“等”對(duì)“不等”的啟示_理學(xué)論文

1、“等”對(duì)“不等”的啟示對(duì)于解集非空的一元二次不等式的求解，我們常用“兩根之間”、“兩根之外”這類簡(jiǎn)縮語 來說明其結(jié)杲，同時(shí)也表明了它的解法.這是用“等”來解決“不等”的一個(gè)典型例子.從 表面上看，“等”和“不等”是對(duì)立的，但如果著眼于“等”和“不等”的關(guān)系，會(huì)發(fā)現(xiàn)它 們z間相互聯(lián)系的另一面.設(shè)m、n是代數(shù)式，我們把等式m = n叫做不等式m<n, mw n, m>n、mn相應(yīng)的等式.我們把一個(gè)不等式少其相應(yīng)的等式對(duì)比進(jìn)行，發(fā)現(xiàn)“等” 是“不等”的“界點(diǎn)”、是不等的特例，稍微深入一步,可以從“等”的解決來發(fā)現(xiàn)“不等” 的解決思路、與技巧.本文通過兒個(gè)常見的典型例題揭示“等”對(duì)于“不等

2、”在解決上的啟 示.?1.否定特例，排除錯(cuò)解?解不等式的實(shí)踐告訴我們，不等式的解區(qū)間的端點(diǎn)是它的相應(yīng)等式(方程)的解或者是 它的定義區(qū)間的端點(diǎn)(這里我們把+->、一9也看作端點(diǎn)).因此我們口 j以通過端點(diǎn)的驗(yàn)證, 否定特例，排除錯(cuò)解，獲得解決問題的啟示.?例1滿足s i n ( x n / 4) 21 / 2的x的集合是().?a. x |2kji+5ji/12wxw2k jt +13n / 12, k e z ?b. x | 2 k n - jt / 12 x w2 k ji +7 n / 12, k e z ?c.x|2kji + n/6wxw2k：n+5ji/6, k e z ?d

3、. x | 2k ji<x<2k n + n / 6, kwzu2kji+5ji/6w(2k+l)ir, k e z (1991年三南試題)?：當(dāng) x=n/12、x = n/ 6、x=0 時(shí)，s i n ( x n / 4) <0,因此排除 b、 c、d,故選a.?例2不等式；+ |x|/ x 20的解集是().?a. x | -2wx w2?b. x 丨 一；w x <0 或 0< x w2?c. x | 2wx v0 或 0vx w2?d. x |; w x v 0 或 0 v x w; ?分析：山x=2不是原不等式的解排除a、c,由x=2是原不等式的一個(gè)解排

4、除d, 故選b.?這兩道題若按部就班地解來，例1是易錯(cuò)題，例2有一定的運(yùn)算量.上面的解法省時(shí)省 力,但似有“投機(jī)取巧”之嫌.選擇題給出了三謀一正的答案，這是問題情景的-部分.而 且是重要的一部分.我們利用“等”與“不等” z間的內(nèi)在聯(lián)系，把口光投向解區(qū)間的端點(diǎn), 化繁為簡(jiǎn)，體現(xiàn)了具體問題具體解決的樸素思想，這種“投機(jī)取巧”止是抓住了問題的特征, 休現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的敏捷性和數(shù)學(xué)地解決問題的機(jī)御.在解不等式的解答題屮，我們可以用這 種方法來探索結(jié)果、驗(yàn)證結(jié)果或縮小探索的范圍.?例3解不等式1 o g a (1-1 / x ) >1. (1996年全國(guó)高題)?分析：原不等式相應(yīng)的等式一方程1 o

5、ga (1 1/ x ) =1的解為x =1 / (1 a ) (ah 1是隱含條件).原不等式的定義域?yàn)?1, +°°) u (8, 0).當(dāng)x -> + oo或x 8時(shí)，1 oga (1 1 / x ) 0,故解區(qū)間的端點(diǎn)只可能是0、1或1/ (1 a ).當(dāng)0 <a < 1 時(shí)，1/ (1-a ) >1,可猜測(cè)解區(qū) i'可是(1, 1/ (1- a )；當(dāng) a>l 時(shí)，1/ (1 -a ) <0,可猜測(cè)解區(qū)間是(1/ (1-a ), 0).當(dāng)然，猜測(cè)的時(shí)候要結(jié)合定義域考慮.?上面的分析，可以作為解題的探索，也可以作為解題后的

6、回顧與檢驗(yàn).如果把原題重做 一遍視為檢驗(yàn)，那么一則費(fèi)時(shí)，對(duì)考試來說無實(shí)用價(jià)值，對(duì)解題實(shí)踐來說也失去檢驗(yàn)所特有的意義；二則重做一遍往往可能重蹈錯(cuò)誤思路、錯(cuò)謀運(yùn)算程序的復(fù)轍，費(fèi)時(shí)而于事無補(bǔ).因 此，抓住端點(diǎn)探索或檢驗(yàn)不等式的解，是一條實(shí)用、有效的解決問題的思路.?2,誘導(dǎo)猜想，發(fā)現(xiàn)思路?當(dāng)我們證明不等式m2n (或m>n、mwn、m<n)時(shí)，可以先考察m = n的條件, 基木不等式都有等號(hào)成立的充要條件，而且這些充要條件都是若干個(gè)正變量相等，這就使我 們的思考冇了明確的目標(biāo)，誘導(dǎo)猜想，從而發(fā)現(xiàn)證題思路.這種思想方法對(duì)于一些較難的不 等式證明更能顯示它的作用.?例4設(shè)a、b、c為正數(shù)且滿

7、足a b c =1,試證：l/a3(b + c)+l/b3(c + a ) +1 / c3 ( a + b ) 23/2.(第 36 屆 i mo 笫二題)?分析：容易猜想到a = b = c =1時(shí)，原不等式的等號(hào)成立，這時(shí)1/ a 3 ( b + c )= 1 / b3 ( c + a ) =1 / c3 ( a + b ) =1 /2.考慮到“m”在基本不等式小表現(xiàn)為“和” 向“積”的不等式變換，故想到給原不等式左邊的每一項(xiàng)配上一個(gè)因式，這個(gè)因式的值當(dāng)a = b = c=l時(shí)等于1 / 2, r能通過不等式變換的運(yùn)算使原不等式的表達(dá)式得到簡(jiǎn)化.?l/a3(b + c) + (b + c)

8、 /4bc$;=l/a,?l/b3(a + c) + (a + c) /4ca21/b,?l/c3(a + b) + (a + b) /4 a b 31 / c ,?將這三個(gè)等式相加nj得?l/a3(b + c) +l/b3(c + a) +l/c3(a + b) 21/a+l/b+l/c (l/4)(b + c) / bc+(c + a) / ca+(a + b) / ab = (l/2)(l/a + 1/ b+1/ c ) 2 (3/2) ;=3/2,從而原不等式獲證.?這道題看似不難，當(dāng)年卻使參賽的412名選手中冇300人得0分.上述湊等因了的思路 源于由等號(hào)的成立條件而產(chǎn)生的猜想，使思

9、路變得較為，所用的知識(shí)是一般高屮生所熟知 的.再舉二例以說明這種有較大的適用范圍.?例5設(shè)a , b , c , d是滿足ab + bc + cd + da=l的正實(shí)數(shù)，求證：a 3 / ( b + c+ d) + b3/(a + c + d) + c3/(a + b + d) + d3/(a + b + c)>l/3.(第 31屆i mo備選題)?證明:ai 3/(b + c+d?b3/(a+c+ d )+b?c3/(a+b+ d )+c?d3/(a+b+ c )+d?.*. a3/(b+ c +d)+ a ( b + c + d )(a + c + d) /93(a + b + d)

10、 /9m(a + b + c ) /92/93 (2/3) a 2,(2/3) b2,(2/3) c2,(2/3) d2.+ b 3 / (a + c+ d) + c3/ (a + b + d) + d3/ ( a+ b + c ) 2 (2 / 3) (a2+b2+c2+d2) (2/9) ( a b + b c + c d + d a + a c?= (5/9) ( a2+b2+c2+d2) (2/9) (ab + bc + cd + da) + (1/9) (a 2+ c 2 2 a c + b 2+ d 2 2 b d )(5/9) ( a2+b2+c2+d2) - (2/9) ( a

11、 b + b c + c d + d a ) $ (5/9) (a b + b c + c d + d a ) (2/9) (a b + b c + c d + d a ) = (1 / 3) (a b + b c + c d + d a ) =1/3.?當(dāng)a = b = c = d=l/2時(shí)，原不等式左邊的四個(gè)項(xiàng)都等于1 / 12,由此出發(fā)湊“等因 子”.對(duì)于某些中學(xué)數(shù)學(xué)中的常見也可用這種方法解決，降低問題解決對(duì)知識(shí)的要求.?例6 設(shè) a, b , c , dgr + , a + b + c + d=8,求 m = ; + ; + ; + ;的最大值.?：猜想當(dāng)a = b = c = d=2

12、吋m取得最大值，這吋m中的4個(gè)項(xiàng)都等于3.要求m的 最大值，需將m向“w”的方向進(jìn)行不等變換，由此可得3;w (3+4a +1) /2=2a+2, 3;w2b +2,3;w2c +2,3;w2d +2.于是 3mw2( a + b + c + d )+8 = 24,二 m w8.當(dāng) 且僅當(dāng)a = b = c = d時(shí)等號(hào)成立，所以m的最大值為&?當(dāng)然，例6利用平方平均數(shù)不小于算術(shù)平均數(shù)是易丁求解的，但需要高中數(shù)學(xué)教材外的 知識(shí).利用較少的知識(shí)解決較多的問題，是數(shù)學(xué)自身的追求，而r從教學(xué)上考慮，可以更好 地培養(yǎng)學(xué)牛的數(shù)學(xué)能力.先有猜想，后有設(shè)計(jì)，再有證法，也是數(shù)學(xué)地思考問題的基本特征.?

13、3.引發(fā)矛盾，啟迪探索?在利用某本不等式求最大值或最小值時(shí)，都必須考慮等號(hào)能否取得，這不僅是解題的規(guī) 范要求，而且往往對(duì)問題的解決提供有益的啟示.特別當(dāng)解題的過程似乎順理成章，但等號(hào) 成立的條件卻發(fā)牛才盾或并不一定成立.這一新的問題情景將啟迪我們對(duì)問題的進(jìn)一步探 索.?例7 設(shè) a, b e r + , 2a + b =1,則 2;4a2b2 有（）.?a.最大值1/4? b.最小值1/4?c.最大值（;-l） /2? d.最小值（;-l） /2? 分析：山 4a 2+b 224 a b ,得原式 w2;4a b =-4 （;） 2 + 2; =4 （;一1/4） 2 + 1/4w1/4.若不

14、對(duì)不等變換中等號(hào)成立的條件進(jìn)行，似已完成解題任務(wù)，而j1覺得解題 過程頗為自然，但若研究一下等號(hào)成立的條件，則出現(xiàn)了矛盾：要使4a 2+b 224a b屮 的等號(hào)成立，則應(yīng)有2a = b=l/2,邊|寸；=；/4工1/4,第二個(gè)“w”屮的等號(hào)不能成 立.這一-矛盾便我們感覺到解題過程的錯(cuò)誤，促便我們另辟解題途徑.事實(shí)上，原式=2; -（2a + b ）2+4 a b =4 a b +2;1,而由 l=2a + b $2;得 0 v；w； /4, a b w1 /8, 原式w;/2+1/2u （;-l） /2,故選？c. ?等號(hào)不一定成立而啟迪我們對(duì)進(jìn)一步探 索的典型例了是1997年全國(guó)高考（理科）第22題：?例8甲、乙兩地相距st米（km）,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c 千米/小時(shí)（km/h）.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成木（以元為單位）由可變部分和固定部 分組成：可變部分與速度v （千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為b ,固定部分為a元.?1 .把全程運(yùn)輸成本y （元）表示為速度v （千米/小時(shí)）的兩數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的 定義域；?ii.為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？?： y = asv + bsv, v e （0, c ,