空間向量之建立空間直角坐標(biāo)系的方法及技巧

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載空間向量之建立空間直角坐標(biāo)系的方法及技巧一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例 1已知直四棱柱ABCD A1B1C1D 1 中， AA1 2，底面 ABCD 是直角梯形， A 為直角，AB CD， AB 4， AD 2， DC 1，求異面直線BC1 與 DC 所成角的余弦值解析：如圖 1，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 DA、 DC 、DD 1 所在直線為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（， 1， 2）、B（ 2， 4，）， BC1( 2， 3，2)， CD(0， 10)， 設(shè) BC1 與 CD 所成的角為，則 cosBC1CD3 17BC1CD17二、利用

2、線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例 2如圖 2，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB側(cè)面 BB1C1C， E 為棱 CC1 上異于 C、 C1 的一點(diǎn)， EAEB1已知 AB2，BB 1 2，BC 1， BCC 1求二面角 AEB 1 A1 的平面3角的正切值解析：如圖 2，以 B 為原點(diǎn)，分別以 BB 1、 BA 所在直線為y 軸、 z 軸，過 B 點(diǎn)垂直于平面AB 1 的直線為 x 軸建立空間直角坐標(biāo)系由于 BC 1， BB1 2， AB 2 ， BCC1 ，3在三棱柱 ABC A中，有 B（，）、A（，2 ）、B（，2，）、3 ，1 ， 、1B1C11c202C133， ， 202設(shè)E3

3、，且1a32a 02，2學(xué)習(xí)必備歡迎下載由 EA EB1，得 EA EB1 0 ，即3， ，3，2a222a 03a(a 2) a22a30 ， a1a30 ，44221或331即（舍去）故，a2a2E202由已知有 EAEB1 ， B1 A1EB1 ，故二面角 A EB1A1 的平面角的大小為向量B1A1 與EA 的夾角因 B1A1BA(0，0， 2) ， EA3， 1，222故 cosEA B1A12，即 tan2EA B1A132三、利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例 3如圖 3，在四棱錐V ABCD 中，底面ABCD 是正方形，側(cè)面VAD 是正三角形，平面VAD底面 ABCD （ 1）證

4、明 AB平面 VAD；（ 2）求面 VAD 與面 VDB 所成的二面角的余弦值解析：（ 1）取 AD 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)，建立如圖3 所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè) AD2，則 A（ 1，）、 D（ 1，）、 B（1， 2，）、V（，3 ）， AB （， 2，）， VA （ 1，3 ）由ABVA(0，2，0) (1，0， 3) 0 ，得AB VA又 AB AD ，從而 AB 與平面 VAD 內(nèi)兩條相交直線VA、 AD 都垂直，AB平面 VAD；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）設(shè) E 為 DV 的中點(diǎn)，則E1， 30223，3，3，3 ，DV(1，0， 3)EAEB202222EB DV3，3，0，222(10

5、 3) EB DV 又 EA DV ，因此 AEB 是所求二面角的平面角 cos EA，EBEA EB21EA EB7故所求二面角的余弦值為21 7四、利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例 4已知正四棱錐V ABCD 中， E 為 VC 中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長為2a，高為 h（ 1）求 DEB 的余弦值；（ 2）若 BE VC，求 DEB 的余弦值解析：（1）如圖 4，以 V 在平面 AC 的射影 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中 Ox BC，Oy AB，則由 AB 2a，OV h，有 B（ a，a，）、C（ -a，a，）、D（ -a，-a，）、V（ 0，0，h）、 Eaa h，

6、 ，2 2 2 BE3a，ah， DEa3h2，2， a， 2222，BE DE6a2h2，cos BE DEBEDE10a2h2即 cos DEB6a2h2 ；10a2h2學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）因?yàn)?E 是 VC 的中點(diǎn)，又 BEVC ，所以 BE VC 0，即3ah( a， a， h)0 ，a，222 3 a2a2h20 ， h2a 222這時(shí)，6a2h21 ，即cos DEB1cos BE DE10a2h233五、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等） ，利用自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系例 5 已知兩個(gè)正四棱錐P

7、ABCD 與Q ABCD 的高都為2， AB 4（ 1）證明： PQ平面 ABCD ；（ 2）求異面直線 AQ 與 PB 所成的角；（ 3）求點(diǎn) P 到平面 QAD 的距離（ 2 ）由題設(shè)知，ABCD 是正方形，且AC BD由（ 1）， PQ平面ABCD ，故可分別以直線CA， DB， QP 為x ， y ， z軸 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 （ 如 圖1 ），易 得AQ ( 2 2，0， 2)，PB(0，22， 2) ， cosAQ PB1AQ，PBAQ PB3學(xué)習(xí)必備歡迎下載所求異面直線所成的角是arccos1 3（ 3）由（ 2）知，點(diǎn) D (0， 22，0)，AD(22，22，0)，PQ(0，0， 4) 設(shè) n=（ x， y， z）是平面QAD 的一個(gè)法向量，則，2x z0，取 x 1 ，得