利用MATLAB語言進(jìn)行光學(xué)衍射現(xiàn)象的仿真

1、利用MATLAB軟件進(jìn)行光學(xué)衍射現(xiàn)象的仿真 第 12 頁 共 12 頁利用MATLAB語言進(jìn)行光學(xué)衍射現(xiàn)象的仿真 儲林華（安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院 安徽 安慶 246011）指導(dǎo)教師：張杰摘要： 光的衍射是光的波動性的一種重要表現(xiàn)，因此對光的衍射現(xiàn)象的研究，不僅具有重要的理論意義，而且在光學(xué)儀器研制和成像分析等諸多實(shí)際應(yīng)用方面均有重要價值，但是其衍射光強(qiáng)的計(jì)算非常復(fù)雜，對實(shí)驗(yàn)條件的要求非常高，通常情況下很難得到滿意的效果，嚴(yán)重影響了光學(xué)的教學(xué)。本文從衍射的相關(guān)理論知識出發(fā)，首先介紹了惠更斯-菲涅耳原理及其數(shù)學(xué)表示形式，然后重點(diǎn)討論了單色光經(jīng)各種對稱光學(xué)衍射元件（單縫，雙縫，光柵，圓孔）的

2、夫瑯和費(fèi)衍射情況，并分別給出了它們在焦平面上的衍射光強(qiáng)計(jì)算公式，最后利用科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB對光的衍射現(xiàn)象進(jìn)行了仿真，所得到的圖樣細(xì)致逼真，使整個物理過程變得直觀形象，且與實(shí)驗(yàn)所得到的衍射圖樣進(jìn)行了比較，兩者吻合得很好，從而為光學(xué)的理論分析和實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了一種新的途徑。關(guān)鍵詞： 光的衍射，光柵衍射，圓孔衍射，Matlab，計(jì)算機(jī)仿真0 引言光的衍射現(xiàn)象是光具有波動性的重要特征，因此對衍射現(xiàn)象的研究無論在理論上還是在實(shí)踐中都有很重要的意義。對光的衍射現(xiàn)象的研究，始于17世紀(jì)，當(dāng)時著名的荷蘭科學(xué)家惠更斯提出了光是一種波的假說，并根據(jù)波動理論提出了光的傳播理論即惠更斯原理1，根據(jù)這一原理，他解釋

3、了光的反射定律和折射定律，給出了折射率的意義，光在兩種介質(zhì)中的速度比。到了19世紀(jì)，法國年輕的科學(xué)家菲涅耳，根據(jù)疊加原理把惠更斯原理進(jìn)一步具體化，給出了光在傳播過程中光強(qiáng)學(xué)計(jì)算公式，這就是著名的惠更斯-菲涅耳原理2。但由于在實(shí)際應(yīng)用過程中，障礙物形狀的不規(guī)則性，導(dǎo)致光強(qiáng)的計(jì)算公式幾乎無解析解，只能進(jìn)行一些數(shù)值計(jì)算。針對衍射計(jì)算中出現(xiàn)的困難，近代的研究人員想到運(yùn)用科學(xué)的計(jì)算軟件MATLAB，利用其較強(qiáng)的繪圖和圖象功能，編寫計(jì)算程序，使得多種衍射元件（單縫，雙縫，光柵，矩孔，圓孔）下的衍射現(xiàn)象得以在計(jì)算機(jī)中形象地被模擬仿真。這種做法，條件限制較少，對于衍射的實(shí)驗(yàn)教學(xué)是一種的補(bǔ)充，起到了很不錯的效果

4、；但值得指出的是，許多前人撰寫的論文，總是在系統(tǒng)化，可視化，條理化方面不夠理想，本文將在他們工作的基礎(chǔ)上，將此課題進(jìn)一步做得完美。1惠更斯菲涅耳原理早在十七世紀(jì)后期，荷蘭科學(xué)家惠更斯就提出了光是一種波動的假說，并闡述了關(guān)于波面?zhèn)鞑サ囊环N理論，既惠更斯原理。該原理認(rèn)為，傳播中的波面上任何一點(diǎn)都可以認(rèn)為是一個新的次波源，由于這些次波源發(fā)出的次波是球面波，這些次波的公共包絡(luò)面就是下一時刻的波面，根據(jù)這一原理，他解釋了光的反射定律和折射定律，并給出了折射率的意義，光在兩種介質(zhì)中的速度比。圖1 波面上各點(diǎn)復(fù)振幅的傳播菲涅耳根據(jù)疊加原理把惠更斯原理進(jìn)一步具體化了，他假設(shè)各次波是球面波，但這些球面只是等相面

5、而不是等幅面，球面上各點(diǎn)振幅與傳播方向有關(guān)，這就避免了次波的后向的傳播；同時，他認(rèn)為，下一時刻空間任一點(diǎn)的振動由各次波到達(dá)該點(diǎn)的振動疊加所決定，此定理稱為惠更斯菲涅耳定理。如右圖（1）所示。菲涅耳假設(shè)：Q點(diǎn)所發(fā)的次波對P點(diǎn)貢獻(xiàn)dU(p)正比于Q點(diǎn)附近一個小面元的面積ds， 正比于Q點(diǎn)的復(fù)振幅U(Q)，正比于ejkr/r (假定次波是球面波)，以及正比于一個與傳播方向有關(guān)的函數(shù)f()(是r與小面元法線即波在Q點(diǎn)的傳播方向上的夾角)，即： 其中C是一個與r，Q，無關(guān)的比例系數(shù)，f()叫傾斜因子，它隨增加而緩慢減少于是，按照疊加原理，有： （1）這就是惠更斯菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，積分表示整個波面S

6、上各點(diǎn)所發(fā)的次波傳播到P點(diǎn)的作用的疊加。從上面的表述，我們可以看到菲涅耳的思想比惠更斯有了更大的進(jìn)步，他著眼于下一時刻空間各點(diǎn)的振動情況，而惠更斯只著眼于下一時刻波面的形狀與位置，因此惠更斯只能定性地描述光的傳播方向，而菲涅耳卻能定量地描述衍射后的光強(qiáng)分布。2. 夫朗禾費(fèi)衍射現(xiàn)象研究 圖2 圓孔衍射示意圖(a)(b)光的衍射現(xiàn)象根據(jù)光源到衍射屏以及觀察屏的距離遠(yuǎn)近，可以分為近場衍射和遠(yuǎn)場衍射。如果光源到衍射屏以及觀察屏的距離為有限值，則稱為近場衍射（菲涅耳衍射）；如果光源到衍射屏以及觀察屏的距離為無窮遠(yuǎn)，則稱遠(yuǎn)場衍射，由于這種衍射最先由夫朗禾費(fèi)在探索天體成像時作了系統(tǒng)的研究，故亦稱為夫朗禾費(fèi)衍

7、射。一般情況下，利用（1）式進(jìn)行光強(qiáng)計(jì)算時，菲涅耳衍射情況比較復(fù)雜，而夫朗禾費(fèi)衍射情況比較簡單,本文僅討論后者。2.1 圓孔的夫朗禾費(fèi)衍射在Oxy平面上，有一以O(shè)為圓心、R為半徑的圓孔，如圖2所示?，F(xiàn)用一束平行于Z軸的光線照射,經(jīng)圓孔衍射后到達(dá)焦平面上，于是按照（1）式，P點(diǎn)的光強(qiáng)為： 設(shè)從圓心O到P點(diǎn)的距離為r0，則從圓孔中任一點(diǎn)Q到P點(diǎn)的距離rQ為： 于是,由于程差比小得多，而與波長可以比擬，因此，可以把振幅中的以代替而只考慮相位因子的變化，即： （2） 其中：為常數(shù)，將rQ代入（2）式中得：其中：稱為一階貝塞爾函數(shù)，由此，可知P點(diǎn)的光強(qiáng)可表達(dá)為： （3）根據(jù)(3)式可以畫出焦平面的光強(qiáng)分

8、布圖樣，如下圖(3)所示： (a) (b)圖3 圓孔衍射圖樣其中，圖（b）是圖樣的照片。顯然，這是一個圓對稱圖形，中心為主極大，在F處，其他各點(diǎn)的光強(qiáng)可通過 來表示，由圖(2)可知： 當(dāng)： 為第一暗環(huán)； 為第一亮環(huán)； 為第二暗環(huán)；， 為第三暗環(huán)。這就是夫朗禾費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)分布，它的中心永遠(yuǎn)是亮的，并且在中心亮斑處的光能占總光能的約84%，中心亮斑的半徑也是確定的，為，或角半徑為。2.2 單縫的夫朗禾費(fèi)衍射 圖4 單縫夫朗禾費(fèi)衍射示意圖設(shè)波長為的平面波射向縫寬AB=b的狹縫，衍射經(jīng)透鏡L會聚在焦平面F上，取XZ坐標(biāo)如圖(4)所示，根據(jù)惠菲原理，在焦平面上任一點(diǎn)P的復(fù)振幅為：把狹縫細(xì)分為垂直于X

9、軸的許多小面元，面積為ds=Ldx，L是縫的長度，由于是平面波入射，故U（Q）為常數(shù)，在角度不大的情況下，由于，故在振幅中的r可視為，只有相位因子中的不可略去，故：把積分求出，得： 令： 則： (4) 其中，為時的光強(qiáng)，即：衍射斑中心點(diǎn)的光強(qiáng)，的物理意義是狹縫的邊緣與中心的光線在P點(diǎn)產(chǎn)生的相位差，以或作橫坐標(biāo)，以作縱坐標(biāo)，對(4)式作圖可得夫朗禾費(fèi)單縫衍射的光強(qiáng)分布，如下圖所示：（a）單縫衍射的光強(qiáng)分布(b)單縫衍射圖樣圖5 單縫衍射光強(qiáng)分布及圖樣計(jì)算表明，在 之間的主極大集中了90%的能量，主極大的半角寬為，把狹縫改為矩孔，即在x，y兩個方向上考慮衍射效應(yīng)，則光強(qiáng)表達(dá)式為： 其中，是在y方向

10、上與對應(yīng)的量，矩孔衍射圖樣如圖(6)所示， 圖6 矩孔衍射圖樣2.3 雙縫的夫朗禾費(fèi)衍射以上考慮的是一個縫的衍射，如果有兩個相鄰的縫，由于衍射，通過兩個縫的光在觀察屏上會相遇。試驗(yàn)結(jié)果告訴我們，在兩條縫的衍射光相互交疊的區(qū)域，不是簡單的呈現(xiàn)光強(qiáng)的疊加，而是出現(xiàn)了由光強(qiáng)重新分布而產(chǎn)生的明暗相間的條紋，稱為光的干涉。顯然，光的干涉與光的衍射一樣，都是波的疊加原理所必然導(dǎo)致的結(jié)果。現(xiàn)在，我們?nèi)匀挥没莘圃韥矸治鰞蓷l縫所產(chǎn)生的夫朗禾費(fèi)衍射的結(jié)果，如圖(7)所示： 圖7 雙縫衍射示意圖如圖(7)，衍射屏上A，B處各有一條寬為b的縫，縫間距為d， 由于透鏡的作用，這兩條縫的衍射光在焦平面F上的光強(qiáng)分布是完

11、全一樣的，但它們的相位分布不同，把坐標(biāo)原點(diǎn)分別放在A與B的中心，由式： 可得： 令：為單縫中心與雙縫中心的光在P點(diǎn)產(chǎn)生的相位差，則： = 于是，總光強(qiáng)為： = （5）這就是夫朗禾費(fèi)雙縫衍射的光強(qiáng)分布的表達(dá)式，設(shè)d=5b， 即：r=5，將式(5)作圖，可得下圖所示的光強(qiáng)分布圖樣：圖8 雙縫衍射光強(qiáng)分布圖樣顯然，這是由與相乘而得的圖樣，在有雙縫時，原來的單縫衍射圖形不是平均地增加到原來的兩倍，而是在時，增加到原來的四倍，在處，降為零。2.4 多縫夫朗禾費(fèi)衍射上面關(guān)于雙縫衍射的討論，可以進(jìn)一步推廣到更多的縫，如圖(9)，有N條等間距的縫，縫寬均為d， 則相鄰縫的對應(yīng)程差為 ，相位差為：，由(4)式知

12、： 圖9 多縫夫朗禾費(fèi)衍射示意圖如果把坐標(biāo)原點(diǎn)放在第一個縫的中心，則就是它的單縫衍射振幅，而則是另一個縫的衍射振幅，根據(jù)這個思想，立即可以把上式推廣到多縫：=于是，光強(qiáng)分布為： = （6）設(shè)d=5b， N=4， 按(5)式畫出光強(qiáng)分布如下圖所示：圖10 多縫衍射光強(qiáng)分布圖進(jìn)而若N=100，則可得到的衍射圖樣為：圖11 光柵衍射圖樣 分析：多縫衍射與雙縫衍射都是單縫衍射的結(jié)果。它們的區(qū)別在于多縫是干涉的結(jié)果，使極大值變細(xì)，峰值變高；而在兩個極大值之間出現(xiàn)(N1)個光強(qiáng)為零的值和(N2)個次峰。當(dāng)N很大時，各主極大變得十分尖銳，可以用來計(jì)量和分光，這種N很大的能產(chǎn)生多縫衍射的光學(xué)元件稱為光柵，d叫

13、做光柵常數(shù)。3 利用Matlab軟件進(jìn)行衍射現(xiàn)象的仿真3.1 Matlab的簡介 這里使用的軟件MATLAB6.5， 它是一個功能十分強(qiáng)大的應(yīng)用軟件，可以在很多學(xué)科中得到應(yīng)用，它集數(shù)值計(jì)算，符號計(jì)算，數(shù)據(jù)可視化，系統(tǒng)動態(tài)仿真于一體，與其他計(jì)算機(jī)語言相比它更加靈活，更加接近科技人員的思維方式，因而編程效率更高。3.2 仿真方法 下面我們應(yīng)用Matlab強(qiáng)大的圖像處理與數(shù)值計(jì)算功能，仿真模擬光的夫朗禾費(fèi)衍射（各種衍射屏）圖樣和強(qiáng)度分布曲線。仿真模擬首先是根據(jù)光的衍射光強(qiáng)分布的理論公式I(x，y)及實(shí)驗(yàn)參數(shù)建立光強(qiáng)數(shù)據(jù)矩陣B(x，y)，然后運(yùn)用Matlab的Image命令繪制衍射圖像，運(yùn)用Plot命

14、令繪制光強(qiáng)分布曲線。3.3 圓孔衍射的程序 % 圓孔衍射 % function ykys (r,f,lambda) r= 0.03; f=600; lambda=600;x= -20:0.05:20; y=-20:0.05:20; x1,y1=meshgrid(x,y); theta=atan(sqrt(x1.2+y1.2)./f); x=1000000*(2*pi*r/lambda).*sin(theta+(theta=0)*eps); I=(2*bessel(1,x)./x). 2; subplot(2,1,1); mesh(x1,y1,I); axis(-20 20 -20 20 0 1

15、) subplot (2,1,2); subimage (I*255) axis off 圓孔衍射圖樣照片見圖3（b）所示。3.4 光柵衍射程序 % 光柵衍射 % function gsys (b， d， f， lambda，N) b=0.05; d=0.1; f=600; lambda=600; N=1/2/100; x=-20:0.1:20; theta =atan (x./f);beta=1000000*(pi*b/lambda).*sin(theta+(theta=0)*eps);delta=beta.*(d/b);I=(sin(beta)./beta).2).*(sin(N.*del

16、ta)./sin(delta).2); subplot(2,1,1); plot(x,I); subplot(2, 1 ,2);colormap(gray(10)image(I*255);axis off運(yùn)行后得到的圖樣分別見圖5（b），圖8，圖11所示。3.5 矩孔衍射的程序 % 矩孔衍射 % function jkys (a,b,f,lambda) a=0.05; b=0.05; f=600; lambda=600; x= -20:0.05:20; y= -20:0.05:20; X,Y=meshgrid(x,y); theta1=atan (X./f); theta2=atan(Y./f

17、); beta=1000000*(pi*b/lambda).*sin(theta1+(theta1=0)*eps); alpha=1000000*(pi*a/lambda).*sin(theta2+(theta2=0)*eps); I=(sin(beta)./beta).2).*(sin(alpha)./alpha).2); subplot(2,1,1); mesh(X,Y,I); axis( -20 20 -20 20 0 1) subplot(2,1,2); subimage(I*255);運(yùn)行后得到矩孔衍射圖樣見圖6所示。4結(jié)束語：經(jīng)過Matlab 軟件的仿真，得到各種形狀孔屏的夫朗禾費(fèi)

18、衍射圖樣，這與實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果符合得很好；而且通過仿真，也更進(jìn)一步使夫朗禾費(fèi)衍射的相關(guān)知識形象化，可視化，加深了對這些內(nèi)容的理解。參考文獻(xiàn)： 1 章志鳴，光學(xué)，北京:高等教育出版社,2000.2 姚啟鈞，光學(xué)教程，北京:高等教育出版社,2002.3 謝嘉寧，陳偉成，matlab在光學(xué)信息處理仿真實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用，物理實(shí)驗(yàn)，Vol. 24,No. 6,2004:2326.4 謝嘉寧，趙建林，夫朗禾費(fèi)衍射的計(jì)算機(jī)仿真，大學(xué)物理，Vol. 23,No. 3,2004:51545 樓順天，于衛(wèi)，閻華粱，matlab程序設(shè)計(jì)語言，西安：西安電子科技大學(xué)出版社，20006 孫向陽，圓孔衍射與象分辨本領(lǐng)的

19、matlab仿真分析，湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，Vol. 19，No. 5，2004：4749.7 王炳武，MATLAB5.3實(shí)際教程，北京：中國水利水電出版社，2000.8 趙凱華，鐘錫華，光學(xué)，北京大學(xué)出版社，1984.9 Grant R. Fowles. Introduction to Modern Optics. New York: Dover Publications, Inc. ,1989.10 Portmann S, Luthi H P. Molekel: An Interractive Molecular Graphics Tool. CHIMIA, 2000.Simulation o

20、f Light Diffraction by MATLABLinhua Chu (School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College， Anqing 246011) Abstact: The lights diffraction is a very important behavior of the lights fluctuation character. So the study of the lights diffraction phenomenon has not only the importan

21、t theory value but also the important value on many practical using，such as optics instruments development and imagery analysis and so on. However， the calculation of the diffraction light intensity is very complicated and has a very high standard on the experiment condition. Usually, its not easy t

22、o get the pleased results, which affects the optics teaching seriously. This thesis is based on the related reason knowledge of diffraction. Firstly， it introduces Huygens-Fresnel principle and the math expression form. Then it emphatically discusses the single frequencys light of Fraunhofer diffraction cases through many kind