2022年中考數(shù)學二輪專題復習：二次函數(shù)性質(zhì)綜合題

二次函數(shù)性質(zhì)綜合題類型一與線段有關(guān)的問題例題圖①例如圖①，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B兩點，與y軸交于點C(0，3)．(1)求拋物線和直線BC的解析式；【思維教練】將A、C兩點的坐標代入拋物線解析式中，利用待定系數(shù)法得到拋物線解析式及點B坐標，再利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．解：(1)將A(－1，0)，C(0，3)代入拋物線解析式，得

解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3.令y＝0，則－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴點B的坐標為(3，0)．設直線BC的解析式為y＝kx＋b′，將點B(3，0)，C(0，3)代入，得

解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋3；例題圖①例題圖①【思維教練】要求a的值，根據(jù)拋物線對稱軸的位置，結(jié)合增減性分情況討論最值的位置求解即可．(2)當a－3≤x≤a時，拋物線有最小值為－12，求a的值；(2)由(1)知拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線對稱軸為直線x＝1，分兩種情況討論：①當a≤1時，在x＝a－3處拋物線有最小值，∴－(a－3－1)2＋4＝－12，解得a1＝0，a2＝8(舍去)；②當a－3≥1時，在x＝a處拋物線有最小值，∴－(a－1)2＋4＝－12，解得a3＝5，a4＝－3(舍去)．綜上所述，a的值為0或5；例題圖①例題圖②(3)如圖②，若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作x軸的垂線PQ交BC于點Q，作PH⊥BC于點H.①求△PQH周長的最大值；【思維教練】根據(jù)題中所給線段關(guān)系結(jié)合點B、C的坐標可判斷△PQH形狀的特殊性，根據(jù)其特殊性將求周長最值轉(zhuǎn)化為求線段最值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．①畫出大致圖象如解圖①，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，∵PQ⊥OB，∴∠HQP＝45°，∵PH⊥BC，∴△PQH為等腰直角三角形，設點P(p，－p2＋2p＋3)，∴Q(p，－p＋3)，∴PQ＝－p2＋2p＋3－(－p＋3)＝－p2＋3p＝－(p－

)2＋

，∵－1＜0，0＜p＜3，例題解圖①∴當p＝

時，PQ取最大值，最大值為

，∵△PQH為等腰直角三角形，∴△PQH周長＝PQ＋2×

PQ，＝(＋1)PQ，∴△PQH周長的最大值為(＋1)；例題解圖①例題圖③②如圖③，過點H作HG⊥y軸于點G，設w＝

PH－GH，求w的最大值；【思維教練】根據(jù)w的線段關(guān)系，可將其放在等腰直角三角形中求解，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，分別表示出PH、GH的長，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值．由(1)知△HPQ是等腰直角三角形，∵GH⊥y軸，PQ∥y軸，∴GH⊥PQ，∴PM＝MQ＝HM，PQ＝

PH，設點P的坐標為(p，－p2＋2p＋3)，則點Q(p，－p＋3)，∴PQ＝－p2＋3p，∴PH＝PQ＝－p2＋3p，HM＝

PQ＝－

p2＋

p，∴GH＝GM－HM＝p－(－

p2＋

p)＝

p2－

p，例題圖③M②如解圖，延長GH交PQ于點M，∴w＝

PH－GH＝(－p2＋3p)－(

p2－

p)＝－

(p－

)2＋

，∵－

＜0，0＜p＜3，∴當p＝

時，w取得最大值，最大值為

；例題圖③M(4)如圖④，設點H為拋物線對稱軸上一點，連接HA，HC，設w＝HC2＋HA2，求w的最小值．例題圖④【思維教練】要求w的最小值，可根據(jù)已知的A、C坐標及H點橫坐標，設出點H的坐標，將w用含H點縱坐標的代數(shù)式表示，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最小值．(4)∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴可設點H的坐標為(1，q)，∵A(－1，0)，C(0，3)，∴w＝HC2＋HA2＝1＋(3－q)2＋22＋q2＝2(q－

)2＋

，∵2＞0，∴當q＝

時，w有最小值，最小值為.例題圖④類型二與面積有關(guān)的問題例已知拋物線y＝ax2＋4x＋c(a≠0)經(jīng)過點(－2，－6)，(0，－6)，與x軸交于點A、B(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點D.(1)求a、c的值；【思維教練】將題中所給點坐標代入求解即可．解：(1)將(－2，－6)，(0，－6)代入拋物線解析式，得

解得∴a＝2，c＝6；(2)如圖①，點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接PA、PD，求△PAD的面積S的最大值；例題圖①【思維教練】要求△PAD面積的最大值，可將△PAD面積轉(zhuǎn)化為△ODP與△OAP面積之和減去△AOD面積，根據(jù)(1)中所求a、c的值可知拋物線解析式，從而求得A、D坐標，利用三角形面積公式得到S關(guān)于P點橫坐標的代數(shù)式，化為頂點式即可求得最大值．由(1)可得拋物線解析式為y＝2x2＋4x－6，令2x2＋4x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∵點A在點B左側(cè)，∴A(－3，0)，由題意知，D(0，－6)，設點P的坐標為(p，2p2＋4p－6)，∴S＝S△ODP＋S△OAP－S△OAD＝

×6×|p|＋

×|－3|×|2p2＋4p－6|－

×3×6＝－3p2－9p＝－3(p＋

)2＋

，(2)如解圖，連接OP，例題圖①∵－3＜0，－3＜p＜0，∴當p＝－

時，S有最大值，最大值為

；例題圖①(3)如圖②，過點D作DC∥x軸交拋物線于點C，若點P為CD下方一點，過點P作PE∥y軸交AD于點E，求四邊形DPCE面積的最大值及此時點P的坐標．【思維教練】要求四邊形DPCE面積的最大值，先求出直線AD的解析式，利用對角線垂直的四邊形的面積公式表示出四邊形DPCE的面積，從而求得四邊形DPCE面積的最大值及此時點P的坐標．例題圖②(3)設直線AD的解析式為y＝kx＋b，由(2)知A(－3，0)，D(0，－6)，∴

解得∴直線AD的解析式為y＝－2x－6，設P(p，2p2＋4p－6)，則E(p，－2p－6)，∴PE＝(－2p－6)－(2p2＋4p－6)＝－2p2－6p，∵點C在拋物線上，且縱坐標為－6，∴C(－2，－6)，例題圖②∴DC＝2，∴S四邊形DPCE＝

DC·PE＝

×2×(－2p2－6p)＝－2p2－6p＝－2(p＋

)2＋

.∵－2＜0，－2＜p＜0，∴當p＝－

時，S有最大值，最大值為

，此時點P的坐標為(－

，

)．例題圖②類型三與圖象變化有關(guān)的問題例已知拋物線C1：y＝－x2＋bx＋c過點(1，4)，與x軸交于A、B(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C，且b－c＝－1.(1)求b，c的值；【思維教練】根據(jù)題中所給信息列方程組求解即可．解：(1)將點(1，4)代入拋物線解析式并聯(lián)立b－c＝－1可得，

解得∴b＝2，c＝3；(2)如圖①，點P是拋物線上一個動點，其橫坐標為m，平移直線BC得到直線l，設直線l與y軸的交點的縱坐標為n.①若直線l經(jīng)過點P，求n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求n的最大值；例題圖①【思維教練】根據(jù)直線BC解析式，可設出直線l解析式，聯(lián)立直線l與拋物線解析式，并將所求得的函數(shù)關(guān)系式配成頂點式即可求得n的最大值．①由(1)知拋物線C1：y＝－x2＋2x＋3，∴C(0，3)，A(－1，0)，B(3，0)，∴直線BC的解析式為y＝－x＋3，∴設直線l的解析式為y＝－x＋n，∵點P在拋物線上，且橫坐標為m，∴點P的坐標為(m，－m2＋2m＋3)，∵直線l過點P，∴－m＋n＝－m2＋2m＋3，∴n＝－m2＋3m＋3＝－(m－

)2＋

，∴n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為n＝－m2＋3m＋3，例題圖①∵－1＜0，∴當m＝

時，n取得最大值，最大值為

；例題圖①【思維教練】要求

的最大值，可先根據(jù)已知條件求出直線l′的解析式，聯(lián)立拋物線與直線l′，結(jié)合平行線分線段成比例即可求得最值．②若直線l經(jīng)過點A，點P在直線l關(guān)于x軸對稱的直線l′上方，連接PB交直線l′于點N，求

的最大值；②由①可知直線BC的解析式為y＝－x＋3，∴設直線l的解析式為y＝－x＋n，∵A(－1，0)，∴n＝－1，∵直線l與直線l′關(guān)于x軸對稱，∴直線l′的解析式為y＝x＋1，聯(lián)立解得x1＝－1，x2＝2，設點P坐標為(p，－p2＋2p＋3)，其中－1＜p＜2，例題解圖①如解圖①，過點P作PG∥x軸交直線l′于點G，則

＝

，∵AB長為定值，∴當PG取得最大值時，

取得最大值．令－p2＋2p＋3＝x＋1，解得x＝－p2＋2p＋2，∴點G的橫坐標為－p2＋2p＋2，此時PG＝－p2＋2p＋2－p＝－p2＋p＋2＝－(p－

)2＋

，∵－1＜0，－1＜p＜2，∴當p＝

時，PG取得最大值

，此時

＝

＝

，即

的最大值為

；例題解圖①(3)如圖②，將拋物線C1向右平移m個單位長度得到拋物線C2，拋物線C2與拋物線C1的交點為P，當點P在x軸上方，且到直線BC的距離最大時，求m的值；例題圖②【思維教練】根據(jù)(1)中所求b、c的值可判斷出△BOC形狀的特殊性，故可將點P到直線BC的距離轉(zhuǎn)化為點P到過點P且平行于y軸的直線與直線BC交點的距離，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵PQ∥y軸，∴∠PQT＝45°，∵PT⊥BC，∴PT＝

PQ.設點P的坐標為(t，－t2＋2t＋3)，則Q(t，－t＋3)，∴PQ＝－t2＋3t＝－(t－

)2＋

，例題圖②QT(3)如解圖，過點P作PT⊥BC于點T，PQ∥y軸交BC于點Q，例題圖②QT即當t＝

時，PT有最大值，此時點P的坐標為(

，

)．∵拋物線C2是由拋物線C1向右平移m個單位得到的，拋物線C1可變形為y＝－(x－1)2＋4，∴拋物線C2的解析式為y＝－(x－1－m)2＋4，將點P(

，

)代入C2得－(

－1－m)2＋4＝

，解得m＝1或m＝0(舍去)，∴m的值為1；(4)如圖③，已知拋物線C3與拋物線C1關(guān)于原點O對稱，拋物線C3與x軸交點為E、F(點E在點F的左側(cè))，動點P是線段AF上一點，過點P作ST⊥x軸于點P，交拋物線C1于點S，交拋物線C3于點T，求ST的最大值．例題圖③【思維教練】由拋物線C3與拋物線C1關(guān)于原點O對稱的關(guān)系可求出拋物線C3的解析式，設出點P的橫坐標，可將ST用含點P橫坐標的代數(shù)式表示，利用二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題中所規(guī)定取值范圍求最大值即可．(4)∵拋物線C3與拋物線C1關(guān)于原點O對稱，∴拋物線C3的函數(shù)解析式為y＝x2＋2x－3.令y＝x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴點F的坐標為(1，0)，設點P的坐標為(m，0)(－1≤m≤1)．∵ST⊥x軸于點P，∴S(m，－m2＋2m＋3)，T(m，m2＋2m－3)，∴ST＝(－m2＋2m＋3)－(m2＋2m－3)＝－2m2＋6.例題圖③∴當m＝0時，ST取得最大值，最大值為6.類型四與新定義有關(guān)的問題例定義：對于給定的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，任取自變量x的一個值，當x＜0時，y＝ax2＋bx＋c－(kx＋b)；當x≥0時，y＝ax2＋bx＋c＋(kx＋b)，我們稱這樣的函數(shù)為函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的“再生函數(shù)”．例如：二次函數(shù)y＝x2與一次函數(shù)y＝x，二次函數(shù)y＝x2的“再生函數(shù)”是y＝(1)已知二次函數(shù)y＝x2＋3x與一次函數(shù)y＝x.①求二次函數(shù)y＝x2＋3x的“再生函數(shù)”對應的函數(shù)解析式；【思維教練】分為x＜0和x≥0時兩種情況并結(jié)合“再生函數(shù)”的定義求解即可．解：(1)①當x＜0時，y＝x2＋3x－x＝x2＋2x，當x≥0時，y＝x2＋3x＋x＝x2＋4x.∴二次函數(shù)y＝x2＋3x的“再生函數(shù)”對應的函數(shù)解析式為y＝②若點P(m，8)在二次函數(shù)y＝x2＋3x的“再生函數(shù)”的函數(shù)圖象上，求m的值；【思維教練】將點P(m，8)代入二次函數(shù)的“再生函數(shù)”中