[摘要]本文討論概率統(tǒng)計在營銷、風險決策和商品生產(chǎn)與銷售等幾個

1、概率統(tǒng)計在風險決策中的應用05級數(shù)學系四班王世鎧摘要近幾年來，我國的經(jīng)濟學界和經(jīng)濟部門越來越意識到用數(shù)學方法來解決經(jīng) 濟問題的重要性，正在探索經(jīng)濟問題中應有數(shù)學的規(guī)律。實踐證明，概率統(tǒng)計是 對經(jīng)濟和經(jīng)濟管理問題進行量的研究的冇效工具，為經(jīng)濟預測和決策捉供了新的 手段，有助于提高管理水平和經(jīng)濟效益。木文將利用概率統(tǒng)計方法解決一些經(jīng)濟 問題，分析研究怎樣進行風險決策以及怎樣檢驗產(chǎn)品質量和確定產(chǎn)品進貨量等。關鍵詞；概率統(tǒng)計；經(jīng)濟問題；風險決策abstractin recent years, china's economic and academic sectors of the econom

2、y becoming increasingly aware of the mathematical methods used to address the importance of economic issues, economic issues are being explored should be the law of mathematics. practice has proved that the statistical probability of the economy and economic management of an effective amount of the

3、research tool for economic forecasting and decision-making provides a new means to enhance the management level and economic benefits. in this paper, the probability of statistical methods will be used to solve some economic problems, how to conduct risk analysis in decision-making and how to test p

4、roduct quality and quantity of the product purchase.keywords : probability and statistics； economic issues； risk decisioaking第一章概率與風險決策1.1弓丨言1.2風險決策中的應用1.2.1先驗信息決策分析1.2.2后驗信息決策分析第二章概率與保險2.1概率與保險第三章概率與人壽保險問題3.1概率與人壽保險問題第四章小結4.1小結參考文獻謝辭第一章概率與風險決策1.1引言隨著我國經(jīng)濟建設的發(fā)展，在企業(yè)管理工作中的人們越來越重視經(jīng)濟分析的 數(shù)量化，管理和決策的科學化，這就使

5、數(shù)理統(tǒng)計理論與方法逐步滲透到管理科學 的各個領域，且其重要性已為人們所公認。這里將利用數(shù)理統(tǒng)計的理論和方法就 企業(yè)管理屮的一些問題進行定量化的分析。決策理論是1939年由統(tǒng)計學家瓦特作為假設檢驗和參數(shù)估計等經(jīng)典的統(tǒng)計 理論提出的。對于決策的制定包括四個步驟：找出指定決策的目標；找到可行方 案;對諸多方案進行抉擇；對已選的方案進行評價。決策分析的一般模型為：c = f(a,0),a g o,c g c;v = g(c),ve v,c g c,其中g)是狀態(tài)&的總體，通常指不受決策者主觀愿累和所決定影響的環(huán)境；a為方案a的總體；c為結果c的總體即得利或損失；v是評價v的總體，v表示 一定的

6、結果在決策者心目中符合目標的程度。在決策過程中，如果根據(jù)經(jīng)驗知道 了口然狀態(tài)&的概率分布，即獲得了先驗概率，pj = p(0),jj2,m,則可根 據(jù)風險決策問題的屮心準則期望值方法選出最由優(yōu)方案。即叫)=工(昭，皿 e(aj = eai = 1,2,.n、/=!以最優(yōu)方案/進行實施。在最大期望值對應多個方案時，還需考慮方案的分 散程度，一般應選擇分散度較小的方案。方案q的分散度為m尸(勺)=工(c.-化)2) ，心1,2,.nj=l但是隨著信息公司和咨詢公司的出現(xiàn)，如果在決策時又進行某種試驗和調查 得到了關于狀態(tài)的補充信息和附加信息，就可以對先驗概率加以修正而得到后驗 概率。這種概率

7、即概描了原先的知識和經(jīng)驗，乂吸收了當時試驗和調查的信息， 可以更準確地決策，捉高決策的期望收益。以表示可能的附加信息集合，概率分 布表示在狀態(tài)下的似然分布，p(0)表示決策者事先由過去的知識和經(jīng) 驗所知的先驗分布,p表示附加信息的邊緣概率分布，即m/心)=工 p(z0 )p(0),心 1,2,nz=1根據(jù)貝葉斯公式，后驗概率分布p(0|zjp(0)(0|zj二一，心尸(厶丿因此,對于同一個z, ( / = 1,2,.,7v )和每個方案色的期望收益mc(s4)= ec(ss0) =c(g%.,0)“(0|zj 使c(z"j最大的方案滿足;=1c(zj = c(zi9a) = maxc

8、o，i = 1,2,n.則總期望收益nf=l其中/就是在條件z下的最佳方案，c(z)稱為在z條件下的最大期望收益，c*稱為模型的最大受益。當然，從經(jīng)濟效益的角度來看，最優(yōu)方案/下，先驗概率和后驗概率所獲得 的期望收益e(a)和c*之差(即提高的效益)應人于收集信息所支付的費用，否 則，在經(jīng)濟上是不合理的。1.2風險決策中的應用進行決策之前，往往存在不確定的隨機因素，此時所作的決策有一定的風險, 謂之風險烈決策。只冇正確、科學的決策才能達到以最小的成本獲得最大的安全 保障的總冃標，由概率統(tǒng)計知識對風險系統(tǒng)進行分析可以直接獲得風險決策。風險型決策一般冇兩種分析方法：先驗信息決策分析與后驗信息決策分

9、析， 這就需要針對具體實際情況，選擇恰當?shù)姆治龇椒?，以保證選擇最優(yōu)化方案。1.2.1先驗信息決策分析凡是來口過的記錄，經(jīng)驗或主觀判斷的信息，都是先驗信息，在先驗信 息的條件下進行決策。下例子將根據(jù)付酬表，計算各行動方案的期累值，最后從 各期望值選擇期望收益最大（或期望損益最?。┑姆桨笧樽顑?yōu)方案。例1假如已知某廠預計h產(chǎn)量的機會虧損與未來各種需求量發(fā)生的概率。 試就此質料進行期望機會虧損決策。某廠預計fi產(chǎn)量的機會虧損表-生 童產(chǎn)t jsxnjn二后 花悔 t值概率t狀態(tài)t市場需求箱壘4p100211012021300230. 3p0.30. 21003g50021000215009110330

10、00q500q1000312036003300p0q500313039004600230003解：設a1為日產(chǎn)100箱;a2為日產(chǎn)110箱；a3為口產(chǎn)120箱；a4為日產(chǎn)130 箱。則有:e(al) =0. 2x0+0. 4x500+0. 3x 1000+0. 1 x 1500=650 (箱)e (a2) =0. 2 x 300+0. 4x 0+0. 3 x 500+0. 1 x 1000=320 (箱)e (a3) =0. 2 x 600+0. 4x 300+0. 3 x 0+0. 1 x 500=290 (箱)e (a4)二0. 2 x 900+0. 4 x 600+0. 3 x 300+

11、0. 1x0=510 (箱)min(650, 320, 290, 510)=290于是應選擇日產(chǎn)量120箱的方案。對于同一資料，根據(jù)期望損益值進行抉擇的結果，根據(jù)期望機會虧損值的抉擇結 果是一致的。從上例可以發(fā)現(xiàn)，即期與值收益與期與機會虧損互余。即期槊收益 越大吋，期望機會虧損值必小。這就是說一個方案若期望獲利最大，哪么執(zhí)行該 方案后悔值必然最小。因此，按兩種法則擇優(yōu)的結果必定相同。1.2. 2后驗信息決策分析后驗概率就是經(jīng)過試驗進一步捕獲信息(即后驗信息)，并對先驗概率作出修 正后的概率，利用后驗信息作出的決策分析稱為后驗分析。例2如某企業(yè)公司準備生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，在本地推銷價格低，但乂把握獲

12、 純利40萬元，對外地推銷有風險，若推銷成功，則可獲純利100萬元;若推銷失 敗，則將損失10萬元。問決策者應作何決策？公司利用過去在外地試銷其他商 品的經(jīng)驗對此新產(chǎn)品在外地的推銷經(jīng)驗預測，推銷成功的概率p (s) =0. 6,推銷 失敗的概率p(f)二0. 4 ,這樣對外地推銷的收益期望值為 0.6x100+0. 4x(-10)二56(力元)，應用先驗概率，單從收益期望值來看，應向外地 銷售，但是由于風險較大，公司派專業(yè)人員去外地作市場調查，其結果表：a二 “對外地推銷有利”，b二“對外地推銷不利”，其調杳把握性為：“在推銷成功” 和“推銷失敗”的條件下，調查為“對推銷冇利”和“對推銷不利”

13、的概率分別 為：p(a/s)二0. 7, p(b/s)=0. 3, p(a/f)二0. 2, p(b/f)二0. 8。利用貝葉斯公式可得在“對推銷有利”或“對推銷不利”的條件下，“推銷成功”和“推銷失敗”的概率分別為:p(s/a) =p(s)p(a/s)p(s)p(a/s) + p(f)p(a/f)= 0.84_0.6x0.70.6 x 0.7 + 0.4 x 0.2w爲s)0,4x020.4x0.2 + 0.6x0.7= 0.16p(s/b) =p(s)p(b/s)p(s) p(b / s) + p(f) p(b / f)0.6x0.30.6x03 + 0.4x0.8= 0.36z"

14、;總)us)0.4x0.804x0.8 + 0.6x0.3= 0.64如果調杳的結杲是：該產(chǎn)甜在外地“推銷有利”，那么“推銷成功”的概率 從0. 6提高到0. 84； “推銷失敗”的概率就從0. 4降低為0.16,因而對外地推銷 的收益期望為：0. 84x100+0. 16x(-10=82.4 (萬元),其值遠遠高于在本地銷售 的利潤，這一結論將加強決策者對外地推銷的信心，而采取對外地推銷的方案。若調查結果是：該產(chǎn)品對外“推銷不利”，那么“推銷成功”的概率就從0.6 降至0. 36, “推銷失敗”的概率就從0. 4提高到0. 64,因而對外銷售的收益期望 為:0. 36x100+0. 64x

15、(-10)=29. 6 (萬元),低于在本地銷售的利潤，故決策者應 采取對木地推銷的方案。當然具休的實際問題還涉及很多其他情況的影響，但作為決策者一定要采用“使利潤值盡可能大，損失盡可能小”的原則，作出行動方案。第二章概率與商品生產(chǎn)和銷售利用概率分布確定商品進貨量。在商品銷售過程中，商品的進貨量是一個很 重要的因素，因為商品賣不出去，要支付銀行的借款利息和支付商品的保管費用, 既要保證商晶不脫銷，乂要保證商品不積壓，因此商品銷售者控制好進貨量是至 關重耍的。例3 一家商店采用科學管理，為此在每一個月的月底耍制定出下一個月的商 品進貨計劃，為了不使商店的流動資金積壓，月底的進貨不宜過多，但使為了

16、保 證人們的生活需求和完成每月的營業(yè)額，進貨又不應該太少。由該商店過去的銷 售記錄知道，某種商品毎刀的銷售數(shù)可以用參數(shù)為2二10的普松分布來描述，為 了以95%以上的把握保證不脫銷，問商居在月底至少應進這種商品多少件？設該商店每月銷售某種商品£件，月底的進貨為a件，則當(<a)時就不 會脫銷。因而按題意要求為p(<a) >0.95, 6 (10)上式即為>0.9查表得 a>15o于是，這家商丿占只要在月底進貨某種商品15件(假定上月沒冇存貨)，就可 以95%以上的概率保證這種商品在卜個月內不會脫銷。例4某商店由多年的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)木店每月出售某種商品的件數(shù)d是

17、一個隨機 變量，由以往的統(tǒng)計資料可知，它近似的服從區(qū)間0,上的均勻分布，設毎出 售這種商品一件，可獲利300元，如果不能出售，將造成積壓，則每件需付庫存 費100元。問該商場月初購進多少件該商甜才能使月平均收益最大。解設該商品月初購進數(shù)量為，月收益為。則是隨機變量的函數(shù)隨機變量d的密度函數(shù)為e|j根據(jù)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式令，解得又故當時，e(r)取得最大值。即該商場月初購進9件該產(chǎn)品收 益最大。第三章概率與保險3. 1概率與保險保險屬于經(jīng)濟范疇，是集合同類風險單位以分攤損失的一種經(jīng)濟制度。其手 段是集合大量同類風險單-位，其作用是損失的分攤，其口的是補償風險事故造成 的損失以確保經(jīng)濟?；?/p>

18、的安定。保險業(yè)越來越多的走進人們的生活，如乘車，船 及飛機出行時，在車票屮含冇保險，述冇人壽保險，汽車保險等等，殊不知保險 是靠概率獲利的。例5已知一個危險單位萬元以上的某項保險發(fā)生事故的概率為p=l/100,保 險公司開辦一年期萬元以上該保險。參加者需要交保險費100元。若在-年內該 項保險發(fā)生，保險公司賠償a(a>100)元。為使保險公司收益的期望值不低于a 的百分z七，問最大的賠償值應為多少？解 設 表示保險公司在參保單位的收益，則二100和=100-且p ()保險公司獲益的期望值為要使保險公司收益的期望值不低于3的百分之七，即，解得即最大的賠償值為1250元例6在保險公司里有25

19、00個同一年齡和同一社會階層的人參加了人壽保 險，己知在一年里每個人死亡的概率為0. 002,毎個參加保險的人在一月一日付 12元保險費，而在死廣時家屈可從保險公司領取2000元，問(1)保險公司虧 木的概率是多少？ (2)保險公司獲利不少于10000元的概率是多少？設一年中死亡的人數(shù)為則(2500, 0. 002 )o在一年的一月一口，保 險公司收入2500x12=30000元。若在一年內死亡的人數(shù)為則保險公司這一年 應付出2000(元)(1)若20003000,即歹>15 (人)，則保險公司虧本，于是，保險公 司弓本的概率2500二p (>15)=工 c爲(0.002)氣0.998嚴以k=16151-zk=0=0.000069(2500 x0.00