B4積分形式的基本方程

1、b4 b4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程本本章章應(yīng)掌握：應(yīng)掌握：追隨流體質(zhì)量體追隨流體質(zhì)量體建立動(dòng)力學(xué)方建立動(dòng)力學(xué)方程程: 質(zhì)量體是不變的質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量體是不變的質(zhì)點(diǎn)系( (閉系統(tǒng)閉系統(tǒng)) )。適于。適于研究流體流動(dòng)的積分形式各基本方程。研究流體流動(dòng)的積分形式各基本方程。用用積分形式積分形式的基本方程求解：當(dāng)只要求了解的基本方程求解：當(dāng)只要求了解流體流動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的總體性能關(guān)系（如流流體流動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的總體性能關(guān)系（如流體作用在物體上的合力，總的能量傳遞等），體作用在物體上的合力，總的能量傳遞等），而不要求了解流動(dòng)過(guò)程的詳細(xì)情況時(shí)，用這而不要求了解流動(dòng)過(guò)程的詳細(xì)情況時(shí)，用這種方法簡(jiǎn)單方便。

2、種方法簡(jiǎn)單方便。【第【第10講講】b4.1 b4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)b4.2 b4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程控制體控制體控制體：相對(duì)于某參照坐標(biāo)系不隨時(shí)間變化控制體：相對(duì)于某參照坐標(biāo)系不隨時(shí)間變化（定常流）的封閉曲面中所包含的流體（在渦（定常流）的封閉曲面中所包含的流體（在渦輪機(jī)進(jìn)出口所限定的體積內(nèi)的氣體）?？刂企w輪機(jī)進(jìn)出口所限定的體積內(nèi)的氣體）。控制體的邊界為控制面。的邊界為控制面。質(zhì)量體質(zhì)量體的體積和界面為的體積和界面為d(td(t) )，(t(t) )，不是時(shí)間不是時(shí)間的函數(shù)的函數(shù)。性質(zhì)：。性質(zhì)：控制體的幾何形狀和體積均不變?？刂企w的幾何形狀和體

3、積均不變。控制體的界面可有流體流入或流出（相當(dāng)熱控制體的界面可有流體流入或流出（相當(dāng)熱力學(xué)中的開系統(tǒng)）。力學(xué)中的開系統(tǒng)）?？刂企w的邊界面有力的相互作用?？刂企w的邊界面有力的相互作用。控制體的邊界面可有能量交換（熱交換或外控制體的邊界面可有能量交換（熱交換或外力作功）。力作功）。b4.1 b4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)dtdtdddmdddtddtdmsys局部導(dǎo)數(shù)局部導(dǎo)數(shù)/ /t t：控制體內(nèi)某物理量總和隨時(shí)間的增控制體內(nèi)某物理量總和隨時(shí)間的增長(zhǎng)率。如控制體內(nèi)總質(zhì)量長(zhǎng)率。如控制體內(nèi)總質(zhì)量: : 其局部導(dǎo)數(shù)：其局部導(dǎo)數(shù)：隨體導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù)( (物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù))d/dt)d/dt：

4、質(zhì)量體內(nèi)某物理量總和質(zhì)量體內(nèi)某物理量總和對(duì)時(shí)間的增長(zhǎng)率。如質(zhì)量體內(nèi)總質(zhì)量對(duì)時(shí)間的增長(zhǎng)率。如質(zhì)量體內(nèi)總質(zhì)量: :其隨體導(dǎo)數(shù)：其隨體導(dǎo)數(shù)：在流場(chǎng)中取一控制體在流場(chǎng)中取一控制體cv,cv,表面為控制面表面為控制面cs.cs.設(shè)設(shè)(r,t(r,t) )為系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量為系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量動(dòng)量動(dòng)量動(dòng)量矩和能量等動(dòng)量矩和能量等物理量在物理量在t t時(shí)刻的空間分布函數(shù)時(shí)刻的空間分布函數(shù), ,在系統(tǒng)上的積分為在系統(tǒng)上的積分為: :n nsyssys為系統(tǒng)廣延量為系統(tǒng)廣延量( (系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量動(dòng)量動(dòng)量動(dòng)量矩和能量等動(dòng)量矩和能量等) )dmsysdtrtnsyssys),()(輸運(yùn)公式輸運(yùn)公式( (雷諾輸運(yùn)定理雷諾輸運(yùn)定理

5、) )danvdtdtdncscvsys)(輸運(yùn)公式是把體系中與流體體積有有關(guān)的隨流物理輸運(yùn)公式是把體系中與流體體積有有關(guān)的隨流物理量的隨流導(dǎo)數(shù)以控制體形式來(lái)表示。量的隨流導(dǎo)數(shù)以控制體形式來(lái)表示。定理定理任一瞬時(shí)，質(zhì)量體內(nèi)物理量任一瞬時(shí)，質(zhì)量體內(nèi)物理量q q的隨體導(dǎo)數(shù)等的隨體導(dǎo)數(shù)等于該瞬間形狀、體積相同的控制體內(nèi)物理量的局部于該瞬間形狀、體積相同的控制體內(nèi)物理量的局部導(dǎo)數(shù)與通過(guò)該控制體表面的輸運(yùn)量之和。導(dǎo)數(shù)與通過(guò)該控制體表面的輸運(yùn)量之和。隨體導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù) = = 局部導(dǎo)數(shù)局部導(dǎo)數(shù) + + 控制面上的輸運(yùn)量控制面上的輸運(yùn)量說(shuō)明說(shuō)明某瞬時(shí)間控制體內(nèi)的流體所構(gòu)成的體系，某瞬時(shí)間控制體內(nèi)的流體所構(gòu)成的

6、體系，它所具有的隨流物理量的隨流導(dǎo)數(shù)，等于同一瞬間它所具有的隨流物理量的隨流導(dǎo)數(shù)，等于同一瞬間控制體中所含同一隨流物理量的增加率與該物理量控制體中所含同一隨流物理量的增加率與該物理量通過(guò)控制面通過(guò)控制面a a的凈流出率之和。的凈流出率之和。若流體為定常若流體為定常, ,局部導(dǎo)數(shù)為局部導(dǎo)數(shù)為0:0:danvdtdncssys)(b4.1.1 b4.1.1 控制體的選擇控制體的選擇danvdtdtdncscvsys)(對(duì)固定的不變形的控制體：體積元不隨時(shí)間變化對(duì)固定的不變形的控制體：體積元不隨時(shí)間變化, ,局部導(dǎo)數(shù)的微分和積分運(yùn)算可互換局部導(dǎo)數(shù)的微分和積分運(yùn)算可互換: :對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的控制體對(duì)勻速運(yùn)

7、動(dòng)的控制體: :坐標(biāo)系固結(jié)在控制體上坐標(biāo)系固結(jié)在控制體上, ,遷移遷移項(xiàng)的速度為相對(duì)速度項(xiàng)的速度為相對(duì)速度: :控制面的選取控制面的選取: :取在物理量已知的位置上或需求取在物理量已知的位置上或需求解的位置上解的位置上. .取控制面與速度矢量互相垂直取控制面與速度矢量互相垂直. .當(dāng)流場(chǎng)有界時(shí)當(dāng)流場(chǎng)有界時(shí), ,取包含流體取包含流體系統(tǒng)的簡(jiǎn)單形狀控制體系統(tǒng)的簡(jiǎn)單形狀控制體.(.(如圖中如圖中cvcv2 2) )cv2cv1danvdtdtdncsrcvsys)(b4.2 b4.2 積分形式的連續(xù)性積分形式的連續(xù)性( (質(zhì)量質(zhì)量) )方程方程syssysddtddtdm系統(tǒng)質(zhì)量為系統(tǒng)質(zhì)量為定義定義

8、 ：質(zhì)量體是封閉，總質(zhì)量不變。：質(zhì)量體是封閉，總質(zhì)量不變。 利用運(yùn)輸公式利用運(yùn)輸公式, ,得得積分形式的連續(xù)性積分形式的連續(xù)性( (質(zhì)量質(zhì)量) )方程方程：說(shuō)明說(shuō)明控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增長(zhǎng)率，等于通過(guò)控控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增長(zhǎng)率，等于通過(guò)控制面的流體凈流進(jìn)率。制面的流體凈流進(jìn)率。syssysdm0)(cscvdanvddtdb4.2.1 b4.2.1 固定的控制體固定的控制體cvcsdvdanv)()(0)(cscvdanvddtd對(duì)固定不變形的控制體對(duì)固定不變形的控制體: :根據(jù)高斯公式根據(jù)高斯公式: :得：得：取積分值為取積分值為0,0,有有微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程: :0)(

9、dvdtdcv0)(vdtd1. 1. 不可壓流體流不可壓流體流0)(csdanvinoutqq不可壓流體流動(dòng)不可壓流體流動(dòng)(為常數(shù)為常數(shù)) )：容積流量不變?nèi)莘e流量不變。說(shuō)明說(shuō)明對(duì)不可壓流體流動(dòng)，當(dāng)不存在內(nèi)部源時(shí)對(duì)不可壓流體流動(dòng)，當(dāng)不存在內(nèi)部源時(shí), ,經(jīng)經(jīng)過(guò)控制面流進(jìn)控制體的流體容積流量過(guò)控制面流進(jìn)控制體的流體容積流量, ,等于流出控等于流出控制體的流體容積流量。對(duì)定常和非定常流都適用。制體的流體容積流量。對(duì)定常和非定常流都適用。一維不可壓流動(dòng)連續(xù)性方程一維不可壓流動(dòng)連續(xù)性方程若控制面上有多個(gè)出入口若控制面上有多個(gè)出入口: :0)()(inoutainaoutdanvdanvinoutvav

10、a)()(inoutqqinoutvava)()(a1a2v1v2n1n2cs2. 2. 可壓流體流定常流動(dòng)可壓流體流定常流動(dòng) 0)(csdanvinoutmm可壓流體定常流（可壓流體定常流（/t t=0=0）：）：質(zhì)量流量不變質(zhì)量流量不變。對(duì)密度可變的定常流動(dòng)對(duì)密度可變的定常流動(dòng): :表明表明: :對(duì)固定的控制體內(nèi)的可壓流體流定常流動(dòng)對(duì)固定的控制體內(nèi)的可壓流體流定常流動(dòng), ,通通過(guò)控制面凈流出的流體質(zhì)量流量為過(guò)控制面凈流出的流體質(zhì)量流量為0. 0. 一維可壓流動(dòng)連續(xù)性方程一維可壓流動(dòng)連續(xù)性方程: :表示可壓流體在管中作定常流動(dòng)時(shí)表示可壓流體在管中作定常流動(dòng)時(shí), ,在任一截面上在任一截面上的質(zhì)

11、量流量守恒的質(zhì)量流量守恒. .若控制面上有多個(gè)出入口若控制面上有多個(gè)出入口: :inoutvava)()(inoutvava)()(inoutmmn2 n1 a2 a1 a側(cè) u1 u2 1 2沿流管質(zhì)量守恒方程沿流管質(zhì)量守恒方程流經(jīng)流管截面的質(zhì)量流量相等。流經(jīng)流管截面的質(zhì)量流量相等。表明表明定常定常不可壓流中流入流管的體積流量等于不可壓流中流入流管的體積流量等于流出流管的體積流量。流出流管的體積流量。一維定常流一維定常流( (可壓時(shí)可壓時(shí)):):通過(guò)各橫截面的流量相等通過(guò)各橫截面的流量相等。 1 1v v1 1a a1 1 = =2 2v v2 2a a 2 2 即即 va = va = 常

12、數(shù)常數(shù)定理定理在一維定常流中在一維定常流中, ,通過(guò)同通過(guò)同一流管任意截面上的流體質(zhì)量一流管任意截面上的流體質(zhì)量( (或重量或重量) )流量保持不變流量保持不變. .對(duì)不可壓流對(duì)不可壓流(=(=常數(shù)常數(shù)):): a a1 1v v1 1= a= a2 2v v2 2= q = = q = 常數(shù)常數(shù)定理定理對(duì)不可壓一維定常流中，流速隨截面積縮對(duì)不可壓一維定常流中，流速隨截面積縮小而增大。小而增大。b4.2.2 b4.2.2 運(yùn)動(dòng)的控制體運(yùn)動(dòng)的控制體當(dāng)物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí), ,常將控制體固結(jié)在物體上常將控制體固結(jié)在物體上一起運(yùn)動(dòng)一起運(yùn)動(dòng), ,速度改用相對(duì)速度速度改用相對(duì)速度, ,

13、可得到可得到運(yùn)動(dòng)控制體形運(yùn)動(dòng)控制體形式的連續(xù)性方程式的連續(xù)性方程: :若控制面上有多個(gè)出入口若控制面上有多個(gè)出入口: :inroutravav)()(0)(csrcvdanvddtd例例b4.1b4.1poopv例例容器中的空氣經(jīng)管道向外界排氣。容器中的空氣經(jīng)管道向外界排氣。已知管道出口處氣流密度和壓強(qiáng)為均勻分布，已知管道出口處氣流密度和壓強(qiáng)為均勻分布，速度則按拋物線規(guī)律分布速度則按拋物線規(guī)律分布v=vv=vm m(1-r(1-r2 2/r/ro o2 2),),容器和管道的總?cè)萑萜骱凸艿赖目側(cè)莘e為積為0.32 m0.32 m2 2, , 排氣管半徑排氣管半徑r ro o=0.025m, =0

14、.025m, 當(dāng)容器當(dāng)容器p po o=1.4=1.4* *10105 5pa, pa, t to o=277.8k,=277.8k,測(cè)得管道出口氣流最大速度測(cè)得管道出口氣流最大速度v vm m=32m/s,=32m/s,求此時(shí)排出求此時(shí)排出的空氣流量及容器中空氣密度的時(shí)間變化率。的空氣流量及容器中空氣密度的時(shí)間變化率。解：設(shè)解：設(shè)q q為排出的空氣流量，則：為排出的空氣流量，則： q= q= v vd da a = = o ororovvm m(1- r(1- r2 2/r/ro o2 2)2)2 rdr = rdr = r ro o2 2vvm m = = o o=p=po o/rt/rt

15、o o故：故：q= q= = = r ro o2 2v vm m p po o/rt/rto o=0.0552 (kg/s)=0.0552 (kg/s)利用連續(xù)方程得利用連續(xù)方程得: : v v（/t)dvt)dv = -q = -q因?yàn)榭諝饷芏仁蔷鶆蚍植嫉囊驗(yàn)榭諝饷芏仁蔷鶆蚍植嫉? ,則則: (: (/t)dvt)dv = -q = -q /t t= -q/v=-0.0552/0.32=-0.17(kg/m= -q/v=-0.0552/0.32=-0.17(kg/m3 3.s).s)負(fù)號(hào)表示空氣密度是隨時(shí)間而減少的。負(fù)號(hào)表示空氣密度是隨時(shí)間而減少的。【第【第11講講】b4.3 b4.3 伯努

16、利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用b4.4 b4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用應(yīng)用b4.3 b4.3 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用 b4.3.1 b4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程dttadvspg),(cosszcossvvtvdttsdvdttadv),(),(無(wú)粘無(wú)粘, ,重力場(chǎng)重力場(chǎng): :整理得整理得: :由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系: :沿流線沿流線s s方向的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)方向的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù): :無(wú)粘性流體沿流線的運(yùn)動(dòng)微分方程無(wú)粘性流體沿流線的運(yùn)動(dòng)微分方程( (一維歐拉運(yùn)動(dòng)一維歐拉運(yùn)動(dòng)方程方程):):dttadvsaassppapsag),()(coss

17、vvtvspszg1ssspppgdzdssyzxov伯努利方程伯努利方程0dpgdzvdvdstvdpdssp沿流線積分沿流線積分: :得得: :歐拉運(yùn)動(dòng)方程沿流線積分的積分歐拉運(yùn)動(dòng)方程沿流線積分的積分( (適合于可壓無(wú)粘不適合于可壓無(wú)粘不定常流動(dòng)定常流動(dòng)):):伯努利方程伯努利方程( (沿流線沿流線) ): :流線上任兩點(diǎn)流線上任兩點(diǎn): :應(yīng)用條件應(yīng)用條件: :無(wú)粘流無(wú)粘流; ;定常流定常流; ;重力場(chǎng)重力場(chǎng); ;沿流線沿流線; ;不可壓流不可壓流. .cdpgzvdstv22cpgzv22dzdssz2222112122pgzvpgzvdvdssv伯努利方程的物理和幾何意義伯努利方程的物

18、理和幾何意義gpzhp1. 1. 物理意義物理意義2. 2. 幾何意義幾何意義gvgpz22gu22gpcgvgpz22位能位能(重力勢(shì)能重力勢(shì)能)壓能壓能(壓強(qiáng)勢(shì)能壓強(qiáng)勢(shì)能)動(dòng)能動(dòng)能總勢(shì)能總勢(shì)能機(jī)械能機(jī)械能h線線-總水頭總水頭hp線線水頭線水頭線0元線元線0z位置高度位置高度(高度水頭高度水頭)測(cè)壓管高度測(cè)壓管高度(壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭)流速高度流速高度(速度水頭速度水頭)歐拉方程的積分歐拉方程的積分理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程在一般情況下是不能積分的，理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程在一般情況下是不能積分的，只有在幾種特殊流動(dòng)情況下才能進(jìn)行積分只有在幾種特殊流動(dòng)情況下才能進(jìn)行積分( (稱為伯努稱為伯努利方程利方程

19、) )（1 1）定常流中運(yùn)動(dòng)微分方程沿流線的積分：）定常流中運(yùn)動(dòng)微分方程沿流線的積分： v v2 2/2/2 + + （ （1/1/)dp -u = c dp -u = c ( (沿流線沿流線) )或或 ( (v v2 22 2- -v v1 12 2)/2)/2 + +1 12 2（ （1/1/)dp +(udp +(u1 1- u- u2 2)= 0 )= 0 ( (沿流線沿流線) )（2 2）無(wú)旋流動(dòng)中運(yùn)動(dòng)微分方程的積分：）無(wú)旋流動(dòng)中運(yùn)動(dòng)微分方程的積分： d (d ( / /t)+d (vt)+d (v2 2/2/2) = du) = du - - （ （1/1/)dp dp 積分得積分

20、得, ,理想流體非定常無(wú)旋流動(dòng)伯努利方程理想流體非定常無(wú)旋流動(dòng)伯努利方程: : / /t+vt+v2 2/2/2 + +（ （1/1/)dp-u=c(tdp-u=c(t) ) ( (整個(gè)流場(chǎng)整個(gè)流場(chǎng)) )伯努利方程討論伯努利方程討論 （2 2）方程與）方程與(1(1）方程相比）方程相比, ,多了非定常項(xiàng)多了非定常項(xiàng), ,且且積分常數(shù)在積分常數(shù)在整個(gè)流場(chǎng)相同整個(gè)流場(chǎng)相同; ;如果流動(dòng)是定常流如果流動(dòng)是定常流, ,有旋流沿流線的積分伯努有旋流沿流線的積分伯努利方程和無(wú)旋流的伯努利方程在形式上完全一樣利方程和無(wú)旋流的伯努利方程在形式上完全一樣, ,僅是積分常數(shù)不同僅是積分常數(shù)不同, ,前者為沿流線前

21、者為沿流線c c為常值為常值, ,后者后者則則整個(gè)流整個(gè)流場(chǎng)場(chǎng)c c都為常值。都為常值。理想流體一維定常流動(dòng)的為無(wú)旋流，故理想流體一維定常流動(dòng)的為無(wú)旋流，故整個(gè)流整個(gè)流場(chǎng)場(chǎng)c c都為常值。都為常值。歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程：歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程： gdz+dp+vdvgdz+dp+vdv= 0= 0 gzgz+ +v v2 2/2/2 + +dpdp =c(t) =c(t) ( (整個(gè)流場(chǎng)整個(gè)流場(chǎng)) )例例b4.2b4.2acb【例【例】在海平面上在海平面上, ,有均勻流流過(guò)一個(gè)機(jī)翼有均勻流流過(guò)一個(gè)機(jī)翼, ,遠(yuǎn)前方直遠(yuǎn)前方直勻流的靜壓勻流的靜壓p=pp=p=101200n/s,=101200n/s,流速流

22、速v v=100m/s=100m/s。已知。已知a a，b,cb,c三點(diǎn)的速度分別是三點(diǎn)的速度分別是v va a=0,v=0,vb b=150m/s, =150m/s, v vc c=50m/s =50m/s 。解解: :流動(dòng)是無(wú)旋的流動(dòng)是無(wú)旋的, ,伯努利常數(shù)全場(chǎng)通用伯努利常數(shù)全場(chǎng)通用, ,由遠(yuǎn)前方條由遠(yuǎn)前方條件得件得 p p0 0=p=p+(v+(v) )2/2=101200+1.225/2=101200+1.225* *(100)(100)2/2/2 = 107325n/s = 107325n/s2 這是通用全場(chǎng)的常數(shù)。于是：這是通用全場(chǎng)的常數(shù)。于是：p pa a= p= p0 0-(v

23、-(va a) )2/2 =107325n/s/2 =107325n/s2 p pb b=p=p0 0-(v-(vb b) )2/2=107325-0.6125/2=107325-0.6125* *22500=935438n/s22500=935438n/s2p pc c= p= p0 0-(v-(vc c) )2/2 =107325-1531=105794n/s/2 =107325-1531=105794n/s2例例b4.3b4.3cordbapp+(p/r)drv有二維繞其固定軸線的旋轉(zhuǎn)流動(dòng)有二維繞其固定軸線的旋轉(zhuǎn)流動(dòng), ,其其v v 正比于正比于半徑半徑r,r,即即v v =kr=kr,

24、 ,求證伯努利常數(shù)求證伯努利常數(shù)c c是是r r的函數(shù)的函數(shù)。解：伯努利常數(shù)解：伯努利常數(shù)c c為：為： c = p + vc = p + v 2 2/2/2對(duì)半徑取導(dǎo)數(shù)：對(duì)半徑取導(dǎo)數(shù)： c/c/r = r = p/p/r + vr + v v v / /r r p/p/r r必須平衡微團(tuán)的離心力必須平衡微團(tuán)的離心力, ,則則: :(p+(p+p/p/r)(r+dr)dr)(r+dr)d -1/2p+p+(-1/2p+p+(p/p/r)drr)dr (r+dr-r)d(r+dr-r)d -prd-prd =v =v 2 2/r(r+r+dr)/2 /r(r+r+dr)/2 d d drdr左側(cè)

25、第二項(xiàng)是左側(cè)第二項(xiàng)是adad面和面和bcbc面上的壓力在面上的壓力在r r向的投影向的投影. .略去二階小量略去二階小量, ,得：得： p/p/r = vr = v 2 2/r/r代入代入c/c/r r式式, ,并將并將v v =kr=kr代入得代入得: : c/c/r = 2kr = 2k2 2r r該流動(dòng)為有旋流該流動(dòng)為有旋流, ,在柱坐標(biāo)中微團(tuán)角速度為在柱坐標(biāo)中微團(tuán)角速度為: : =1/2(=1/2(v v / /r 1/rr 1/rv vr r / / + v + v /r /r ) =1/2(k+k)=k) =1/2(k+k)=k則則: : c/c/r = 2r = 2 v v 【說(shuō)

26、明【說(shuō)明】在有旋流場(chǎng)上】在有旋流場(chǎng)上, ,伯努利常數(shù)跨流線是要變的。伯努利常數(shù)跨流線是要變的。b4.3.2 b4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程rvnpdndzg21nzcosrvnp21.1.沿流線法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系式沿流線法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系式由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系: :整理得整理得: :沿流線法線方向有壓強(qiáng)梯度沿流線法線方向有壓強(qiáng)梯度: :沿流線的法線方向的伯努利方程沿流線的法線方向的伯努利方程: :應(yīng)用條件應(yīng)用條件: :無(wú)粘流無(wú)粘流; ;定常流定常流; ;沿流線法線方向沿流線法線方向; ;不可壓流不可壓流. .rvnaannppapnag2)(coscpgzdnrv2

27、ssspppgdzdssyzxov沿直線流線法線方向的壓強(qiáng)公式沿直線流線法線方向的壓強(qiáng)公式非均勻流非均勻流: :漸變流和急變流漸變流和急變流; ;漸變流漸變流: :流體質(zhì)點(diǎn)的遷移加速度很小的流動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)的遷移加速度很小的流動(dòng), ,即流線即流線近于平行直線的流動(dòng)近于平行直線的流動(dòng). .否則為否則為急變流急變流. .當(dāng)流線為直線時(shí)當(dāng)流線為直線時(shí),r,r得得: : ( (沿流線法線方向沿流線法線方向) )表明表明: :不可壓無(wú)粘流作直線定常運(yùn)動(dòng)時(shí)不可壓無(wú)粘流作直線定常運(yùn)動(dòng)時(shí), ,沿流線法線沿流線法線方向的壓強(qiáng)變化規(guī)律與方向的壓強(qiáng)變化規(guī)律與靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律相同靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律相同. .cpgz漸變漸變

28、急變急變漸變漸變2. 2. 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程cpgzv22qvdqva2222222222221111vpgzvpgz沿流束沿流束的伯努利方程的伯努利方程: :用平均速度用平均速度v v代替不均勻的速度分布代替不均勻的速度分布, ,引入動(dòng)能修正引入動(dòng)能修正因子因子: : 得得: :沿沿總流的伯努利方程總流的伯努利方程應(yīng)用條件應(yīng)用條件: :無(wú)粘流無(wú)粘流; ;定常流定常流; ;不可壓流不可壓流; ;a a1 1和和a a2 2截面符合緩變流條件截面符合緩變流條件( (其他截面允許有急變流其他截面允許有急變流).).cdqvpgza)2(2112200u2u1z1z2da1da2

29、1 2 hv例例b4.4 b4.4 畢托管畢托管h. . .將流體動(dòng)能轉(zhuǎn)化為壓能將流體動(dòng)能轉(zhuǎn)化為壓能, ,從而通過(guò)測(cè)壓計(jì)測(cè)定流體運(yùn)動(dòng)速度。從而通過(guò)測(cè)壓計(jì)測(cè)定流體運(yùn)動(dòng)速度。解：畢托管為彎成直角形狀的細(xì)管，開口正對(duì)來(lái)流解：畢托管為彎成直角形狀的細(xì)管，開口正對(duì)來(lái)流方向方向, ,水流沖擊使畢托管中水柱上升。若在畢托管水流沖擊使畢托管中水柱上升。若在畢托管口前口前1 1點(diǎn)處立一個(gè)測(cè)壓管，其靜壓水頭點(diǎn)處立一個(gè)測(cè)壓管，其靜壓水頭p/g=h p/g=h 。設(shè)在畢托管管口前設(shè)在畢托管管口前1 1點(diǎn)速度為點(diǎn)速度為v v，壓強(qiáng)為，壓強(qiáng)為p=ghp=gh。畢托管管口后畢托管管口后2 2點(diǎn)是速度為點(diǎn)是速度為0 0的駐點(diǎn)

30、，駐點(diǎn)壓強(qiáng)為的駐點(diǎn)，駐點(diǎn)壓強(qiáng)為p p0 0=g=g（h+hh+h），此時(shí)管中的水柱高），此時(shí)管中的水柱高p p0 0/g=h+h/g=h+h稱為總水頭。稱為總水頭。對(duì)對(duì)1 1，2 2點(diǎn)列伯努利方程得：點(diǎn)列伯努利方程得： p/g + vp/g + v2 2/2g = p/2g = p0 0/g/g 或或 p + vp + v2 2/2 = p/2 = p0 0說(shuō)明：一點(diǎn)上的總壓強(qiáng)等于靜壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng)之和。說(shuō)明：一點(diǎn)上的總壓強(qiáng)等于靜壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng)之和。可得：可得： v v2 2/2g =/2g =（p p0 0-p-p）/g=1/gg/g=1/gg（h+hh+h）-gh-gh = h = h則則v v

31、2 2/2g/2g稱為速度水頭，可用一段水柱高表示，等于畢托管中稱為速度水頭，可用一段水柱高表示，等于畢托管中總水頭與測(cè)壓管中靜水頭之差?？偹^與測(cè)壓管中靜水頭之差。a1 a2 hu2u1 例例b4.5 b4.5 文丘里流量計(jì)文丘里流量計(jì)當(dāng)測(cè)定流動(dòng)的進(jìn)口與喉部壓差和進(jìn)口與當(dāng)測(cè)定流動(dòng)的進(jìn)口與喉部壓差和進(jìn)口與喉部的面積喉部的面積,可計(jì)算通過(guò)文丘里管的流量?？捎?jì)算通過(guò)文丘里管的流量。解：流動(dòng)是定常、理想和不可壓，假定管截面流速均解：流動(dòng)是定常、理想和不可壓，假定管截面流速均勻分布。勻分布。由不可壓流連續(xù)方程：由不可壓流連續(xù)方程：u1a1= u2a2伯伯努利公式：努利公式： p p1 1/1 1g +

32、 ug + u1 1/2g +z/2g +z1 1 = p = p2 2/2 2g + ug + u2 2/2g +z/2g +z2 2文丘里管水平放置（文丘里管水平放置（ z z1 1 = z = z2 2 ）：）： (p(p1 1 - p - p2 2)/=(u)/=(u2 2 u u1 1)/2 = u)/2 = u2 2/2(a/2(a2 2/a/a1 1)u)u2 2/2/2流量計(jì)測(cè)得：流量計(jì)測(cè)得： p p1 1 - p - p2 2 =( =(-)gh-)gh ( (為為u u形管中液體密度。形管中液體密度。) )a1 a2 hu2u1 例例b4.5b4.5u u2 2=2(=2(

33、-)gh/(1-(a-)gh/(1-(a2 2/ a/ a1 1) )2 2)1/21/2q = aq = a2 2u u2 2 = a = a2 22(2(-)gh/(1-(a-)gh/(1-(a2 2/ a/ a1 1) )2 2)1/21/2對(duì)粘性流體：對(duì)粘性流體：q = aq = a2 22(2(-)gh/(1-)gh/(1-（a a2 2/ a/ a1 1) )2 2)1/21/2 （為修正系數(shù)為修正系數(shù)0.90.9）如已知如已知h=5cmh=5cm汞高汞高,a,a2 2/ a/ a1 1=1/4,a=1/4,a2 2=50cm=50cm2 2,=0.92,=0.92,求求通過(guò)文丘里

34、管的流量。通過(guò)文丘里管的流量。汞與水的密度比：汞與水的密度比：/=13.6/=13.6u u2 2=2=212.612.69.89.80.05/(1-(0.25)0.05/(1-(0.25)2 2)1/21/2=3.63 m/s=3.63 m/sq = aq = a2 2 u u2 2 =0.92=0.920.0050.0053.63=0.0167m3.63=0.0167m3 3/s/sb4.3.3 b4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義水頭形式的沿總流伯努利方程水頭形式的沿總流伯努利方程: :位能位能(重力勢(shì)能重力勢(shì)能)壓能壓能(壓強(qiáng)勢(shì)能壓強(qiáng)勢(shì)能)平均動(dòng)能平均動(dòng)能平均勢(shì)能

35、平均勢(shì)能平均機(jī)械能平均機(jī)械能gvgpzgvgpz222222221111例例b4.6 b4.6 水頭線水頭線gvgpzh22gpzhp總水頭線總水頭線: :粘性流體的總水頭線沿程單調(diào)下降粘性流體的總水頭線沿程單調(diào)下降, ,用水力坡度用水力坡度j.j.測(cè)壓管測(cè)壓管水頭線水頭線: :用用測(cè)壓管測(cè)壓管水力坡度水力坡度j jp p. .dldhdldhjwgua2211gp1hhp水頭線水頭線00z1位置高度位置高度(高度水頭高度水頭)測(cè)壓管高度測(cè)壓管高度(壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭)流速高度流速高度(速度水頭速度水頭)dldhjpph1z2h2gua2222gp2hw沿程損失沿程損失伯努利方程伯努利方程b4.

36、3.4 b4.3.4 不定常流伯努利方程不定常流伯努利方程dltvggvgpzgvgpz212222221111122dstvggvgpzgvgpz2122222111122無(wú)粘性不可壓不定常流動(dòng)時(shí)無(wú)粘性不可壓不定常流動(dòng)時(shí), ,除動(dòng)能除動(dòng)能, ,位能和壓強(qiáng)勢(shì)位能和壓強(qiáng)勢(shì)能外能外, ,還包括由不定常流動(dòng)產(chǎn)生的慣性力所作的功還包括由不定常流動(dòng)產(chǎn)生的慣性力所作的功. .沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程: :一維平均流動(dòng)的水頭形式一維平均流動(dòng)的水頭形式:(:(沿流束沿流束) )單位重量流體的當(dāng)?shù)丶铀俣纫鸬乃^單位重量流體的當(dāng)?shù)丶铀俣纫鸬乃^變化變化 , ,積分沿流束積分沿流束( (流管流管)

37、)進(jìn)進(jìn)行行.dltvg211慣性慣性水頭水頭動(dòng)能動(dòng)能單位重量單位重量流體的慣流體的慣性水頭性水頭位能位能壓強(qiáng)勢(shì)能壓強(qiáng)勢(shì)能【第【第11講講】b4.3 b4.3 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用b4.4 b4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用應(yīng)用伯努利方程伯努利方程b4.4 b4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用b4.4.1 b4.4.1 固定的控制體固定的控制體syssysvdpfvddtddtdpsyssys流體的空間分布流體的空間分布( (單位體積流體的動(dòng)量為單位體積流體的動(dòng)量為v),v),流體流體系統(tǒng)的動(dòng)量為系統(tǒng)的動(dòng)量為流體系統(tǒng)的動(dòng)量方程為流

38、體系統(tǒng)的動(dòng)量方程為: :對(duì)固定不變形的控制體對(duì)固定不變形的控制體系統(tǒng)動(dòng)量的隨體導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)動(dòng)量的隨體導(dǎo)數(shù): :對(duì)固定不變形的控制體的流體動(dòng)量方程對(duì)固定不變形的控制體的流體動(dòng)量方程: :定常流定常流: :體積力和體積力和表面力表面力danvvdvtvddtddtdpcscvsyssys)(fdanvvdvtcscv)(fdanvvcs)(體積力體積力為重力為重力psys(t0)sys(t)csfcv1. 1. 沿流管的定常流動(dòng)沿流管的定常流動(dòng)沿一維流管的定常流動(dòng)沿一維流管的定常流動(dòng), ,凈流出控制體控制面凈流出控制體控制面cscs的動(dòng)的動(dòng)量流量為量流量為: :沿流管的定常流動(dòng)動(dòng)量積分式沿流管的定常流

39、動(dòng)動(dòng)量積分式: :沿流管的定常流動(dòng)動(dòng)量方程沿流管的定常流動(dòng)動(dòng)量方程( (一維定常流動(dòng)動(dòng)量方程一維定常流動(dòng)動(dòng)量方程):):動(dòng)量方程：質(zhì)量體內(nèi)動(dòng)量增長(zhǎng)動(dòng)量方程：質(zhì)量體內(nèi)動(dòng)量增長(zhǎng)率等于該瞬時(shí)作用在質(zhì)量體上率等于該瞬時(shí)作用在質(zhì)量體上的外力的外力( (體積力和表面力體積力和表面力) )之和。之和。a1a2v1v2n1n2csfmdvmdvdanvvdanvvdanvvaaaacs1221)()()(動(dòng)量修正系動(dòng)量修正系數(shù)數(shù)=1.0111222)(mvmvdanvvcsfvvminout)(一維可壓流一維可壓流:mout= min= m動(dòng)量方程動(dòng)量方程定理定理在定常流中，作用在控制體上全部外在定常流中，作

40、用在控制體上全部外力的合力力的合力, ,等于從控制面流體動(dòng)量的流出率與等于從控制面流體動(dòng)量的流出率與從控制面流體動(dòng)量的流入率之差值。從控制面流體動(dòng)量的流入率之差值。 f f = q(v= q(v2 2-v-v1 1) )在重力場(chǎng)在重力場(chǎng): : f f = = f f表面力表面力+ f+ f重力重力+ p+ p1 1a a1 1+ p+ p2 2a a2 2= q(v= q(v2 2-v-v1 1),),直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系: : ffx x = q(v= q(vx2x2-v-vx1x1) ) f fy y = q(v= q(vy2y2-v-vy1y1) ) f fz z = q(v= q(vz

41、2z2-v-vz1z1) )2. 2. 具有多個(gè)一維出入口的控制體上的具有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常流動(dòng)定常流動(dòng)fvmvminiioutii)()(f11vm 當(dāng)控制面具有多個(gè)一維出入口的控制體上的定當(dāng)控制面具有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常流動(dòng)常流動(dòng): :44vm 33vm 22vm 55vm 定常流控制體積積分型守恒方程的應(yīng)用定常流控制體積積分型守恒方程的應(yīng)用 n1 n2 p2 u2 u1 p1 x y o d c b a 121.1.理想不可壓流流過(guò)水平彎管的定常流理想不可壓流流過(guò)水平彎管的定常流彎管入彎管入, ,出口面積出口面積a a1 1,a,a2 2, ,入口流速入口流速u u

42、1 1和和壓強(qiáng)壓強(qiáng)p p1 1, ,流體密度流體密度,彎管轉(zhuǎn)角彎管轉(zhuǎn)角。流動(dòng)時(shí)彎管上的合力：流動(dòng)時(shí)彎管上的合力：f f = -gv= -gvk k - -（p p1 1+u+u1 12 2）a a1 1n n1 1 （p p2 2+u+u2 22 2）a a2 2n n2 2合力合力= =垂直力垂直力( (彎管內(nèi)水重彎管內(nèi)水重)+)+水平力水平力( (彎管動(dòng)量變化和壓強(qiáng)合力彎管動(dòng)量變化和壓強(qiáng)合力) )直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系: :流體對(duì)管道的作用力為流體對(duì)管道的作用力為 f frxrx=p=p1a a1sinsin 1p p2a a2coscos 2+ +q(vq(v1sinsin 1-v-v2c

43、oscos 2) ) f fryry=p=p2a a2sinsin 2p p1a a1coscos 1+ +q(vq(v2sinsin 2vv1coscos 1) )作用力作用力f fd d及與及與x x軸正向的夾角軸正向的夾角: f: fr r=f=frxrx2 2 + + f fryry2 2 1/21/2 =tg=tg-1-1( (f fy y/ / f fx x守恒方程的應(yīng)用守恒方程的應(yīng)用特例特例特例特例1 1直角變徑彎管道直角變徑彎管道 1= = 2=0,=0,q=vq=v1a a1= =v v2a a2: : f frxrx= = (p p2+ +vv22 2)a)a2 ,f,fr

44、yry= =( (p p1+ +vv12 2)a)a1特例特例2 2直角等徑彎管道直角等徑彎管道 1= = 2=0,=0,a=aa=a1= =a a2 ,q=vaq=va: : f frxrx= = (p p2+ +vv2 2)a)a ,f,fryry= = ( (p p1+ +vv2 2)a)a特例特例3 3反向等徑彎管道反向等徑彎管道 1=0,=0, 2=180=180, ,a=aa=a1= =a a2, ,q=vaq=va,v,v= =v v1= =v v2: : f frxrx= = 0, 0, f fryry= =( (p p1+ + p p2+2+2vv2 2)a)a 特例特例4

45、4逐漸收縮直管道逐漸收縮直管道 1=0,=0, 2=90=90, ,q=vq=v1a a1= =v v2a a2: : f frxrx= 0,= 0, f fryry= =( (p p1+ +vv12 2)a)a1 (p p2+ +vv22 2)a)a2 特例特例5 5等徑直管道等徑直管道 1=0,=0, 2=90=90, ,a=aa=a1= =a a2, ,q=vaq=va, ,v=v=v v1= =v v2 : : f frxrx= 0, f= 0, fryry= =( (p p1- -p p2)a)a例例b4.7b4.7v1v2p1p1yxfxfyfdo例例在彎成在彎成9090度的收縮管

46、中有水流，度的收縮管中有水流，水流流量為水流流量為78.5kg/s78.5kg/s。若忽略水流自身的重量，管。若忽略水流自身的重量，管進(jìn)口截面直徑為進(jìn)口截面直徑為10cm10cm，水壓為，水壓為4.94.9* *10105 5papa，出口截面，出口截面直徑為直徑為8cm8cm，水壓為，水壓為4.24.2* *10105 5papa，求水流對(duì)管壁的作，求水流對(duì)管壁的作用力。用力。解：取控制體的側(cè)表面為水在彎管內(nèi)流動(dòng)的邊界，解：取控制體的側(cè)表面為水在彎管內(nèi)流動(dòng)的邊界，它的兩個(gè)端截面與水流速度方向垂直，則由動(dòng)量方它的兩個(gè)端截面與水流速度方向垂直，則由動(dòng)量方程得程得： f fx x + p + p1

47、 1a a1 1 = q(0- v= q(0- v1 1) ) f fy y + p + p2 2a a1 1 = q(-v= q(-v2 2-0)-0)v1v2p1p1yxfxfyfdo例例b4.7b4.7而由質(zhì)量流量得：而由質(zhì)量流量得： v v1 1=q/=q/1 1a a1 1=78.5/(1000=78.5/(1000* *3.143.14* *0.10.12 2/4)=10/4)=10（m/sm/s） v v2 2=q/=q/2 2a a2 2=78.5/(1000=78.5/(1000* *3.143.14* *0.080.082 2/4)=15.6/4)=15.6（m/sm/s）

48、 f fx x = = 4.94.9* *10105 5* * 3.143.14* *0.10.12 2/4+/4+ 78.578.5* *10=4640(n) 10=4640(n) f fy y = =4.94.9* *10105 5* * 3.143.14* *0.080.082 2/4+/4+ 78.578.5* *15.6=3330(n) 15.6=3330(n) 水流對(duì)管壁的作用力水流對(duì)管壁的作用力: : f fd d = =(-(-f fx x) )2 2 + + (-(-f fy y) )2 2 1/21/2 =(4640)(4640)2 2 + + (3330)(3330)2

49、2 1/21/2 = 5712(n) = 5712(n) 作用力作用力f fd d與與x x軸正向的夾角軸正向的夾角: : = tg = tg-1-1( (f fy y/ / f fx x)= tg)= tg-1-1( (33303330/ / 46404640)=35)=354040 d n y x u2 u1 u u n2 n1 d1 d2 e d c a b f例例b4.8b4.8水平定常平面射流沖擊固定平板水平定常平面射流沖擊固定平板射流速度射流速度u,u,寬度寬度d,d,密度密度和環(huán)境壓強(qiáng)和環(huán)境壓強(qiáng)p pa a, ,平板法向與射流交角平板法向與射流交角。作用在單位厚度平板上的合力則：

50、作用在單位厚度平板上的合力則：-u-u2 2d(d(i icos+cos+j jsin)+usin)+u1 12 2d d1 1j j-u-u2 22 2d d2 2j j=-=-f ff f =u =u2 2dcosdcosi i ， d d1 1- d- d2 2 = dsin = dsin聯(lián)立聯(lián)立d=dd=d1 1+d+d2 2得：得：d d1 1=d(1+sin)/2=d(1+sin)/2，d d2 2=d(1-sin)/2=d(1-sin)/2特例特例1 1射流垂直于固定平板射流垂直于固定平板令令= 0:= 0:f frxrx= u= u2 2d, fd, fryry= 0= 0特例

51、特例2 2射流垂直于彎道射流垂直于彎道令出口流速方向與令出口流速方向與x x軸夾角為軸夾角為 : :f frxrx=u=u2 2d(1-cos d(1-cos ),f),fryry=0=0特例特例3 3射流垂直于反向等徑彎道射流垂直于反向等徑彎道令出口流速方向與令出口流速方向與x x軸夾角軸夾角 =180=180: : f frxrx= 2u= 2u2 2d, fd, fryry= 0= 0合力作用點(diǎn)合力作用點(diǎn) y y0 0=(d=(d2 22 2-d-d1 12 2)/(2dcos)=dtg/2)/(2dcos)=dtg/2， x x0 0=0=0b4.4.2 b4.4.2 均勻運(yùn)動(dòng)的控制體

52、均勻運(yùn)動(dòng)的控制體fvmvminrroutrr)()(f11rvm 當(dāng)控制體當(dāng)控制體作均勻運(yùn)動(dòng)時(shí)作均勻運(yùn)動(dòng)時(shí), ,流體動(dòng)量方程流體動(dòng)量方程: :定常流定常流: :具有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常流動(dòng)具有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常流動(dòng): :44rvm 33rvm 22rvm 55rvm fdanvvdvtcsrrcvr)(fdanvvcsrr)(【第【第12講講】b4.5 b4.5 積分形式的動(dòng)量矩方程積分形式的動(dòng)量矩方程b4.6 b4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程b4.5 b4.5 積分形式的動(dòng)量矩方程積分形式的動(dòng)量矩方程b4.5.1 b4.5.1 固定的控制體固定的控制體sy

53、ssysdvrl)(mdvrdtddtdlsyssys)(流體的空間分布流體的空間分布( (單位體積流體的動(dòng)量為單位體積流體的動(dòng)量為v),v),流體流體系統(tǒng)的動(dòng)量矩為系統(tǒng)的動(dòng)量矩為流體系統(tǒng)的動(dòng)量矩方程為流體系統(tǒng)的動(dòng)量矩方程為: :對(duì)固定不變形的控制體對(duì)固定不變形的控制體系統(tǒng)動(dòng)量系統(tǒng)動(dòng)量矩矩的隨體導(dǎo)數(shù)的隨體導(dǎo)數(shù): :對(duì)固定不變形的控制體的流體動(dòng)量對(duì)固定不變形的控制體的流體動(dòng)量矩矩方程方程: :合力矩合力矩danvvrdvrtdvrdtddtdlcscvsyssys)()()(mdanvvrdvrtcscv)()(lsys(t0)sys(t)csfcv固定的控制體固定的控制體1.1.定常流動(dòng)量定常

54、流動(dòng)量矩矩方程方程定常流動(dòng)時(shí)定常流動(dòng)時(shí), ,動(dòng)量矩隨體導(dǎo)數(shù)中的當(dāng)?shù)仨?xiàng)為動(dòng)量矩隨體導(dǎo)數(shù)中的當(dāng)?shù)仨?xiàng)為0,0,只有遷移只有遷移項(xiàng)項(xiàng). .動(dòng)量動(dòng)量矩矩方程為方程為: :2 2. .定軸旋轉(zhuǎn)流場(chǎng)動(dòng)量定軸旋轉(zhuǎn)流場(chǎng)動(dòng)量矩矩方程方程由轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的力矩由轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的力矩t ts s( (軸矩軸矩):):忽略重力和表面力忽略重力和表面力, ,流動(dòng)為定常流動(dòng)流動(dòng)為定常流動(dòng),(,(用于渦輪機(jī)械用于渦輪機(jī)械) )定軸旋勻速轉(zhuǎn)流場(chǎng)動(dòng)量定軸旋勻速轉(zhuǎn)流場(chǎng)動(dòng)量矩矩方程為方程為: :stfrm)(mdanvvrcs)(scstdanvvr)(2 d2 d1 abcd3. 3. 歐拉渦輪機(jī)方程歐拉渦輪機(jī)方程0)(danw122211a

55、azmndandazmdwrz)(/20已知葉輪已知葉輪z z個(gè)葉片等角速度個(gè)葉片等角速度旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn), ,流體質(zhì)量流體質(zhì)量m m, ,葉輪葉輪入出口直徑入出口直徑d d1 1,d,d2 2, ,葉輪流入出相對(duì)速度葉輪流入出相對(duì)速度w w1 1,w,w2 2,az,az安裝角安裝角1 1,2 2。假定葉片很多很薄。假定葉片很多很薄, ,流動(dòng)為平面流流動(dòng)為平面流( (軸向取單軸向取單位長(zhǎng)度位長(zhǎng)度) )。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)固結(jié)葉輪上，控制體：。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)固結(jié)葉輪上，控制體：abcdabcd。 控制體上的質(zhì)量守恒：控制體上的質(zhì)量守恒：故連續(xù)方程為故連續(xù)方程為:其中其中a a1 1=d=d1 1/z/z，a a2 2

56、=d=d2 2/z/z，極坐標(biāo)：極坐標(biāo)： 動(dòng)量矩守恒動(dòng)量矩守恒:歐拉渦輪機(jī)方程歐拉渦輪機(jī)方程軸功率軸功率: :danprdfrdanra)()()(mvrvrts)(1122mvuvumvrvrws)()(112211222 r2 r1 v2uv1uv2v2rv1r用幾何方法表示的速度關(guān)系式，求葉片的進(jìn)出口相對(duì)速度。用幾何方法表示的速度關(guān)系式，求葉片的進(jìn)出口相對(duì)速度。葉輪中流體質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度葉輪中流體質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度c c為相對(duì)速度為相對(duì)速度w w和牽連速度和牽連速度u u之和：之和： c = w +c = w +r r l= m l= m（r r2 2c c2 2coscos2 2- r- r

57、1 1w w1 1coscos1 1） p= l= mp= l= m（u u2 2c c2 u2 uuu1 1c c1 u1 u） 如如p0p0，即，即u u2 2c c2 u2 uuu1 1c c1 u1 u00，葉輪對(duì)流體做功，葉輪對(duì)流體做功壓縮機(jī)；壓縮機(jī)；如如p0p0，即，即u u2 2c c2 u2 uuu1 1c c1 u1 u00，流體對(duì)葉輪做功，流體對(duì)葉輪做功渦輪機(jī)。渦輪機(jī)。對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸（對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸（z z軸）的動(dòng)量矩方程：軸）的動(dòng)量矩方程： m mz z= m= m（v v2u2ur r2 2 - v - v1u1ur r1 1）葉輪機(jī)的功率葉輪機(jī)的功率:p= m:p= mz z

58、 = m= m(v(v2u2ur r2 2-v-v1u1ur r1 1)= m)= m(v(v2u2uu u2 2 - v - v1u1uu u1 1) )式中式中u u2 2,u,u1u1u分別表示葉輪在分別表示葉輪在r r2 2 , r , r1 1處的圓周速度。處的圓周速度。外力對(duì)流過(guò)葉輪機(jī)的單位質(zhì)量流體的作功量為：外力對(duì)流過(guò)葉輪機(jī)的單位質(zhì)量流體的作功量為： p/mp/m = v= v2u2uu u2 2 - v - v1u1uu u1 1如果作用在流體上的外力矩為如果作用在流體上的外力矩為0 0，則：，則： v v2u2ur r2 2 = v = v1u1ur r1 1 = v= vu

59、 ur r速度三角形法速度三角形法b4.5.2 b4.5.2 旋轉(zhuǎn)的控制體旋轉(zhuǎn)的控制體以非勻角速度旋轉(zhuǎn)或出入口流動(dòng)以非勻角速度旋轉(zhuǎn)或出入口流動(dòng), ,考慮旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的慣考慮旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的慣性力性力. .旋轉(zhuǎn)的控制體的動(dòng)量旋轉(zhuǎn)的控制體的動(dòng)量矩矩方程為方程為: :忽略重力和表面力矩忽略重力和表面力矩, ,可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為: :drvrrtfrdanvvrdvrtrcvsrcsrcvr)(2)()()( )()(dvrrtdanvvrrcvsrcsr)(2)()( )(b4.6 b4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程sysssysdee系統(tǒng)能量系統(tǒng)能量關(guān)系關(guān)系為為: :流動(dòng)系統(tǒng)流動(dòng)系統(tǒng): :系統(tǒng)

60、能量系統(tǒng)能量: :流體系統(tǒng)的流體系統(tǒng)的能量方程能量方程: :wqewqdedtddtdesysssys系統(tǒng)的系統(tǒng)的能量能量系統(tǒng)對(duì)外系統(tǒng)對(duì)外界做的功界做的功外界傳外界傳入熱量入熱量gzvees22單位質(zhì)量流單位質(zhì)量流體的儲(chǔ)存能體的儲(chǔ)存能單位質(zhì)量流單位質(zhì)量流體的內(nèi)能體的內(nèi)能單位質(zhì)量流單位質(zhì)量流體的動(dòng)能體的動(dòng)能單位質(zhì)量流體單位質(zhì)量流體的重力勢(shì)能的重力勢(shì)能單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)外界傳入系外界傳入系統(tǒng)的熱能統(tǒng)的熱能單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)對(duì)外界系統(tǒng)對(duì)外界所作的功所作的功b4.6.1 b4.6.1 固定的控制體固定的控制體對(duì)固定不變形的控制體系統(tǒng)能量的隨體導(dǎo)數(shù)對(duì)固定不變形的控制體系統(tǒng)能量的隨體導(dǎo)數(shù): :固定