利用軸對稱性質(zhì)求幾何最值

1、軸對稱中幾何動點最值問題總結(jié) 軸對稱的作用是“搬點移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中，為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。初中階段利用軸對稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點一線，兩點兩線，一點兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進(jìn)行分析、討論。 （1） 兩點一線的最值問題: （兩個定點 + 一個動點） 問題特征：已知兩個定點位于一條直線的同一側(cè)，在直

2、線上求一動點的位置，使動點與定點線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的線段和中只有一個動點，解決這類題目的方法是找出任一定點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。 變異類型：實際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。1. 如圖,等邊ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是AC邊上一點,若AE=2,EM+CM的最小值為( )A4 B.8 C. D. 2. 如圖，等邊ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的

3、動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當(dāng)EF+CF取得最小值時，則ECF的度數(shù)為（ ）A15° B.22.5° C.30° D. 45°3. 如圖，RtABC中，AC=BC=4，點D，E分別是AB，AC的中點，在CD上找一點P，使PA+PE最小，則這個最小值是 _.4. （2006河南）如圖，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是_.5.如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點,BE=2,AE=3BE,P是AC上一動點,則PB+PE的最小值是( )A B. C. D. 106.（2

4、009撫順）如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（ ） A23 B. 26 C. 3 D. 6（2） 一點兩線的最值問題: （兩個動點+一個定點）問題特征：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最短。核心思路：這類問題實際上是兩點兩線段最值問題的變式，通過做這一定點關(guān)于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。變異類型：例1 ：如圖6，接力賽場上，甲同學(xué)站在L1、L2兩條交叉跑道之間的任意一點A處，要將接力棒傳給站在L1跑道上的乙同

5、學(xué)，乙同學(xué)要將接力棒傳給站在L2跑道上的丙同學(xué)，丙同學(xué)跑回A處，試找出乙丙同學(xué)所站的最佳位置使比賽的路程最短。1. 如圖，已知AOB的大小為，P是AOB內(nèi)部的一個定點，且OP=2，點E、F分別是OA、OB上的動點，若PEF周長的最小值等于2，則=（ ）A30° B.45° C.60° D.90°2. 如圖，AOB=30°，內(nèi)有一點P且OP=，若M、N為邊OA、OB上兩動點，那么PMN的周長最小為（ ）A26 B.6 C. 6/2 D. 63. 如圖，在ABC中，C=90°，CB=CA=4，A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和

6、AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是_4. 在銳角三角形ABC中，AB=4，BAC=60°，BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動點，則BM+MN的最小值是 _ （3） 兩點兩線的最值問題: （兩個動點+兩個定點）問題特征：兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點”類型來解。變異類型：例1如圖4，河岸兩側(cè)有、兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？解析：設(shè)橋端兩動點為、，那么點隨點而動，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移

7、河寬長到，線段與河北岸線的交點即為橋端點位置。四邊形為平行四邊形，此時值最小。那么來往、兩村最短路程為：。 2如圖，在直角坐標(biāo)系中有線段AB，AB=50cm，A、B到x軸的距離分別為10cm和40cm，B點到y(tǒng)軸的距離為30cm，現(xiàn)在在x軸、y軸上分別有動點P、Q，當(dāng)四邊形PABQ的周長最短時，則這個值為（ ）A50 B.505 C. 50（5-1） D. 50（5-1）3. (2010年天津市中考)在平面角坐標(biāo)系中，矩形的頂點在坐標(biāo)原點，頂點、分別在軸、軸的正半軸上，為邊的中點。（1）若為邊上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點的坐標(biāo)；（2）若，為邊上的兩個動點，且，當(dāng)四邊形的周長最小時，求點，

8、的坐標(biāo)。解析：作點關(guān)于軸的對稱點，則，。（1）連接交軸于點，連接，此時的周長最小。由可知 ，那么，則。（2）將向左平移2個單位（）到點，定點、分別到動點、的距離和等于為定點、到動點的距離和，即。從而把“兩個定點和兩個動點”類問題轉(zhuǎn)化成“兩個定點和一個動點”類型。在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時值最小，則四邊形的周長最小。由、可求直線解析式為，當(dāng)時，即，則。（也可以用（1）中相似的方法求坐標(biāo)）（4） 兩點兩線的最值問題: （兩個動點+兩個定點）問題特征：兩動點分別在兩條直線上獨立運動，一動點分別到一定點和另一動點的距離和最小。核心思路：利用軸對稱變換，使一動點在另一動點的對稱點與

9、定點的線段上（兩點之間線段最短），且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線（連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短）時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L、折線段等最值問題。例5（2009年陜西省中考）如圖6，在銳角中，的平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值為 4 。解析：角平分線所在直線是角的對稱軸，上動點關(guān)于的對稱點在上，當(dāng)時，最小。作于，交于， 作交于，2：如圖9，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC10cm，在AC，AB上各取一點M，N，使BMMN的值最小，求這個最小值。分析：在ABC中，AB=20cm，BC10cm，由勾股定理得AC=10cm，由AC×BO=AB×BC，得BO=4cm，所以BB=8cm。 由ABCBNB，得BN16cm ，即BMMN的最小值為16cm 。 3 ：如圖5，MON=30°，邊OM、ON分別有定點A、D，OA=2，OD=5，在ON、OM邊上確定動點B、C的位置，使折線ABCD的長度最短，這時折線ABCD的長度為（）分析：若A位于ON的另一側(cè)，D位于OM的另一側(cè)，則連接AD與OM、ON邊相交可得B、C點的位置?？梢韵朕k法在保持線段AB、CD長度不變的情況下，將點A“搬”至ON的另一側(cè)，將點D“搬”至OM的另一側(cè)，