在

10、同一條直線上當(dāng)SAMN4SAMP時(shí)，MN4MP如圖3，當(dāng)M在NP上時(shí)，xMxN4(xPxM)因此解得或（此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去）此時(shí)如圖4，當(dāng)M在NP的延長(zhǎng)線上時(shí)，xMxN4(xMxP)因此解得或（此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去）此時(shí)考點(diǎn)伸展在本題情景下，AMN能否成為直角三角形？情形一，如圖5，AMN90°，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）情形二，如圖6，MAN90°，此時(shí)斜邊MN上的中線等于斜邊的一半不存在ANM90°的情況圖5 圖6例5、如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)，(0,1)點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C

11、不重合），過點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E（1）記ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說明理由圖1思路點(diǎn)撥1數(shù)形結(jié)合，用b表示線段OE、CD、AE、BE的長(zhǎng)2求ODE的面積，要分兩種情況當(dāng)E在OA上時(shí)，OE邊對(duì)應(yīng)的高等于OC；當(dāng)E在AB邊上時(shí)，要利用割補(bǔ)法求ODE的面積3第（3）題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形4圖形翻著、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)中，計(jì)算菱形的邊長(zhǎng)一般用勾股定理滿分解答(1)如圖2，當(dāng)E在

12、OA上時(shí)，由可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2b,0)，OE2b此時(shí)SSODE如圖3，當(dāng)E在AB上時(shí)，把y1代入可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2b2,1)，CD2b2，BD52b把x3代入可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，AE，BE此時(shí)SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD (2)如圖4，因?yàn)樗倪呅蜲1A1B1C1與矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱，因此DMDN，那么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形DMEN是菱形作DHOA，垂足為H由于CD2b2，OE2b，所以EH2設(shè)菱形DMEN的邊長(zhǎng)為m在RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解得所以重疊部分菱形DMEN的面積為 圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展把本

13、題中的矩形OABC繞著它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形（如圖5），那么這個(gè)菱形的最小面積為1，如圖6所示；最大面積為，如圖7所示 圖5 圖6 圖7例 6、如圖1，在ABC中，C90°，AC3，BC4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過點(diǎn)E作直線與ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AEx，AEF的面積為y（1）求線段AD的長(zhǎng)；（2）若EFAB，當(dāng)點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求出最大值（3）若點(diǎn)F在直角邊AC上（點(diǎn)F與A、C不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)，試問，是否存在直線EF將ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分

14、？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請(qǐng)說明理由 圖1 備用圖思路點(diǎn)撥1第（1）題求得的AD的長(zhǎng)，就是第（2）題分類討論x的臨界點(diǎn)2第（2）題要按照點(diǎn)F的位置分兩種情況討論3第（3）題的一般策略是：先假定平分周長(zhǎng)，再列關(guān)于面積的方程，根據(jù)方程的解的情況作出判斷滿分解答(1) 在RtABC中， AC3，BC4，所以AB5在RtACD中，(2) 如圖2，當(dāng)F在AC上時(shí)，在RtAEF中，所以如圖3，當(dāng)F在BC上時(shí)，在RtBEF中，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為因此，當(dāng)時(shí)，y的最大值為 圖2 圖3 圖4(3)ABC的周長(zhǎng)等于12，面積等于6先假設(shè)EF平分ABC的周長(zhǎng)，那么AEx，AF

15、6x，x的變化范圍為3x5因此解方程，得因?yàn)樵?x5范圍內(nèi)（如圖4），因此存在直線EF將ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分考點(diǎn)伸展如果把第（3）題的條件“點(diǎn)F在直角邊AC上”改為“點(diǎn)F在直角邊BC上”，那么就不存在直線EF將ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分先假設(shè)EF平分ABC的周長(zhǎng)，那么AEx，BE5x，BFx1因此解方程整理，得此方程無實(shí)數(shù)根例7、如圖1，正方形 ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿ABCD勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)

16、，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)（長(zhǎng)度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度；（2）求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（1）中當(dāng)t為何值時(shí)，OPQ的面積最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)（4）如果點(diǎn)P、Q保持原速度速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿ABCD勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請(qǐng)說明理由 圖1 圖2思路點(diǎn)撥1過點(diǎn)B、C、P向x軸、y軸作垂線段，就會(huì)構(gòu)造出全等的、相似的直角三角形，出現(xiàn)相等、成比例的線段，用含有t的式子表示這些線段是解題的基礎(chǔ)2求點(diǎn)C的坐標(biāo)，為求直線BC、CD的解析式作鋪墊，進(jìn)而為附加題用兩點(diǎn)間的距離公式作準(zhǔn)備3不論點(diǎn)P在

17、AB、BC還是CD上，點(diǎn)P所在的直角三角形的三邊比總是345，靈活運(yùn)用方便解題4根據(jù)二次函數(shù)的解析式求函數(shù)的最值時(shí)，要注意定義域與對(duì)稱軸的位置關(guān)系滿分解答（1）(1,0)，點(diǎn)P每秒鐘運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度（2）過點(diǎn)B作BEy軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線BE于F，交x軸于H在RtABE中，BE8，AE1046，所以AB10由ABEBCF，知BFAE4，CFBE6所以EF8614，CH8412因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（14，12）（3）過點(diǎn)P作PMy軸于M，PN軸于N因?yàn)镻M/BE，所以，即因此于是設(shè)OPQ的面積為(平方單位)，那么，定義域?yàn)?10因?yàn)閽佄锞€開口向下，對(duì)稱軸為直線，所以當(dāng)時(shí)，OPQ的面積最大此時(shí)P的坐標(biāo)為(，)（4）當(dāng)或時(shí), OP與PQ相等