向量知識(shí)點(diǎn)題型歸納

1、專題-平面向量1.向向量的相關(guān)概念、2.向量的線性運(yùn)算二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_ （答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A

2、. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_ （答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是 （答：0）四實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0。五平面向量的數(shù)量積：1兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量

3、。如（1）ABC中，則_ （答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_ （答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_（答：）3在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_ （答：）4的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；（2）已知的

4、面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_ （答：）；六向量的運(yùn)算：1幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡(jiǎn)：_；_；_（答：；）；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則_（答：）；（3）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_ （答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_ （答：2）；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_（答：）；2坐

5、標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。如已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 （答：（9,1）實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_（答：）；平面向量數(shù)量積：。向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_ （答：）； 兩點(diǎn)間的距離：若，則。七向量的運(yùn)算律：1交換律：，；2結(jié)合律：，；3分配律：，。如下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_（答：）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一

6、個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？八向量平行(共線)的充要條件：0。如(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且，則x_（答：4）；（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線（答：2或11）九向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （答：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ （答：）十線段的定比分點(diǎn)：1定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，若存在

7、一個(gè)實(shí)數(shù) ，使，則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)；2的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP的延長(zhǎng)線上時(shí)<1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)；若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段所成的比為。如若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_（答：）3線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，= 線段PP的中點(diǎn)公式。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，

8、-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_（答：或）十一平移公式：如果點(diǎn)按向量平移至，則=，；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如（1）按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)_（答：（，）；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_ （答：）12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。如若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、

9、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；（4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_（答：直線AB）12、向量與三角形外心. 三角形外接圓的圓心,簡(jiǎn)稱外心. 是三角形三邊中垂線的交點(diǎn). （下左圖）重心 三角形三條中線的交點(diǎn),叫做三角形的重心.掌握重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.（上右圖）三、垂心 三角形三條高的交點(diǎn),稱為三角形的垂心.（下左圖）四、內(nèi)心 三角形內(nèi)切圓的圓心,簡(jiǎn)稱為內(nèi)心. 是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)

10、.三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.（上右圖）題型一：共線定理應(yīng)用例一：平面向量共線的充要條件是（ ）A.方向相 同 B. 兩向量中至少有一個(gè)為零向量 C.存在 D存在不全為零的實(shí)數(shù)變式一：對(duì)于非零向量，“”是“”的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件變式二：設(shè)是兩個(gè)非零向量（ ）A.若則 B. 若，則 C. 若，則存在實(shí)數(shù)，使得 D若存在實(shí)數(shù)，使得，則例二：設(shè)兩個(gè)非零向量，不共線，（1）如果（2）如果求實(shí)數(shù)k的值。變式一：設(shè)兩個(gè)不共線向量，若三點(diǎn)A,B,D共線，求實(shí)數(shù)k的值。變式二：已知向量，

11、且則一定共線的三點(diǎn)是（ ）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D題型二：線段定比分點(diǎn)的向量形式在向量線性表示中的應(yīng)用例一：設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 變式一：已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且,那么（ ）A. B. C. D. 變式二：在平行四邊形ABCD中，,M為BC的中點(diǎn)，則 ( 用表示)例二：在三角形ABC中，,若點(diǎn)D滿足,則( )A. B. C. D. 變式一：(高考題) 在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分角ACB,，,則( )A. B. C. D. 變式二：設(shè)D,E,F分別是三角形ABC的邊

12、BC,CA,AB上的點(diǎn)，且則與( )A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若,其則=變式四：在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若則( )A. B. C. D. 題型三：三點(diǎn)共線定理及其應(yīng)用例一：點(diǎn)P在AB上，求證：且=1（）變式：在三角形ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M和N,若則m+n=例二：在平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)H,設(shè)則A. B. C. D. 變式：在三角形

13、ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊AC上一點(diǎn)且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,若求的值。題型四： 向量與三角形四心一、 內(nèi)心例一：O是ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 變式一：已知非零向量與滿足，且，則ABC為（ ）A. 等邊三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形變式二：P為ABC的內(nèi)心二、重心例一：O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，則為ABC的（ ）A.外心B.內(nèi)心C.重心 D.垂心 變式一：在ABC中，G為平面上任意一點(diǎn)，證明：O為ABC的重心變式二：在ABC中，G為平面上任意一點(diǎn)，證明：

14、O為ABC的重心三垂心：例一：求證：在ABC中， O為ABC的垂心變式一：O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 四外心例一：若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，則變式一：已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且，則O，N，P依次是ABC的（ ）A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、內(nèi)心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 內(nèi)心題型五：向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且,試求點(diǎn)M,N和的坐標(biāo)。變式一：已知平面向量其中t和k 為不同時(shí)為零

15、的實(shí)數(shù)，（1）若，求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(2)若，求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=g(t).變式二：平面內(nèi)給定3個(gè)向量，回答下列問題。（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)m,n;(3)若，求實(shí)數(shù)k；（4）設(shè)且，求。題型六：向量平行（共線）、垂直充要條件的坐標(biāo)表示例一：已知兩個(gè)向量,當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，向量與平行？變式一：設(shè)向量a,b滿足|a|=，b=（2,1），且a與b反向，則a坐標(biāo)為_例二：已知向量且A,B,C三點(diǎn)共線，則k=（ ）A: B: C: D:變式一：已知且a/b，則銳角為_變式二：ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c 設(shè)向量若，則C的大小為（ ）A: B:

16、 C: D:題型七：平面向量的數(shù)量積例一：（1）在RtABC中，C=90°，AC=4，則（ ）A：-16 B:-8 C:8 D:16（2）(高)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_；的最大值為_（3）在ABC中，M是BC中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上滿足，則等于（ ）A: B: C: D:變式一：(高) 如圖所示，平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3，則=_變式二：在ABC中，AB=1，BC=，AC=，若O為ABC的重心，則的值為_例二：(高)在矩形ABCD中，AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若,則的值是 變式一：(高)在A

17、BC中，,AC=2.設(shè)點(diǎn)P,Q滿足,若,則=（ ）A: B: C: D:2 例三：已知向量滿足則 變式一：在ABC中，若則 變式二：已知向量滿足則 變式三：已知向量滿足則 題型八：平面向量的夾角例一：已知向量則的夾角是例二：已知是非零向量且滿足則的夾角是變式一：已知向量滿足則的夾角是變式二：已知是非零向量且滿足則的夾角是變式三：若向量不共線，則的夾角是變式四：(高) 若向量滿足且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為.，則的夾角的取值范圍是例二：已知，的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍。變式一：設(shè)兩個(gè)向量，滿足，的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍。變式二：已知均為單位向量，其夾

18、角為，有下列4個(gè)命題：其中的真命題是（ ）A. B. C. D. 題型九：平面向量的模長(zhǎng)例一：已知，向量的夾角為，求，。變式一：已知向量滿足，則= 變式二：已知向量滿足的夾角為，則= 變式三：在ABC中，已知求.例二：已知向量的夾角為，則= 變式一：(高) 已知向量的夾角為，且則= 變式二：設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，,=,則 變式三：已知向量，若則 例三：已知向量，滿足，且的取值范圍是 變式一：已知單位向量，且，的最大值為 變式二：(高)已知直角梯形ABCD中，AD/BC, ,AD=2，BC=1，P是腰DC上的 動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 題型十：平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用例一：在ABC中，A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c，已知向量，且滿足（1）求A的大?。?）求的值變式一：已知變量，函數(shù)（1）求f(x)解析式（2）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間（3）如果ABC的三邊a,b,c滿足，且b邊所對(duì)的角為x，試求x的范圍和此時(shí)f(x)的值域變式二：已知向量（1