傳送帶模型中的能量問題

1、傳送帶模型中的能量問題1.如圖所示，比較長的傳送帶與水平方向的夾角0 = 37°，在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下以 vo= 4 m/s的恒定速率順時(shí)針方向運(yùn)行在傳送帶底端P處有一離傳送帶很近的固定擋板，可將傳送帶上的物體擋住在距P距離為L = 9 m的Q處無初速度地放一質(zhì)量m= 1 kg的物體，它與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)卩=0.5，物體與擋板的碰撞能量損失及碰撞時(shí)間不計(jì)，取g = 10 m/s2, sin37°= 0.6,求物體從靜止釋放到第一次返回上升至最高點(diǎn)的過程中：(1) 相對傳送帶發(fā)生的位移；(2) 系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量；(3 )傳送帶多消耗的電能；物體的最終狀態(tài)及該狀態(tài)后電動(dòng)機(jī)的輸

2、出功率.【解析】(1) 要分上和下兩個(gè)過程處理，注意相對路程和相對位移是不一樣的。解法1:力和運(yùn)動(dòng)法.物體由靜止釋放，沿傳送帶向下加速運(yùn)動(dòng)，相對傳送帶亦向下滑，受力如圖1所示，有 mgsin 0 卩 mgcos 0 = ma1，得 a1 = 2 m/s2 與 P 碰前速度 v1= 2a1L = 6 m/s設(shè)物體從Q到P的時(shí)間為t1，貝U t1= J = 3 sa1設(shè)物體對地位移為 x1,可知x1= L = 9 m，相對傳送帶向下的位移 x1 = x1+ v0t1 = 21 m物體與擋板碰撞后，以速度 V1反彈，向上做減速運(yùn)動(dòng)，因V1>V0,物體相對傳送帶向上滑，設(shè)速度減小到與傳送帶速度相

3、等的時(shí)間為t2,此過程受力如圖2所示，有mgsin 0 +卩mgcos 0 = ma22V 1 V 0得 a2 = 10 m/s , t2= = 0.2 sa2V1 + V 0 在t2時(shí)間內(nèi)物體對地向上的位移x2 = 2 0t2= 1 m相對傳送帶向上的位移厶x2= x2 v0t2= 0.2 m丄丄V0 ct3, t3=二=2 s物體速度與傳送帶速度相等后，由于mgsin 0 >卩mgcos 0物體不能勻速，將相對傳送帶向下滑，對地向上做加速度大小為 a3= a-)= 2 m/s2的減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度減小到零的時(shí)間為此過程中物體對地向上的位移X3 = yt3= 4 m相對傳送帶向下的位移厶

4、X3= V0t3 X3= 4 m整個(gè)過程中兩者相對滑動(dòng)位移為x=A X1A X2+A X3= 24.8 m.解法2:相對運(yùn)動(dòng)法.以傳送帶為參考系，在求出相對初速度和相對加速度后，三個(gè)階段物體相對傳送1 1佟送帶一V 物體2帶的位移分別為A X1= v°t1+ 應(yīng)譏2= 21 mA X2 = (v 1 v°)t2 尹2«= 0.212,mA X3= 2&t3= 4 m第二階段物體相對傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，兩者相對滑動(dòng)總位移為Ax=AX1 A X2+A X3= 24.8 m.解法3:圖象法.設(shè)沿傳送帶向上為正方向，畫出如圖3所示物體x1 =和傳送帶運(yùn)動(dòng)的v t圖象，

5、直接用物體和傳送帶 v t圖線所夾的面積表示相對發(fā)生的位移：V 1 V 0 t2vo+ V0+ Vi t2i m, A X2 ='2 210.2 mA X3= 2V0t3= 4 m兩者相對滑動(dòng)的總位移為Ax =A x1A x2+A x3= 24.8 m.(2) 系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量，是由于一對滑動(dòng)摩擦力作用點(diǎn)移動(dòng)的不同導(dǎo)致 做功不等而造成的，產(chǎn)生的熱量不是與傳送帶和物體間的相對移動(dòng)的位移而是與 相對移動(dòng)的距離有關(guān)(如圖4所示陰影部分面積)：Q= Q1+ Q2+ Q3= FfA l = mgcos 0 (Ax1 + A x2+A x3) = 100.8 J.出現(xiàn)相對來回的情況時(shí)，熱量要用

6、相對路程而不能用相對位移(3) 傳送帶消耗的電能是因?yàn)閭魉蛶б朔Σ亮ψ龉?，這與傳送帶對地運(yùn)動(dòng)位移有關(guān)(如圖5所示陰影部分面積)，在物體向下加速和相對傳送帶 向下運(yùn)動(dòng)的減速階段，摩擦力對傳送帶做負(fù)功消耗電能，在物體相對傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的減速階段，摩擦力對傳送帶做正功，減少電能損耗.A E 電=Ff(x 傳送帶 1 x 傳送帶 2 + x 傳送帶 3)=卩 mgcos 0 (vot1 v°t2+vot3)= 76.8 J即傳送帶多消耗的電能為 76.8 J.可由功能關(guān)系處理，從開始到回到最高點(diǎn)過程中，系統(tǒng)增加了熱能100.8 J,減少了重力勢能 mgxsin 0, x=x1-x2-x3

7、=4m, mgxsin 0 =24j,系統(tǒng)動(dòng)能就有變，系統(tǒng)總的增加了100.8-24=76.8j所以傳送帶多消耗的電能是76.8j(4) 物體返回上升到最高點(diǎn)時(shí)速度為零，以后將重復(fù)上述過程， 且每次碰后反彈速度、 上升高度依次減小,4 m/s，此后受到的摩擦力總是斜向上，加速度為最終達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài)：穩(wěn)態(tài)的反彈速度大小應(yīng)等于傳送帶速度gsin0 y gcos0 = 2 m/s2，方向斜向下，物體相對地面做往返“類豎直上拋”運(yùn)動(dòng)，對地上升的最大位移為2?vxm= 嚴(yán) =4 m，往返時(shí)間為 T = 2_- = 4 s2a1a1傳送帶受到的摩擦力大小始終為Ff=u mgcos 0，穩(wěn)態(tài)后方始終斜向下，故

8、電動(dòng)機(jī)的輸出功率穩(wěn)定為P=FfV0= mgcos 0 x v0 = 16 W.電動(dòng)機(jī)對傳送帶的力要向上，這樣，電動(dòng)機(jī)的輸出功率用力和時(shí)間傳送帶受到物體的摩擦力方向向下， 的積就可以求出了?！敬鸢浮?1)24.8 m (2)100.8 J (3)76.8 J(4)最終狀態(tài)見解析16 W如圖所示，甲、乙兩種粗糙面不同 的傳送帶，傾斜于水平地面放置，以同BR樣恒定速率v向上運(yùn)動(dòng).現(xiàn)將一質(zhì)量為 m的小物體(視為質(zhì)點(diǎn))輕輕放在A處， 小物體在甲傳送帶上到達(dá) B處時(shí)恰好 達(dá)到傳送帶的速率 v ;在乙傳送帶上到達(dá)離B豎直高度為h的C處時(shí)達(dá)到傳送帶的速率 v.已知B處離地面的高度皆為 H.則在小物體從 A到B

9、的過 程中()A .兩種傳送帶與小物體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同B 將小物體傳送到 B處，兩種傳送帶消耗的電能相等用功能關(guān)系求，消耗的電能等于系統(tǒng)增加的重力勢能和熱能C.兩種傳送帶對小物體做功相等對小物體用動(dòng)能定理求D 將小物體傳送到 B處，兩種系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量相等解析：小物體在兩種傳送帶均做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小a=y gcosB gsin在速2度達(dá)到v的過程中，小物體在甲傳送帶上的位移s較大，根據(jù)公式a= V-，可知小物體在甲傳送帶上時(shí)的加2s速度較小，根據(jù)a=y gcos0 gsinB,可得卩=Ftan即小物體與甲傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)較小，gcos 0選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在小物體從 A到

10、B的過程中，根據(jù)功能關(guān)系可知，傳送帶對小物體做的功等于小物體機(jī)械能 的增加量，選項(xiàng) C正確；在小物體從 A到B的過程中，只有小物體相對傳送帶發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，即只有在加速 過程中，系統(tǒng)才發(fā)生“摩擦生熱”，根據(jù)公式Q = fs相對計(jì)算系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量，可選取做勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶為慣性參考系，小物體在慣性參考系里做初速度大小為v，加速度大小為a=y gcos 0 gsin 0,末速度為零的2勻減速直線運(yùn)動(dòng)，可求出s相對=中，可見，s相對等于小物體相對于地面速度從0加速到V過程中的位移，即2a系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量等于小物體加速過程中摩擦力對小物體做的功，對于甲傳送帶，在加速過程中摩擦力做正功設(shè)為Wi，克服重力做功為

11、 mgH，動(dòng)能改變量為*mv2,根據(jù)動(dòng)能定理可求得 Wi = *mv2+ mgH，同理可求出 小物體在乙傳送帶上加速過程中摩擦力做的功為W2= |mv2+ mg(H h),顯然W“W2，所以Qi>Q2,即甲系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量多，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；在將小物體傳送到 B處的過程中，傳送帶消耗的電能等于系統(tǒng)增加的機(jī)械能 和產(chǎn)生的內(nèi)能，兩種系統(tǒng)增加的機(jī)械能相等，產(chǎn)生的內(nèi)能不等，所以消耗的電能不等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.答案：C如圖所示，在大型超市的倉庫中，要利用皮帶運(yùn)輸機(jī)將貨物由平臺D運(yùn)送到高為h= 2.5 m的平臺C上為1了便于運(yùn)輸，倉儲(chǔ)員在平臺D與皮帶間放了一個(gè)4圓周的光滑軌道ab，軌道半徑為R = 0.8 m

12、，軌道最低點(diǎn)與皮帶接觸良好.已知皮帶和水平面間的夾角為0 = 37°,皮帶和貨物間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 卩=0.75,運(yùn)輸機(jī)的皮帶以V。= 1 m/s的速度沿順時(shí)針方 向勻速運(yùn)動(dòng)(皮帶和輪子之間不打滑).現(xiàn)倉儲(chǔ)員將質(zhì)量為 m= 200 kg的貨物放于軌道的a端(g = 10 m/s2).求：(1) 貨物到達(dá)圓軌道最低點(diǎn) b時(shí)對軌道的壓力；(2) 貨物沿皮帶向上滑行多遠(yuǎn)才能相對皮帶靜止；(3) 皮帶將貨物由A運(yùn)送到B需對貨物做多少功. 對物體用動(dòng)能定理求解析：(1)貨物由a到b，由機(jī)械能守恒定律得mgR = *mv 2解得 v =V2gR = p2X 10X 0.8 m/s= 4 m/s2在最低點(diǎn)b,由F合=ma得F mg= mvF= m2v_R200 X j48+ 10 N= 6X 103 N由牛頓第三定律可知貨物到達(dá)圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力F '= F= 6 X 103 n.(2)貨物在皮帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理得：mgxs in371 2 1 2 fx = qmv0mv2 v2v V。x