二重積分的計算法2

1、三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算法（二重積分的計算法（2 2）一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分二、廣義二重積分二、廣義二重積分2222byxa 如積分區(qū)域為如積分區(qū)域為oxy必須化為必須化為四個小區(qū)域四個小區(qū)域來計算，來計算， 因此，有必要學(xué)習(xí)在其他坐標(biāo)系下因此，有必要學(xué)習(xí)在其他坐標(biāo)系下(如極坐標(biāo)系下如極坐標(biāo)系下)計算二重積分計算二重積分.下非常煩瑣，下非常煩瑣，相當(dāng)麻煩。相當(dāng)麻煩。 在直角坐標(biāo)系下計算二重積分時，在直角坐標(biāo)系下計算二重積分時， 在某些情況在某些情況什什么么是是極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系？一、利用極坐標(biāo)計算二重積分( , )m x y在在

2、直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下oxy.m( , )x y極極軸軸極極點點r極極徑徑 極極角角( , )r ( , )m r 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下關(guān)關(guān)系系：cossinxryr 曲曲線線： ( , )0f x y ( cos , sin )0f rr 1 1、二二重重積積分分從從直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)到到極極坐坐標(biāo)標(biāo)的的變變換換公公式式在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下01( , )lim( ,)niiiidf x y df .dod假假定定有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 滿滿足足：從從極極點點 出出發(fā)發(fā)的的半半直直線線與與 的的邊邊界界的的交交點點不不多多于于兩兩點點.oxd()()iiirrdn 用用常常數(shù)數(shù) ,

3、, = =常常數(shù)數(shù) 兩兩組組曲曲線線把把分分成成 個個小小區(qū)區(qū)域域 ，ii i i iriirr i 212iir 1(2)2iiiirrr iiirr i 面面積積記記21()2iiirr .oxdii i i iriirr ( ,),iiirrr 在在小小區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)取取圓圓周周上上點點該該點點對對應(yīng)應(yīng)的的直直角角坐坐( ,)ii 標(biāo)標(biāo)設(shè)設(shè)為為，則則由由兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)系系之之間間的的關(guān)關(guān)系系有有cos,siniiiiiirr ( ,)( cos, sin)iiiiiiff rr 于于是是01lim( cos, sin)niiiiiiiif rrr r ( cos , sin )df rrrd

4、rd 01( , )lim( ,)niiiidf x y df ir( , )( cos , sin )ddf x y df rrrdrd 即即( , )( cos , sin )ddf x y dxdyf rrrdrd 二二重重積積分分從從直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)到到極極坐坐標(biāo)標(biāo)的的變變換換公公式式極極坐坐標(biāo)標(biāo)下下的的面面積積元元素素d根根據(jù)據(jù)，分分三三種種極極點點與與區(qū)區(qū)域域情情況況進進的的位位置置行行討討論論： )()(21 )sin,cos( rrdrrrf dddrrrrf )sin,cos(（1）極點）極點 o 在區(qū)域在區(qū)域 d 的外部的外部 )()(21 rrr do)(2 rr )(1

5、 rr :d dr2 2、極極坐坐標(biāo)標(biāo)下下二二重重積積分分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為二二次次積積分分od )(0 )sin,cos( rdrrrf（2）極點）極點 o 在區(qū)域在區(qū)域 d 的邊界上的邊界上 )(0 rr dddrrrrf )sin,cos()( rr :d（3）極點）極點 o 在區(qū)域在區(qū)域 d 的內(nèi)部的內(nèi)部do)( rr :d)(0 rr 20 dddrrrrf )sin,cos( )(0 )sin,cos( rdrrrf d 20drr :解解oxyadr222d d =d dxyrddex yer r 2ddrer r ).1(2ae 22001() d2rae 2201(1)d2ae =

6、r a 02 0a22yxyx 通通常常當(dāng)當(dāng)積積分分區(qū)區(qū)域域的的邊邊界界由由圓圓弧弧、射射線線組組成成且且被被積積函函數(shù)數(shù)含含有有， 等等形形式式時時，用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)計計算算較較為為簡簡單單. .解解oxyyyx422 03 yx03 xyr222xyy 222()ddxydxdyrrdrd 3dr dr 2sinr 6 3 2sin 4sin 364 4sin2sin1()4rd 36460sind 153()42 6 3 4sinr 222223 ( , )()dxy ddx yxaya 例例求求, ,其其中中解解oxy222()x aya 2 cosra 22ddxy dr rdrd2

7、dr dr 3329a 3 2 cos2021()3ard 33228cos3ad 332016cos3ad 2 2 02 cosa 二、無界區(qū)域上的廣義二重積分基本解法基本解法： 先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無界區(qū)域時取極限求解界區(qū)域時取極限求解. .( , ),df x y dd 其其中中 為為無無界界區(qū)區(qū)域域11( , )lim( , )ddddf x y df x y d 例例1 1證：證：2xedx計算概率積分22,xydeddxoy考慮二重積分其中 是平面xyo1dr取為圓心在原點，半徑為 的圓，22221limxyxyrdde

8、dedxdy2limrrderdrr1+rdd 當(dāng)時，21limrrderdrdrr 02r0 xyo2+rdd 當(dāng)時，22222limxyxyrddededxdy22limrrxyrrrdxedy22limrrxyrrreedy dx22limrxrredx22xedx222xxedxedx即，從而r22dr取為中心在原點，邊長為的正方形，r22limrryxrrredyedx解解 先考慮圓域先考慮圓域2221( , )|dx y xyr122d( )(1)di rxy 2dd(1)rrr xyor121d(1)dr rdr rr 2 1(1)11r lim( )rii r 2 1lim(1)11rr ,11,1 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 02 0r1.二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式(三種情形三種情形)（在積分中