理論力學(xué)第2版11質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

1、1動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué)已知運(yùn)動(dòng)求力已知運(yùn)動(dòng)求力動(dòng)力學(xué)：動(dòng)力學(xué)： 研究力與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系研究力與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系 動(dòng)力學(xué)第動(dòng)力學(xué)第類問(wèn)題：類問(wèn)題： 已知力求運(yùn)動(dòng)已知力求運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)第動(dòng)力學(xué)第類問(wèn)題：類問(wèn)題： 第十一章第十一章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程 amF FiFF為作用于質(zhì)點(diǎn)上的合力，即為作用于質(zhì)點(diǎn)上的合力，即a其中，其中，m 為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量、為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量、為質(zhì)點(diǎn)加速度、為質(zhì)點(diǎn)加速度、2amF 3）僅適用于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)。）僅適用于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)。說(shuō)明：說(shuō)明： 1）在國(guó)際單位制中，）在國(guó)際單位制中，m 的單位為的單位為 kg 、a 的單位為的單位為 m / s2

2、、F 的單位為的單位為N ；2）成立于慣性參考系（即相對(duì)于地球靜止或作勻速直線）成立于慣性參考系（即相對(duì)于地球靜止或作勻速直線平移的參考系）；平移的參考系）；3二、直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程二、直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 2222ddddddddxixxyi yyvxFmammttvyFmammtt4三、自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程三、自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 2tt22nnddddiivsFmammttvFmam5四、求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般步驟四、求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般步驟 1）選取研究對(duì)象；）選取研究對(duì)象；2）受力分析；）受力分析；3）運(yùn)動(dòng)分析；）運(yùn)動(dòng)分析；4）建立動(dòng)力學(xué)方程；

3、）建立動(dòng)力學(xué)方程；5）解方程，求出未知量。）解方程，求出未知量。60am例例1 圖示小車(chē)以等加速度圖示小車(chē)以等加速度 a0 沿平直路面行駛，車(chē)廂內(nèi)用一細(xì)繩懸沿平直路面行駛，車(chē)廂內(nèi)用一細(xì)繩懸掛一質(zhì)量為掛一質(zhì)量為 m 的小球。試求繩的傾角的小球。試求繩的傾角 以及繩中的張力以及繩中的張力。 7例例2 如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在 Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng), 已知其運(yùn)動(dòng)軌已知其運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓，直角坐標(biāo)系形式的運(yùn)動(dòng)方程為跡為一橢圓，直角坐標(biāo)系形式的運(yùn)動(dòng)方程為cossinxatybt其中其中 a、b 和和 均為常數(shù)。試求小球在均為常數(shù)。試求小球在 Oxy 平面內(nèi)所受的力。平面內(nèi)所

4、受的力。 解：本題為動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)解：本題為動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題，即已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求題，即已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。8取小球?yàn)檠芯繉?duì)象。對(duì)其運(yùn)動(dòng)方取小球?yàn)檠芯繉?duì)象。對(duì)其運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)兩次，可得小球的加速度程求導(dǎo)兩次，可得小球的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影在直角坐標(biāo)軸上的投影 22cossinxyaxataybt 根據(jù)直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即有根據(jù)直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即有2sinyFmbt 2cosxFmat ixxFma:iyyFma:cossinxatybt92sinyFmbt 2cosxFmat 故得小球在故得小球在 Oxy 平面內(nèi)所受的平面內(nèi)所

5、受的力的矢量表達(dá)式為力的矢量表達(dá)式為2cossinxyFFmatbt Fijij2mxy ij2m r可見(jiàn)，力可見(jiàn)，力 F 的方向與矢徑的方向與矢徑 r 相反，即力的方向恒指向橢圓中心相反，即力的方向恒指向橢圓中心rF這種力稱為有心力。這種力稱為有心力。O ，10例例3 如圖，從某處拋射一質(zhì)量為如圖，從某處拋射一質(zhì)量為 m 的物體，已知初速度為的物體，已知初速度為 v0 ；拋射角，即初速度拋射角，即初速度 v0 對(duì)水平線的仰角為對(duì)水平線的仰角為 。若不計(jì)空氣阻力，試。若不計(jì)空氣阻力，試求物體的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程。求物體的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程。Oxy解：本題屬于動(dòng)力學(xué)解：本題屬于動(dòng)力學(xué)第二類問(wèn)題，

6、即已知第二類問(wèn)題，即已知力求運(yùn)動(dòng)。力求運(yùn)動(dòng)。建立圖示直角坐標(biāo)系，建立圖示直角坐標(biāo)系，受力分析受力分析0mx ixmxF:iymyF:mymg 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，有根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，有運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析mgv0v11Oxy0mxmymg 積分兩次，得到積分兩次，得到 1322412xC tCygtC tC 根據(jù)運(yùn)動(dòng)初始條件，求出積分常數(shù)，得物體的運(yùn)動(dòng)方程為根據(jù)運(yùn)動(dòng)初始條件，求出積分常數(shù)，得物體的運(yùn)動(dòng)方程為 020cos1sin2xvtyvtgt從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間參數(shù)從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間參數(shù) t ，即得物體的軌跡方程為，即得物體的軌跡方程為2220tan2cosgyxxv可見(jiàn)，其軌跡為拋物

7、線可見(jiàn)，其軌跡為拋物線 12例例4 擺動(dòng)輸送機(jī)由曲柄帶動(dòng)貨架擺動(dòng)輸送機(jī)由曲柄帶動(dòng)貨架 AB 輸送質(zhì)量為輸送質(zhì)量為 m 的木箱。已知的木箱。已知兩曲柄的長(zhǎng)度兩曲柄的長(zhǎng)度 O1A = O2B = 1.5 m、O1O2 = AB ；在；在 = 45處，輸處，輸送機(jī)由靜止開(kāi)始啟動(dòng)，曲柄送機(jī)由靜止開(kāi)始啟動(dòng)，曲柄 O1A 的初角加速度的初角加速度 0 = 5 rad/s。若啟。若啟動(dòng)時(shí)木箱與貨架間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，試確定木箱與貨架間靜摩擦因動(dòng)時(shí)木箱與貨架間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，試確定木箱與貨架間靜摩擦因數(shù)的最小值。數(shù)的最小值。 mBA1O2O0解：解： 研究木箱。木箱與貨架研究木箱。木箱與貨架AB 一起作曲線平移，故

8、可將一起作曲線平移，故可將木箱視為質(zhì)點(diǎn)木箱視為質(zhì)點(diǎn)受力分析受力分析mgNFsF13mgNFsFmBA1O2O0運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析t0AAaaalAaa建立直角坐標(biāo)系，建立直角坐標(biāo)系，xy0scosmlFxixmaF:0NsinmlFmgyiymaF:又有又有ssN Ff F0s0cos0.35sinlfgl 聯(lián)立解得聯(lián)立解得smin0.35f所以，木箱與貨架間靜摩擦因數(shù)的最小值所以，木箱與貨架間靜摩擦因數(shù)的最小值運(yùn)動(dòng)微分方程，有運(yùn)動(dòng)微分方程，有根據(jù)質(zhì)點(diǎn)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)14例例5 橋式起重機(jī)上跑車(chē)懸吊一質(zhì)量為橋式起重機(jī)上跑車(chē)懸吊一質(zhì)量為 m 的重物，沿水平橫梁以速度的重物，沿水平橫梁以速度 v0 作勻速運(yùn)

9、動(dòng)，重物的重心至懸掛點(diǎn)的距離為作勻速運(yùn)動(dòng)，重物的重心至懸掛點(diǎn)的距離為 l 。由于突然剎車(chē)，重。由于突然剎車(chē)，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)物因慣性繞懸掛點(diǎn) O 向前擺動(dòng)，試求鋼繩的拉力隨擺角向前擺動(dòng)，試求鋼繩的拉力隨擺角 的變化規(guī)律，的變化規(guī)律，并求鋼繩的最大拉力。并求鋼繩的最大拉力。解：解： 研究重物研究重物受力分析受力分析運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析:運(yùn)動(dòng)軌跡為以運(yùn)動(dòng)軌跡為以懸掛點(diǎn)懸掛點(diǎn) O 為圓心、為圓心、l 為半徑為半徑的圓弧。的圓弧。選取自然坐標(biāo)系，選取自然坐標(biāo)系， 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，有方程，有 tt imaF:nnimaF:sinmsmg 2TcossmFmglmgTFnOls152TsincosmsmgsmFmgl 解方程，并帶入初始條件，解方程，并帶入初始條件，得鋼繩拉力為得鋼繩拉力為mgTFnOls20T3cos2mvFmgl20TmaxvFmgml此時(shí)，鋼繩拉力有兩部分：此時(shí)，鋼繩拉力有兩部分： 因重物重量引起的靜拉力因重物重量引起的靜拉力 mg ；當(dāng)當(dāng) = 0 ，即，即在初始