彈性力學(xué)與有限單元法3

1、F222244422224224()()020.(225)xyxyxxyy抖禙禙禙禙禙+=+=-抖抖抖抖或22222.(224)xxyyxyf xyf yxx yfsfsft=-=-= -抖 ()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=常體力條件下按應(yīng)力求解平面問題知識(shí)：常體力條件下按應(yīng)力求解平面問題知識(shí)：(1)由相容方程求解由相容方程求解(2)應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件按下式求出應(yīng)力分量：按下式求出應(yīng)力分量： 應(yīng)力分量滿足應(yīng)力分量滿足（3）若為多連體，還必須滿足位移單值條件。）若為多連體，還必須滿足位移單值條件。 222244422224224()()020.(2

2、25)xyxyxx yy或抖禙禙禙禙禙+=+=-抖抖抖抖一、逆解法：一、逆解法：先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù) ，用公式（2-24）求出應(yīng)力分量，然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件來考察，在各種形狀的彈性體上，這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問題。逆解法基本步驟： 3-1 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法22222(224)xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 設(shè)定求出應(yīng)力分量求出面力（合力）解決什么問題代入代入式（2-24）應(yīng)力邊界條件確定()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=注意：逆解法沒有針

3、對(duì)性但可以積累基本解答半逆解法：半逆解法：針對(duì)所要求解的問題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分和全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，從而推出應(yīng)力函數(shù) ，然后考察，這個(gè)應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程，以及由這個(gè)應(yīng)力函數(shù)求出的應(yīng)力分量，是否滿足應(yīng)力邊界條件。如果相容方程和應(yīng)力邊界條件都能滿足，自然就得出正確的解答；如果某一方面不能滿足，就要另作假設(shè)，重新考察。注意：半逆解法是針對(duì)實(shí)際問題求解的, 求解過程帶有“試算”的性質(zhì)設(shè)定導(dǎo)出應(yīng)力分量表達(dá)式得到正確解答滿足邊界條件滿足04是是否否應(yīng)力邊界條件假設(shè)應(yīng)力分量可能形式222244422224224()()020.(2 25)xyxyxx yy或抖禙禙禙禙

4、禙+=+=-抖抖抖抖22222(224)xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 ()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=4axbycF =+444422420.(225)xxyy F F F+=-抖抖22222xxyyx yfxyfyxxysstF=-F =-F=-抖 0,0,0 xyxysst=00 xyff=二、幾個(gè)平面問題的多項(xiàng)式解答（不計(jì)體力）二、幾個(gè)平面問題的多項(xiàng)式解答（不計(jì)體力） 顯然滿足相容方程（顯然滿足相容方程（2-25） 由由由應(yīng)力邊界條件由應(yīng)力邊界條件 結(jié)論：結(jié)論：1.線形應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)線形應(yīng)

5、力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng) 力的狀態(tài)；力的狀態(tài)；2在任何平面問題的應(yīng)力函數(shù)中加上一個(gè)線形在任何平面問題的應(yīng)力函數(shù)中加上一個(gè)線形 函數(shù)，并不影響應(yīng)力函數(shù)，并不影響應(yīng)力 1、應(yīng)力函數(shù)取應(yīng)力函數(shù)取一次一次多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=22axbxycyF =+444422420.(225)xxyy F F F+=-抖抖2axF =22222.(224)xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 0,2 ,0 xyxyasst=2、應(yīng)力函數(shù)取應(yīng)力函數(shù)取二次二次多項(xiàng)多項(xiàng)式式 顯然滿足相容方程（顯然滿足相容方程（2-2

6、5） 分別考察每一項(xiàng)所能解決的問題分別考察每一項(xiàng)所能解決的問題（1） 由由0,2 ,0 xyxyasst=0,2xyffa= -0,2xyffa=上面上面 l =0,m= -1下面下面l =0,m=10,0 xyff=0,0 xyff=左面左面l = -1， m=0右面右面l =1， m=0結(jié)論：結(jié)論：2axF =能解決矩形板在能解決矩形板在y方向受均布拉方向受均布拉力（力（a0）或均布?jí)毫Γǎ┗蚓級(jí)毫Γ╝0）70,0,xyxybsst= -,0 xyfb f=,0 xyfb f= -=上面上面m= -1, l=0 下面下面m=1, l=00,xyffb=0,xyffb= -bxyF =左面

7、左面l= -1， m=0右面右面l=1， m=0結(jié)論：結(jié)論：能解決矩形板受均布剪力問題能解決矩形板受均布剪力問題xyobbbbbxyF =（2）22222xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 對(duì)于矩形薄板對(duì)于矩形薄板:()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=444422420.(225)xxyy F F F+=-抖抖滿足相容方程滿足相容方程由由（b0）8結(jié)論：結(jié)論：能解決矩形板在能解決矩形板在x方向受均布拉力方向受均布拉力（c0）或均布?jí)毫Γǎ┗蚓級(jí)毫Γ╟0） 應(yīng)力分量應(yīng)力分量3ayF =6,0,0 xyxyaysst=3 三次

8、式三次式滿足相容方程滿足相容方程 444422420.(225)xxyy F F F+=-抖抖22222xxyyxyf xyf yxxysst F=- F=- F= -抖 6,0,0 xyxyaysst=0,0,xyff=0,0,xyff=上面上面l=0，m= -1 下面下面l=0，m=1 6 ,0,xyfay f= -=6,0,xyfay f=左面左面l= -1，m=0右面右面l=1，m=0 矩形板對(duì)應(yīng)左右邊上的水平面力矩形板對(duì)應(yīng)左右邊上的水平面力合成為一個(gè)力偶，故合成為一個(gè)力偶，故3ayF =能解決矩形梁純彎曲的問題。能解決矩形梁純彎曲的問題。 結(jié)論：結(jié)論： ()( )()( )xyxsx

9、xyysylmfslmfsstts+=+=（a0）11例：矩形薄長(zhǎng)梁，考查應(yīng)力函數(shù)例：矩形薄長(zhǎng)梁，考查應(yīng)力函數(shù) 能解決什么樣的受力問題能解決什么樣的受力問題 223(34)2Fxyhyh 解：將解：將 代入相容方程代入相容方程 444422420.(225)xxyy F F F+=-抖抖滿足相容方程滿足相容方程 求應(yīng)力分量求應(yīng)力分量 223222221203(14)2xxyyxyFxyf xyhf yxFyx yhhsst F=-= - F=-= F= -= -抖 12在主要邊界在主要邊界 上邊界上邊界 由邊界條件和應(yīng)力分量反推薄梁邊界上的面力由邊界條件和應(yīng)力分量反推薄梁邊界上的面力 ,0,1

10、2hylm 26,0,0 xyxyFxhsst=00 xyff=下邊界下邊界 ,0,12hylm26,0,0 xyxyFxhsst= -=00 xyff=()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=3221203(14)2xyxyFxyhFyhhsst= - = - 13在次要邊界在次要邊界 2230,0,(14)2xyxyFyhhsst= -0,1,0 xlm 202202202()10()10()1hNxxhhxxhhsxyxhFdyMdyyFdyFsst=-=-=-=鬃=-= -()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=32212

11、03(14)2xyxyFxyhFyhhsst= - = - 2203(14)2xyfFyfhh=-14在次要邊界在次要邊界 ,1,0 xl lm232123,0,(14)2xyxyFlyFyhhhsst= -= -322123(14)2xyFlfyhFyfhh= -= -222222()10()1()1hNxxlhhxxlhhsxyxlhFdyMdyyFlFdyFsst=-=-=-=鬃= -= -()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=3221203(14)2xyxyFxyhFyhhsst= - = - 15結(jié)論：結(jié)論： 可以解決懸臂梁在可以解決懸臂梁在x=0處

12、受集中力處受集中力F作用的問題。作用的問題。 223(34)2Fxyhyh 163-2 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲3ayF =6,0,0 xyxyaysst=取取（不計(jì)體力）（不計(jì)體力）22222.(224)xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 MMl2h2hxy1應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為444422420.(225)xxyy F F F+=-抖抖滿足滿足（由上一節(jié)知（由上一節(jié)知,可解決純彎曲問題）可解決純彎曲問題）6,0,0 xyxyaysst=考察其是否滿足邊界條件，a為何值？(1)上面，上面，y= -h/2, l=0,m=-1, 邊界條件滿足邊界條件滿足()

13、( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=(2)下面下面 ,y=h/2, l=0,m=1,邊界條件滿足邊界條件滿足MMl2h2hxy100,xyff=00,xyff=0000000018左右端不滿足精確邊界條件，于是放寬要求來考慮合力，應(yīng)用圣維南原理對(duì)于右端：( )220hhxxldys=-=( )220hhxyxldyt=-=( )22hhxxlydyMs=-=32Mah= ， 由主矩為由主矩為M,有有 得得由主矢為由主矢為0得：得：6,0,0 xyxyaysst=MMl2h2hxy1 ，31200 xyxyMyhsst=3112hI=00 xyxyMyIsst=（

14、矩形截面慣性矩（矩形截面慣性矩 ）矩形梁受純彎曲時(shí)的應(yīng)力分量，與材力結(jié)果相同。矩形梁受純彎曲時(shí)的應(yīng)力分量，與材力結(jié)果相同。600 xyxyaysst=MMl2h2hx圖xy32Mah=3-3 位移分量的求出位移分量的求出我們以梁的純彎曲為例，若已經(jīng)求得應(yīng)力分量如何求解位移分量？我們以梁的純彎曲為例，若已經(jīng)求得應(yīng)力分量如何求解位移分量？ 1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE0 xyxyMyEIMyEI 1，將應(yīng)力分量代入物理方程式，求出應(yīng)變分量，將應(yīng)力分量代入物理方程式，求出應(yīng)變分量純彎曲應(yīng)力分量純彎曲應(yīng)力分量 ：求出形變分量求出形變分量00 xyxyMyIsst=122( )( )(

15、 )2Muxyf yEIcMvyfxEI xyxyuxvyvuxy0uMyxEIvMyyEIvuxy 2，將形變分量表達(dá)式代入幾何方程，再通過積分求出位移分量，將形變分量表達(dá)式代入幾何方程，再通過積分求出位移分量前兩式積分，前兩式積分，代入第三式代入第三式0 xyxyMyEIMyEI 0vuxy21( )( )0dfxdf yMxdxEIdy12( )( )df ydfxMxdydxEI12( )( ),df ydfxMxdydxEI 21020( ),( )2MfyyufxxxvEI 0220( )22MuxyyuEIdMMvyxxvEIEI 代入第三式代入第三式代入代入c式式 得位移分量得

16、位移分量00,u v00000( )0,( )0,( )0 xxx lyyyuvv3，從幾何方程求出，從幾何方程求出u,v后，里面包含后，里面包含3個(gè)個(gè) 剛體位移量剛體位移量來來確定。確定。有約束條件：有約束條件：，需要相應(yīng)的位移約束需要相應(yīng)的位移約束000,0,uv2MlEI將將(d)代入約束條件代入約束條件解出各個(gè)常數(shù)代入解出各個(gè)常數(shù)代入(d)式得到式得到 簡(jiǎn)支梁的位移分量簡(jiǎn)支梁的位移分量2,()()222MlMMuxyvlx xyEIEIEI0220( )22MuxyyuEIdMMvyxxvEIEI （1）如果梁是簡(jiǎn)支梁如果梁是簡(jiǎn)支梁（2）如果梁是如果梁是懸臂梁懸臂梁約束條件為：約束條件

17、為：000( )0,( )0,()0 x lx lx lyyyvuvx2000,2MlMluvEIEI 將將(d)代入約束條件代入約束條件0220( )22MuxyyuEIdMMvyxxvEIEI 22()()22MMMulx yvlxyEIEIEI 懸臂梁的位移分量：懸臂梁的位移分量：二、平面應(yīng)變的情況二、平面應(yīng)變的情況只要將平面應(yīng)力情況下的形變只要將平面應(yīng)力情況下的形變解答和位移解答中的解答和位移解答中的E換為換為 換為換為 即可。即可。21E125求解思路：求解思路：半逆解法：半逆解法： 假定應(yīng)力分量函數(shù)形式設(shè) （滿足相容方程）求應(yīng)力分量由邊界條件確定常數(shù)3-4 簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受

18、均布荷載 矩形截面簡(jiǎn)支梁，深度h,長(zhǎng)度2l,不計(jì)體力，受均布荷載q，研究單位寬度,可視為平面問題。26xxy梁截面,st 由材料力學(xué)ys由最上面單元體的平衡：推斷q擠壓應(yīng)力22221231()()()( )( )( )22xxqMql lxq lxlxx fyxfyfy可假設(shè)12()( )( )xyxyQqlq lxqxxfyfy 可假設(shè)( )yf ys=，q為常量， 與x無關(guān)，可假設(shè) yqF 一一、 推測(cè)應(yīng)力分量形式，定推測(cè)應(yīng)力分量形式，定( )yf ys=1( )( ).( )xf yfyaxF=+212( )( )( ).( )2xfyxfyfybF =+22( )f yx F=2222

19、2.(224)xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 4442222444241244440( )22( )( )( )2xd f yxydyd f yd fyx d f yxydydydy F= F=抖 F=+44242124442( )( )( )( )202d f yd fyx d f yd f yxdydydydy+=二二 考慮相容方程考慮相容方程帶入相容方程得帶入相容方程得4441442242( )0( )0( )( )20d f ydyd f ydyd fyd f ydydy=+= 444422420 xxyy F F F+=抖抖212( )( )(

20、).( )2xfyxfyfybF =+由第由第1，2個(gè)方程得個(gè)方程得32321( ).( )( ).( )f yAyByCyDcf yEyFyGyd=+=+42242( )( )2124d fyd f yAyBdydy= -= -由第由第3個(gè)方程得個(gè)方程得54322( ).( )106ABfyyyHyKye= -+將（將（c）（d）（e）帶入（）帶入（b）得）得32325432()().( )2106xABAyByCyDx EyFyGyyyHyKyfF =+-+212( )( )( ).( )2xf yxf yfybF =+4441442242( )0( )0( )( )20d f ydyd

21、f ydyd fyd f ydydy=+= 注：此式中的常數(shù)項(xiàng)在應(yīng)力函數(shù)中為一次項(xiàng)，故略去。232(62 )(62 )2262 .( )2xxAyBx EyFAyByHyKgs=+-+32.( )yAyByCyDhs=+22(32)(32).( )xyx AyByCEyFyGit= -+-+三、求應(yīng)力分量三、求應(yīng)力分量 由（由（2-24）求得應(yīng)力分量為）求得應(yīng)力分量為 以上表達(dá)式中，含以上表達(dá)式中，含A.B.C.D.E.F.G.H.K共計(jì)九個(gè)待定常數(shù)。共計(jì)九個(gè)待定常數(shù)。22222.(224)xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 32325432()().( )2

22、106xABAyByCyDx EyFyGyyyHyKyfF =+-+xsysxyt考慮考慮對(duì)稱性對(duì)稱性 YOZ面為梁和荷載的對(duì)稱面，應(yīng)力分布應(yīng)對(duì)稱于面為梁和荷載的對(duì)稱面，應(yīng)力分布應(yīng)對(duì)稱于YOZ面面應(yīng)為應(yīng)為x的偶函數(shù)的偶函數(shù). 應(yīng)為應(yīng)為x的奇函數(shù)的奇函數(shù).32.( )yAyByCyDhs=+232(62 )(62 )2262 .( )2xxAyBx EyFAyByHyKgs=+-+E = F = 022(32) (32).( )xyx AyByCEyFyGit= -+-+E = F = G = 0232(62)2262.( )2xxAyBAyByHyKgs=+-+32.( )yAyByCyDhs

23、=+2(32).( )xyxA yB yCit= -+1 上下面上下面,0,1,0,2xyhylmffq= -= -=22()( )()0()( )()xyxsxxyhyxyysyyhylmfslmfsqstttss= -= -+=+= -=（1）上面）上面 ,0,1,0,02xyhylmff=22()( )()0()( )()0 xyxsxxyhyxyysyyhylmfslmfsstttss=+=+=（2）下面）下面 232(62)2262.( )2xxAyBAyByHyKgs=+-+32.( )yAyByCyDhs=+2(32).( )xyxA yB yCit=-+()( )()( )xy

24、xsxxyysylmfslmfsstts+=+=四、考慮邊界條件四、考慮邊界條件將將(g)（h）（）（i）帶入）帶入 32842hhhABCDq-+-+= -2233()0044xh AhBCh AhBC即-+=-+=22()0()xyhyyhyqts= -= -=-=22()0()0 xyhyyhyts=320842hhhABCD+=2233()0044xh AhBCh AhBC即-+=+=解得解得233333236462 .( )23.( )2263.( )2xyxyqqx yyHyKjhhqqqyykhhqqxyxlhhsst= -+= -+-=-323,0,22qqqABCDhh= -

25、= -3 左，右面左，右面 由對(duì)稱性，只考慮一邊即可，考慮右面由對(duì)稱性，只考慮一邊即可，考慮右面，使用圣維南原理，使用圣維南原理222222()10.()()10.( )()1.( )hxxlhhxxlhhxyxlhdymdyyndyqlosst=-=-=-=鬃= -K=0 2310qlqHhh=-22232222363()(4)52(1)(1)26()4xyxyqqyylxyhhhqyyhhqx hyhsst=-+-= -+-= -各應(yīng)力分量沿鉛直方向變化如下：各應(yīng)力分量沿鉛直方向變化如下：32222,1282()2bhhyIsqMlxQqx=-=-= -0 xyxyMyIQsbIsst=又

26、知材料力學(xué)中簡(jiǎn)支梁應(yīng)力分量又知材料力學(xué)中簡(jiǎn)支梁應(yīng)力分量材力中應(yīng)力分量又可以表示為材力中應(yīng)力分量又可以表示為2232236()06()4xyxyqlxyhqx hyhsst=-= -37應(yīng)力的量級(jí)應(yīng)力的量級(jí): 當(dāng)當(dāng)l h時(shí)，時(shí)，x l 同階，同階，y h 同階。同階。 第一項(xiàng)第一項(xiàng)與與 同階（與材力解同）；同階（與材力解同）； 第二項(xiàng)第二項(xiàng)與與 q同階（彈力的修正項(xiàng)）。同階（彈力的修正項(xiàng)）。 與與 同階（與材力解同）。同階（與材力解同）。 與與 q同階同階（材力中不計(jì)）。材力中不計(jì)）。 應(yīng)力解答與材力解答的比較應(yīng)力解答與材力解答的比較:最主要量級(jí)最主要量級(jí) ，和次要量級(jí)，和次要量級(jí) ，在材力中均

27、已反映，在材力中均已反映,且與彈力相同。且與彈力相同。最小量級(jí)最小量級(jí) q, 在材力中沒有在材力中沒有， 當(dāng)當(dāng)l h時(shí)時(shí), q 量級(jí)的值很小量級(jí)的值很小,可以不計(jì)。可以不計(jì)。x2( )lqh( )lqhyxy2( )lqh( )lqh結(jié)論分析結(jié)論分析：2232236()6()4xyxyqlx yhqx hyhsst=-= -2232236()06()4xyxyqlxyhqx hyhsst=-= -2223(4)52(1)(1)2qyyhhqyyhh+-+-2223(4)52(1)(1)2qyyhhqyyhh+-+-383-5 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力rg 楔形體如圖，下端無

28、限長(zhǎng)，受重力及液體壓力，楔形體密度楔形體如圖，下端無限長(zhǎng)，受重力及液體壓力，楔形體密度，液體密度為，液體密度為求應(yīng)力分量。求應(yīng)力分量。 求解思路：求解思路：半逆解法：半逆解法： ，由量綱分析法假設(shè)應(yīng)力分量的形式由量綱分析法假設(shè)應(yīng)力分量的形式gg重力引起，與成正比應(yīng)力分量液體壓力引起，與成正比rg禳镲镲睚镲镲鉿假定應(yīng)力分量函數(shù)形式設(shè) （滿足相容方程）求應(yīng)力分量由邊界條件確定常數(shù)391222,L MTggL MTA gx B gy C gx D gyL應(yīng)力量綱量綱多項(xiàng)式解答應(yīng)力分量為組合無量綱x,y量綱rgrrgga- 3223axbx ycxydyF =+二二 確定應(yīng)力函數(shù)確定應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)

29、為應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為x,y的純?nèi)问?。的純?nèi)问健?滿足相容方程滿足相容方程444422420.(225)xxyy F F F+=-抖抖22222.(224)xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 40三，求出應(yīng)力分量表達(dá)式三，求出應(yīng)力分量表達(dá)式222222662.( )22xxyyxyf xcxdyyf yaxbygyaxbxcyx yssrt F=-=+ F=-=+- F= -= -抖 未知常數(shù)a,b,c,d 體力分量體力分量0,xyffgr=3223axbx ycxydyF =+410,1,0,0 xyxlmfgy fg= -=00()( )()6()020()(

30、 )xyxsxxxyxxxyysylmfsgydygycylmfsstsggtts=+=-= -镲揶眄镲-=+= 镲 ,06gdcg= -=四、考慮應(yīng)力邊界條件四、考慮應(yīng)力邊界條件 通過應(yīng)力邊界條件確定未知常數(shù)通過應(yīng)力邊界條件確定未知常數(shù)a,b,c,d1,左面左面62.( )2xyxygyaxbygybbxsgsrt= - =+-= - 尚有待定常數(shù)a,b解得解得266222xyxycxdyaxbygybxcyssrt=+ =+-= - 420,0 xyff=tantantantan()()0()()0 xxyxyxyyxxyyxylmlmaaaastts=+=+=cos ()sin( 2ta

31、n)0cos ( 2tan)sin(6tan2)0gybybyaybygyagaaaaaar-=-+-= cos(, )cos ,cos(, )lN xmN ysinaa= -23cot2cotcot63gbggagargaa=-2 右面右面 即即 tanxya=x622xyxygyaxbygybxsgsrt= - =+-= - 43322(cot2cot)(cot) .(37)cotxyxygyggxgg ygxsgsragagartga= -=-+-= - 當(dāng)當(dāng)y取定時(shí)，各分量沿水平方向變化如圖取定時(shí)，各分量沿水平方向變化如圖。44注：此解為三角形重力壩中應(yīng)力的基本解答，但嚴(yán)格來說：1、沿

32、著壩軸，壩身往往截面不同，壩身常常不是無限長(zhǎng)，因此 嚴(yán) 格講，這不是一個(gè)平面問題。但是，如果可將壩身分為若干段 ，每段范圍內(nèi)壩身截面可當(dāng)作不變化，軸向切應(yīng)力也可當(dāng)作0， 則可作為平面問題來求解。 2、假定了下端是無限長(zhǎng)，可以自由變形。實(shí)際上壩身是有限高的 ，底部與地基相連，即受約束，因此對(duì)于底部，以上解答是不 精確的。3、壩頂不會(huì)是尖頂，而且還會(huì)受其它的荷載，因此，在壩頂處， 以上解答也不適用。4、關(guān)于重力壩的較精確的應(yīng)力分析，目前大多采用有限元方法來 進(jìn)行。45335333Ax yBxyCx yDxyExFxyF =+例：圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為：例：圖示矩形截

33、面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為：，求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分布（體力不計(jì)），求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分布（體力不計(jì)）F444422420 xxyy F F F+=抖抖53AB= -解：解：1考慮相容方程考慮相容方程 將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù)帶入相容方程帶入相容方程得得 72Axy+120Bxy=0得得333224226206666(9533)xyxyAx yBxyDxyAxyCxyExAx yBycxDyFsst=+=+= -+2 求應(yīng)力分量求應(yīng)力分量 460,0,1,0,2yxhxylmffql= -= -=,0,1,0,02xyhylmff=3 由邊界條件確定待定常數(shù)由邊界條件確定待定常數(shù) 上面：上

34、面：下面下面：000033,35412qqqqABCElhlhlhl= -= -= -尚有兩個(gè)常數(shù)未定 22422232()09( )5 ( )33 ( )0222()06( )6( )6022xyhyyhyhhhAxBCxDFhhAxCxEx即即ts=+=+=2242223002()09()5 ()33 ()0222()6()6()622xyhyyhyhhhAxBCxDFq xq xhhAxCxExll即即ts= -= -=-+-+-+= -+-+= -()( )()( )xyxsxxyysylmfslmfsstts+=+=472002()6hxyxhq ldyt=-=202()0hxxhy

35、 dys-=鬃=22()0hxxlhydys=-=22202()0()3hxxlhhxyxlhdyq ldyst-=-= = = -00003,103480qq lq lq lDFlhhhl= -+= -+ 由左面合力情況有由左面合力情況有 由右面合力情況有由右面合力情況有 由此解得由此解得 考慮合力邊界條件：考慮合力邊界條件：202()0hxxhdys-= =484 應(yīng)力分量應(yīng)力分量 將求得的將求得的6個(gè)常數(shù)帶入得個(gè)常數(shù)帶入得222303233032222220323(2)10(34)21(4)(3)420 xyxyqxyyxlhlhqxh yyhlhqyhxylhlhsst=-+-=-=-

36、+49FF 第三章第三章 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1 按應(yīng)力函數(shù)按應(yīng)力函數(shù) 求解問題時(shí)，求解問題時(shí)， 應(yīng)滿足：應(yīng)滿足： （1）相容方程）相容方程 （2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件） （3）若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。）若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。2 逆解法與半逆解法的步驟：逆解法與半逆解法的步驟：設(shè)定求出應(yīng)力分量求出面力（合力）解決什么問題代入代入式（2-24）應(yīng)力邊界條件確定設(shè)定得到正確解答滿足邊界條件滿足04是是否否應(yīng)力邊界條件假設(shè)應(yīng)力分量可能形式導(dǎo)出應(yīng)力分量表達(dá)式50 3 注意本章所研究的注意本章所研究的矩形梁受純彎曲，簡(jiǎn)支梁受均布荷載

37、，矩形梁受純彎曲，簡(jiǎn)支梁受均布荷載， 其結(jié)論與材料力學(xué)結(jié)論的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)其結(jié)論與材料力學(xué)結(jié)論的相同點(diǎn)和不同點(diǎn) 注：注：在半逆解法中分析應(yīng)力函數(shù)在半逆解法中分析應(yīng)力函數(shù) 時(shí)，通常采用下列方法假設(shè)應(yīng)力分量函數(shù)形式：時(shí)，通常采用下列方法假設(shè)應(yīng)力分量函數(shù)形式： （1）由材料力學(xué)解答提出假設(shè)）由材料力學(xué)解答提出假設(shè) （2）由邊界受力情況提出假設(shè)）由邊界受力情況提出假設(shè) （3）用量綱分析方法提出假設(shè)）用量綱分析方法提出假設(shè)F51grg例例 圖示水壩寬度為圖示水壩寬度為h,自重為自重為，水的容重為，水的容重為，試求應(yīng)力分量。，試求應(yīng)力分量。( )yxf ys=22yyf yxs F=-yf22( )yxf yxs F=312( )( )( ).(1)6xf yxf yfyF =+444422420 xxyy F F F+=抖抖解：采用半逆解法，設(shè)解：采用半逆解法，設(shè) 注意注意=0，有，有 故故式（式（1）帶入相容方程）帶入相容方程 44342124424( )( )( )( )206d f yd fyx d f yd f yxdydydydy輊犏+=犏臌22222.(224)xxyyxyf xyf yxx ysst F=- F=- F= -抖 524442442142( )0