66-淺談學生幾何直觀能力的培養(yǎng)

1、66-淺談學生幾何直觀能力的培養(yǎng)淺談學生幾何直觀能力的培養(yǎng)內容提耍：本文通過對幾何直觀的概念與功能、幾何直觀能力的載體 來探討培養(yǎng)幾何直觀能力的途徑。關鍵詞：幾何直觀能力、空間想像力、直觀洞察能力、用圖形語言來 思考問題能力1. 問題的提出自從新課程標準實施以來，有不少老師認為新教材的立體幾何 初步內容壓縮了，授課時間也只有短短一個月，要較好地培養(yǎng)學生 的空間想像能力難以實現(xiàn)，還是舊教材比較好，必需通過一個學期才 能培養(yǎng)出來。如何才能解決上述問題呢？ 2003年頒布的普通高中數(shù)學課程 標準（實驗）指出：幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小和 位置關系的數(shù)學學科。通常采用直觀感知、操作確認、思

2、辨論證、度 量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質。三維空間是人類生存的 現(xiàn)實空間，認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想像能力、推理論 證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階 段數(shù)學必修系列課程的基本要求。筆者通過學習新課標和親身體驗新教材的教學。認識到只要與圖 形有關的知識都可以作為培養(yǎng)空間想像能力的載體，將教學視野從 立體幾何初步章節(jié)推廣到整個高中數(shù)學，立體幾何還可以培養(yǎng)比空 間想像能力史高一層的幾何直觀能力，而且能力的培養(yǎng)是長期的。以下是筆者對培養(yǎng)學生幾何直觀能力的膚淺見解，拋磚引玉，希 望得到同仁的指點。2. 幾何直觀概念徐利治先生提出，直觀就是借助于經驗、觀察、

3、測試或類比聯(lián)想, 所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的 或想到的幾何圖形的形象關系產生對數(shù)量關系的直接感知。換言之， 通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學問題、探索解決問 題的思路、預測結果。幾何直觀能力主要包括空間想像力、直觀洞察 能力、用圖形語言來思考問題能力。3. 兒何直觀能力的功能。我國著名的數(shù)學家華羅庚說：形缺數(shù)吋難入微，數(shù)缺形吋少點 觀。要更好地研究數(shù)學，離開了圖形時不可想象的。首先直觀是在有背景的條件下進行，想象是沒有背景的。類比的, 兒何直觀是在兒何圖形（或兒何體）為載體進行的；兒何中的推理證 明始

4、終在利用兒何直觀，在想象圖形。因此，兒何直觀可以培養(yǎng)學生 的空間感。其次直觀的對象一定是可視的，直觀與個人的經驗、經歷有關， 直觀有層次性，直觀是從一個層次看到更深刻的層次或本質。因此， 兒何直觀可以培養(yǎng)學生的直觀洞察力。幾何直觀能力的功能主要是較好地理解數(shù)學木質和促進學生 思維的發(fā)展。借助于兒何直觀、兒何解釋，能啟迪思路，可以幫助我 們理解和接受抽象的內容和方法；抽象觀念、形式化語言的直觀背景 和兒何形象，都為學生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機會；揭示經驗的 策略，創(chuàng)設不同的數(shù)學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手， 通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學發(fā) 現(xiàn)的過程，提高

5、學4:的數(shù)學思維能力。直觀常常提供證明的思路和技 巧，有時嚴格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴格化和數(shù)學加工。幾何 直觀是認識的基礎，有助于學生對數(shù)學的理解。借助于幾何宜觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和 接受抽象的內容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和兒何形 象，都為學生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機會，揭示經驗的策略，創(chuàng) 設不同的數(shù)學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過口主 探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程; 使學生從非形式化的、算法的、直覺和互作用與矛盾中形成數(shù)學觀。最后，兒何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學本質的有力工具，有助于形成科 學正確的世界觀和方法

6、論。借助兒何直觀，揭示研究對象的性質和關 系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數(shù)學創(chuàng) 造性工作歷程，能夠開發(fā)學生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質。4. 中學數(shù)學新教材中培養(yǎng)幾何宜觀能力的載體我國新課程已經把幾何直觀看作是貫穿高中數(shù)學課程的線索z -o除立體兒何與平面解析兒何z外，從函數(shù)的圖像教學、三角函數(shù) 的單位圓與圖像、到導數(shù)的圖象判斷；從不等式的直觀解釋到線性規(guī) 劃的區(qū)域刻畫。此外，還有數(shù)系擴充中復數(shù)、概率統(tǒng)計中的直觀圖以 及向量的使用等等都體現(xiàn)兒何直觀的作用。所以培養(yǎng)學生的兒何直觀 能力的載體主要有：立體兒何初步、解析兒何初步及圓錐曲線、 空間向量、函數(shù)（包括三角函數(shù)）等

7、等。立體兒何初步：主要是通過柱體（如三棱柱、長方體與正方體、 圓柱等）、錐體（如止三棱錐，止四面體、四棱錐、止六棱錐、圓錐 等）、球和臺體等幾何體的直觀圖、三視圖，認識空間的基本幾何圖 形，并以長方體為載體，認識點、線、面的基本關系和基本性質。其 重點是定性地理解圖形的性質、位置關系，幫助學生建立起空間想像 能力、兒何直觀能力。解析兒何初步及圓錐曲線利用坐標法研究直線、圓和圓錐曲 線的性質，直線與圓、直線與圓錐曲線及圓錐曲線之間位置關系與性 質以及它們在實際生活中的應用。通過方程與曲線z間的聯(lián)系，除了 用代數(shù)的方法討論兒何的問題，也可以用兒何圖形表示代數(shù)的性質， 這就是訓練學牛用圖形語言來思考

8、問題好載體?；舅枷胧且粩?shù)形結 合的思想。空間向量：空間向量為解決三維空間中圖形的位置關系與度量 問題提供了一個十分有效的工具。學生在運用空間向量解決有關直 線、平面位置關系的問題吋，可以到體會向量方法在研究兒何圖形中 的巨大作用，可以減少繁瑣的推理過程，直接通過公式計算解決問題, 在空間幾何圖形中建立直角坐標系及尋找點的坐標時，可以進一步發(fā) 展空間想象能力與兒何直觀能力。函數(shù)（包括三角函數(shù)）：運用函數(shù)圖形可以比較形象理解函數(shù) 的性質，尤其是單調性與周期性；直觀形象地解決函數(shù)問題，特別是 抽象函數(shù)的問題；在導數(shù)這一章節(jié)知識中可以借助兒何圖形了解函數(shù) 單調性與導數(shù)的關系、體會定積分的基本思想。除

9、此z外，數(shù)列、集合、流程圖、概率統(tǒng)計、不等式、 簡易邏輯等等也是可以培養(yǎng)學生的幾何直觀能力的載體。5. 培養(yǎng)兒何直觀能力的嘗試 5.1學生空間想象能力的培養(yǎng)筆者在以往的教學中在培養(yǎng)學生空間想象能力做了諸多嘗試， 從模型的制作、畫圖的能力、三種語言的互譯等方面來培養(yǎng)取得了較 好的效果。5. 1. 1注重模型的作用，讓學生參與模型制作新課標在兒何數(shù)學中強調兒何學習的直觀性，強調實物、模型 對兒何學習的作用。課外讓學牛親手制作立體兒何模型，動手做一做, 可以更直接的感受空間幾何圖形的特征。如要求學生用紙板或游戲棒或細鐵絲（作骨架）做出正方體、 長方體、三棱錐、四棱錐、三棱臺等等兒何體的模型。學生通過

10、動手 做，親身體驗柱、錐、臺的結構特征，幫助學生逐步形成空間想像能 力。利用自己所做的模型做為今后學習立體兒何的工具。如利用模型 訓練自己從不同的角度觀察點面、線面、線線及面面的位置關系，提 高觀察能力。5.1.2嚴抓學生的畫圖能力首先讓學牛掌握一些基木圖形的畫法，如兒何體的三視圖；平面、 異面直線的位置關系、直線與平面的位置關系（平行與垂直）、空間 四邊形、三棱錐、長方體（或正方體）等直觀圖的畫法，要求每一個 學生都要畫出圖形的空間感。要求學生畫出標準常見函數(shù)圖像：二次 函數(shù)、指數(shù)對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)和圓錐曲線（橢圓、雙曲線 拋物線）。其次是要求學生每學一個立體兒何的定義、定理、公理，

11、 都要求學生不僅要畫出其圖形，而且要有較強的立體感，再次是在練 習中通過審清題意后，先畫圖然后組織解題思路。在立體幾何的課堂 教學中，我曾進行了每天用半節(jié)課時間來訓練學生畫圖的實驗，結果 在立體兒何單元測試中的所教班的平均分高出平行班78分，空間感 明顯比較好。5.1. 3多進行文字語言、符號語言和圖形語言等三種語言的互譯在立體兒何的教學中，訓練學生用三種語言來表示所學的定理、 公理、定義等；如在教學屮，我經常給出如下圖表供學生練習。 定理文字語言符號語言圖形語言線面平行的判定定理線面平行的性質定理學生通過這樣的訓練后，無論是空間想像能力，還是定理的理解 與記憶都得到較大的提高。在解決用文字語

12、言表達的數(shù)學練習題中，首先就必須將文字語言 翻譯成符號語言，有的還得借助于圖形才能正確理解題意。在這種情 境中，有意識地點撥學生，進一步提高學生的空間想像能力。5. 1. 4利用信息技術工具，除了給學生展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界外， 也多了一條解決問題的途徑。同吋，也給學生展示其不易想像的圖形, 擴大其空間視野。在講解圓錐曲線中的橢圓概念吋，通過兒何畫板直觀演示動點p 到兩定點fl, f2的距離的軌跡，學生一看就明白是個橢圓，同時通 過兒何畫板的演示，理解要使點p的軌跡是個橢圓的條件是 |pf1| + |pf2|>|f1f2|；雙曲線亦然。對于某些不常見的函數(shù)或者是抽象函數(shù)，學生比較難以把握

13、其性 質，利用兒何畫板畫出其圖形，就可以非常直觀理解其性質。如求函數(shù)的最值。學生一眼就看出，下意識地用基木不等式公式 可解得最小值為，忽略了利用基本不等式公 式解題三條件之一有相等的可能。由于對這個函數(shù)比較陌生，要學生 弄清為什么這樣做不行，比較難以說清。當利用幾何畫板，應出其圖 形（如上圖），不用解釋，一冃了然，盡在不言中。5. 2學生直觀洞察能力的培養(yǎng)。5. 2. 1打扎實學生的知識基礎尤其是圖形知識這一塊。扎實的基礎是產生直覺的源泉，若沒有深厚的功底，是不會迸發(fā) 出直覺思維的火花，也就提高不了學生的直觀洞察能力。因此，必須嚴格要求學&熟練掌握立體幾何的各種兒何體的性 質；兒種函數(shù)

14、的圖像特征與性質，如次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)對數(shù) 函數(shù)、幕函數(shù)和三角函數(shù)中的正余弦函數(shù)等；直線與圓錐曲線圖形的 性質、向量的性質等。有了扎實的基礎，就可以利用圖形的對稱、平移變換等特性，找 到解決問題的突破口，順利解決問題。5. 2.2創(chuàng)設培養(yǎng)學生直觀洞察力的意境。在立體兒何教學中，可以 讓學生在幾何圖形中，讓學生跟著感覺走，大膽地說出口己的直覺, 在復雜圖形中找到所需的點線、線線、線面的關系，找到做輔助線的 合理位置等；在函數(shù)的學習中，一定要突出函數(shù)圖形的地位，利用圖 形的特征解決有關問題。5. 2.3重視解題教學。教學中選擇適當?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)、考 察學4：的玄觀洞察力。例如選擇題，由

15、于只要求從四個選擇支中挑選 出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直觀思維的發(fā)展，實 施開放性問題教學，也是培養(yǎng)直觀洞察力的有效方法。例（98年全國理）向高為h的水瓶內注水注滿為止，如果注水量v 與水澡h的函數(shù)關系如右圖所示，那么水瓶的形狀是（）從題中所給的函數(shù)圖象可以觀察出水的高度與體積的關系是先是水 的高度增長的慢而體積增長的快，而后相反，因此，可斷定是b中的 瓶子。5. 2. 4提高直觀洞察力的另一條途徑就是要克服粗心大意、走馬觀花, 不求甚解的不良習氣，心要細，要把觀察與思考結合起來。靜心體 察必然有助于洞察力的提高。5. 3學生用圖形語言來思考問題能力的培養(yǎng)。5. 3. 1利用圖

16、形來記憶基礎知識立體幾何的很多定理、公理、定義等學生很難記清楚，通過指導 學牛利用圖形來記憶就比較容易解決問題，同時也培養(yǎng)了學牛用圖形 的意識。函數(shù)中指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質對于學牛來說，也相當難以記 住，而且也相當容易混淆它們z間的關系。利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 的圖象比較形象直觀理解與記憶了它們的性質。5. 3.2利用圖形來加強對概念、定理等的理解。在思考數(shù)學問題的時，能畫圖盡量畫圖，目的是把抽象的東西直 觀的表示出來，把木質的東西顯現(xiàn)出來。在數(shù)學學習吋，應該幫助學 生養(yǎng)成一種用直觀的圖形語言，刻畫、思考問題習慣。利用圖形來加 強對概念、定理等的理解，實際上就是幾何直觀在發(fā)揮優(yōu)勢，也是培 養(yǎng)

17、數(shù)形結合思想。如利用集合的wenn圖，來刻畫充分必要條件加強學生對充分必 要條件的理解（如下圖），并能運用集合的wenn圖解決相關的問題。 特別是學生在做有關不等式的充分必要條件題目時，容易搞混淆充分 條件和必要條件。當利用下圖吋，這個難點就迎刃而解。再如在學習條件概率時，學牛比較難理解事件b|a,常與事件ab 相混淆，同樣利用集合的wenn圖就比較順利解決上述問題。事件b|a學生都能從字面意思上理解是事件a發(fā)生的條件下，事 件b發(fā)生，但真正面對具體問題時，往往束手無策。我們若是利用 wenn圖，從圖2中就可以直觀形象理解事件a是在陰影部分a考 慮事件b （圖3）的發(fā)生，而事件ab則是在圖1中

18、陰影部分ab,從 而使難點得以突破。乂如一元二次不等式的解法對大部分學生來說是一個難點，常見 錯誤是搞錯符號方向，如利用數(shù)軸（即穿針引線法）來解決就可以大 大提高學牛的解題正確率。例，求函數(shù)的定義域。解:令解得xl=-l, x2二3畫圖：從圖中可以得到- 1wxw3所以原函數(shù)的定義域為x|-lwxw3 在教學中，利用穿針引線法解不等式，大大減小了失誤率。在教學中，多用圖形來輔助教學，既能加深學生對知識的理解， 也可以培養(yǎng)學生的用圖形語言思考問題的能力，還可以讓學生較好掌 握數(shù)形結合思想?？傊瑢W生空間想像能力、把握圖形能力和用圖形語言思 考問題能力的培養(yǎng)是一個有機的統(tǒng)一體，其中一個能力得到提高， 必定會帶動另兩個能力