chap2隨機(jī)變量及其分布

1、1 2021-11-10 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2 2021-11-10 為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律, , 有必要引入有必要引入隨機(jī)隨機(jī)變量變量來描述隨機(jī)試驗的不同結(jié)果來描述隨機(jī)試驗的不同結(jié)果. .例例 燈泡壽命可用一個連續(xù)變量燈泡壽命可用一個連續(xù)變量 T 來描述來描述.例例 檢測檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果 , 也可以用一個離散變量來描述也可以用一個離散變量來描述正品次品,0, 1)(X3 2021-11-10 2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)設(shè)設(shè)

2、 是試驗是試驗E的的樣本空間樣本空間, 若若則稱則稱 X ( ) 為為 上的上的 隨機(jī)變量隨機(jī)變量r.v.一般用大寫一般用大寫字母字母 X, Y , Z , 或小寫希臘字母或小寫希臘字母 , , 表示表示.)(X實數(shù)定義定義隨機(jī)變量隨機(jī)變量 ( random variable )按一定法則按一定法則簡記簡記 r.v. X .2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)4 2021-11-10 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 是是R上的映射上的映射, 此映射具有如下特點此映射具有如下特點 定義域定義域 事件域事件域 隨機(jī)性隨機(jī)性 r.v. X 的可能取值不止一個的可能取值不止一個, 試驗前只能預(yù)知它的可能

3、的取值，但不試驗前只能預(yù)知它的可能的取值，但不 能預(yù)知取哪個值能預(yù)知取哪個值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某個值以一定的概率取某個值 2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)5 2021-11-10 引入引入r.v.后后, , 可用可用r.v.的等式或不等式表的等式或不等式表達(dá)達(dá)隨機(jī)事件隨機(jī)事件, 例如例如)100(X 表示表示 “某天某天9:00 10:00 接到電話次數(shù)超過接到電話次數(shù)超過100” 這一事件這一事件 r.v.的函數(shù)一般也是的函數(shù)一般也是r.v.2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)6 2021-11-10 在同一個樣本空間可以同時定義多個在同一個樣

4、本空間可以同時定義多個 r.v., 例如例如 = 兒童的發(fā)育情況兒童的發(fā)育情況 X( ) 身高身高,Y( ) 體重體重,Z( ) 頭圍頭圍.各各 r.v.之間可能有一定的關(guān)系之間可能有一定的關(guān)系, 也可能沒也可能沒有關(guān)系有關(guān)系 即相互獨立即相互獨立2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)7 2021-11-10 離散型離散型非離散型非離散型r.v. 分類分類 其中一種重要的類型為其中一種重要的類型為 連續(xù)性連續(xù)性 r.v.引入引入 r.v.重要意義重要意義 任何隨機(jī)現(xiàn)象可被任何隨機(jī)現(xiàn)象可被 r.v.描述描述 借助借助微積分微積分方法進(jìn)行討論方法進(jìn)行討論2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變

5、量及其分布函數(shù)8 2021-11-10 為為 X 的的分布函數(shù)分布函數(shù). 設(shè)設(shè) X 為為 r.v., x 是任意實數(shù)是任意實數(shù),稱函數(shù)稱函數(shù)xxXPxF),()(隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義定義)()(aFbF（ab （)(bXaP)(aXP)(bXP用分布函數(shù)計算用分布函數(shù)計算 X 落在落在( a ,b 里的概率里的概率：2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)9 2021-11-10 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)q F ( x ) 單調(diào)不減，即單調(diào)不減，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F ( x ) 右連

6、續(xù)，即右連續(xù)，即)()(lim)0(xFtFxFxt2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)10 2021-11-10 )()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP用分布函數(shù)表示概率用分布函數(shù)表示概率2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)11 2021-11-10 2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義定義 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限的可能取值是有限個或可列個個或可列個, 則稱則稱 X 為為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量。描述描述X 的概率特性常用的概率特性常用概率分布概率分布或或分布律分布律

7、, 2 , 1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp21或或離散隨機(jī)變量及分布律離散隨機(jī)變量及分布律即即2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布12 2021-11-10 分布律的性質(zhì)分布律的性質(zhì)q , 2 , 1, 0kpk非負(fù)性非負(fù)性q 11kkp歸一性歸一性X 或或kxxx21kppp212.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布13 2021-11-10 F( x) 是分段階梯函數(shù)是分段階梯函數(shù), 在在 X 的可能取的可能取值值 xk 處發(fā)生間斷處發(fā)生間斷, 間斷點為第一類跳躍間間斷點為第一類跳躍間斷點斷點,在間斷點處有躍度在間斷點處有躍

8、度 pk .離散隨機(jī)變量及分布函數(shù)離散隨機(jī)變量及分布函數(shù))()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(其中其中 . kkxx12.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布14 2021-11-10 3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk解解,) 4(4pXP 例例1 1 設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng)設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng) 過過 4 盞信號燈盞信號燈, 每盞信號燈獨立地每盞信號燈獨立地 以概率以概率 p 允許汽車通過允許汽車通過. 出發(fā)地出發(fā)地甲地甲地首次停下時已通過的信號燈盞數(shù)首次停下時已通過的信號燈盞數(shù)

9、, 求求 X 的概的概率分布與率分布與 p = 0.4 時的分布函數(shù)時的分布函數(shù).令令 X 表示表示2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布15 2021-11-10 01234xx,84. 024. 06 . 021 x, 6 . 010 x, 00 x,936. 0096. 084. 032 x,9744. 00384. 0936. 043 x14x)(xFkpk 0 1 2 3 40.6 0.24 0.0960.0384 0.0256代入4 . 0p )(xXP2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布16 2021-11-10 01234xF( x

10、)oo1ooo2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布17 2021-11-10 用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率例例2 2 在上例中, 分別用分布律與分布函數(shù)計 算. )31 ( XP解解) 31 (XP) 3() 2() 1(XPXPXP3744. 0)4 . 04 . 04 . 0(6 . 032或) 31 ( XP6 . 09744. 0) 01 () 3(FF此式應(yīng)理解為極限)(lim1xFx18 2021-11-10 例例3 3 一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo)假定此目標(biāo)必須被擊中必須被擊中r 次才能被

11、摧毀次才能被摧毀. 若每次擊中目若每次擊中目標(biāo)的概率為標(biāo)的概率為p (0 p 1), 且各次轟擊相互獨且各次轟擊相互獨立立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需求所需轟擊次數(shù)轟擊次數(shù) X 的概率分布的概率分布.解解P(X = k) = P(前前 k 1次擊中次擊中 r 1次，次， 第第 k 次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo))pppCrkrrk)1 (111rkrrkppC)1 (11, 1, rrk帕斯卡帕斯卡分分 布布2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布19 2021-11-10 注1)1 (11rkrkrrkppC利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)

12、xxkk1111222)1 (1) 1(xxkkk1|x當(dāng)333)1 (2)2)(1(xxkkkk33321)1 (1xxCkkk20 2021-11-10 rrkrkrkxxC)1 (111歸納地令px1rrrkrkrkpppC1)1 (1 (1)1 (111)1 (11rkrkrrkppC21 2021-11-10 (1) 0 1 分布分布1, 0,)1 ()(1kppkXPkk是否超標(biāo)等等是否超標(biāo)等等. 常見離散常見離散r.v.的分布的分布凡試驗只有兩個結(jié)果凡試驗只有兩個結(jié)果, 常用常用0 1分布描述分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗口性別

13、統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 0 為常數(shù)為常數(shù)2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量59 2021-11-10 1xF( x)0 xf ( x)02.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量60 2021-11-10 對于任意的對于任意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(應(yīng)用場合應(yīng)用場合 用指數(shù)分布描述的實例有：用指數(shù)分布描述的實例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命無線電元件的壽命動物的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種指數(shù)分布常作為各種“壽命壽命”分布的近

14、似分布的近似2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量61 2021-11-10 若 X (),則故又把指數(shù)分布稱為故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕永遠(yuǎn)年輕”的分布的分布)()(tXPsXtsXP指數(shù)分布的“無記憶性無記憶性”事實上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts命題62 2021-11-10 解解 (1)()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt) 0)()(tNPtTPtteet! 0)(0例例3 3 假定一大型設(shè)備在任何長為 t 的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) N( t ) (t), 求(1)

15、相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布;(2)設(shè)備已正常運行小時的情況下,再正常 運行 10 小時的概率.63 2021-11-10 0,10, 0)(tettFt0,0,0)(tettft即)(ET)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”64 2021-11-10 (3) 正態(tài)分布正態(tài)分布若若X 的的 d.f. 為為xexfx222)(21)(則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布的正態(tài)分布記作記作 X N ( , 2 ),為常數(shù)，為常數(shù)，0 亦稱高斯亦稱高斯(Gauss)分布分布2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量65 2021-1

16、1-10 N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.332.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量66 2021-11-10 f (x) 的性質(zhì)：的性質(zhì)：q 圖形關(guān)于直線圖形關(guān)于直線 x = 對稱對稱, 即即在在 x = 時時, f (x) 取得最大值取得最大值21 在在 x = 時時, 曲線曲線 y = f (x) 在對應(yīng)在對應(yīng)的點處有拐點的點處有拐點曲線曲線 y = f (x) 以以 x 軸為漸近線軸為漸近線曲線曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀的圖形呈單峰狀f ( + x) = f ( - x) 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量67 2

17、021-11-10 21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.32.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量68 2021-11-10 q f ( x) 的兩個參數(shù)：的兩個參數(shù)： 位置參數(shù)位置參數(shù)即固定即固定 , 對于不同的對于不同的 , 對應(yīng)的對應(yīng)的 f (x)的形的形狀不變化，只是狀不變化，只是位置位置不同不同 形狀參數(shù)形狀參數(shù)固定固定 ，對于不同的，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同的形狀不同.若若 1 2 則則212121比比x= 2 所對應(yīng)的拐點更靠近直線所對應(yīng)的拐點更靠近直線 x= 附近值的概率更大附近值的概率更大. x = 1

18、所對應(yīng)的所對應(yīng)的拐點拐點前者取前者取 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量69 2021-11-10 Showfn1,fn3 大大 小小-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5幾何意義幾何意義 大小與大小與曲線陡峭程度曲線陡峭程度成反比成反比數(shù)據(jù)意義數(shù)據(jù)意義 大小與大小與數(shù)據(jù)分散程度數(shù)據(jù)分散程度成正比成正比2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量70 2021-11-10 正態(tài)變量的條件正態(tài)變量的條件 若若 r.v. X 受受眾多眾多相互相互獨立獨立的隨機(jī)因素影響的隨機(jī)因素影響 每一因素的影響都是每一因素的影響都是微小微小的的 且這些正、負(fù)影響可以且這些正、負(fù)影響可以疊加疊加則稱則稱

19、 X 為正態(tài)為正態(tài) r.v.2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量71 2021-11-10 可用正態(tài)變量描述的實例極多：可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；各種測量的誤差； 人體的生理特征；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強(qiáng)度；金屬線抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度； 學(xué)生的考試成績；學(xué)生的考試成績；2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量72 2021-11-10 一種重要的正態(tài)分布一種重要的正態(tài)分布xexx2221)(是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為分布函數(shù)記為xtexxtd21)(2

20、2其值有專門的表供查其值有專門的表供查. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1)密度函數(shù)密度函數(shù)2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量73 2021-11-10 5 . 0) 0 (-3-2-11230.10.20.30.4)(1)(xx1)(2)|(|aaXP2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量74 2021-11-10 -xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.475 2021-11-10 對一般的正態(tài)分布對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2) 其分布函數(shù)其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換作變量代換tsxxF )(abaFbFbX

21、aP)()()(aaFaXP1)(1)(2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量76 2021-11-10 例例4 4 設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0附表77 2021-11-10 例例5 5 已知已知), 2(2NX且且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP212224) 42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(XP2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量78 2021-11-10

22、解二解二 圖解法圖解法0.22 . 0)0(XP由圖由圖-22460.050.10.150.20.32.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量79 2021-11-10 例例 3 原理原理設(shè)設(shè) X N ( , 2), 求求)3|(|XP解解)33()3|(|XPXP33 33 13219987.029974.0一次試驗中一次試驗中, X 落入?yún)^(qū)間落入?yún)^(qū)間( - 3 , +3 )的概率為的概率為 0.9974, 而超出此區(qū)間可能性很小而超出此區(qū)間可能性很小由由3 原理知原理知，1)(3,0)(3bbaa時時當(dāng)當(dāng)2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量80 2021-11-10 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

23、的上 分位數(shù)分位數(shù) z 設(shè)設(shè) X N (0,1) , 0 3故至少要進(jìn)行 4 次獨立測量才能滿足要求.83 2021-11-10 2.4 r.v. 函數(shù)的分布函數(shù)的分布方法方法 將與將與Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的事件的事件求求 隨機(jī)因變量隨機(jī)因變量Y= g ( X )的密度函數(shù)的密度函數(shù) 或分布律或分布律)(yfY問題問題 已知已知 r.v. X 的的d.f.)(xfX或分布律或分布律.2.4 r.v. 函數(shù)的分布函數(shù)的分布84 2021-11-10 設(shè)設(shè) r.v. X 的分布律為的分布律為, 2 , 1,)(kpxXPkk由已知由已知函數(shù)函數(shù) g( x)可求出可求出 r.v

24、. Y 的的所有可能取值，則所有可能取值，則 Y 的概率分布為的概率分布為, 2 , 1,)()(:ipyYPikyxgkki離散型離散型 r.v.函數(shù)的分布函數(shù)的分布2.4 r.v. 函數(shù)的分布函數(shù)的分布85 2021-11-10 例例1 1 已知已知 X 的概率分布為的概率分布為X pk-1 0 1 221418181求求 Y 1= 2X 1 與與 Y 2= X 2 的分布律的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 3214181812.4 r.v. 函數(shù)的分布函數(shù)的分布86 2021-11-10 Y 2pi1 0 1 421418181Y 2pi0 1 42183812.4 r.v. 函數(shù)的

25、分布函數(shù)的分布87 2021-11-10 已知已知 X 的的d.f. f (x) 或分布函數(shù)或分布函數(shù)求求 Y = g( X ) 的的d.f. 方法：方法：（1） 從分布函數(shù)出發(fā)從分布函數(shù)出發(fā)（2）用公式直接求）用公式直接求d.f. 連續(xù)型連續(xù)型 r.v.函數(shù)的分布函數(shù)的分布2.4 r.v. 函數(shù)的分布函數(shù)的分布88 2021-11-10 例例2 2 已知已知 X 的的 d.f.為為,),(baXYxfX為常數(shù)，且為常數(shù)，且 a 0, 求求 fY ( y )解解)()(yYPyFY)(ybaXP1( )()YF yP Xy ba)(1byaFX當(dāng)當(dāng)a 0 時，時，)(11)(byafayfXYba,2.4 r.v. 函數(shù)的分布函數(shù)的分布89 2021-1