空間解析幾何與向量代數(shù)第五節(jié)課件

1、xyzo 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知平面的法線向量為已知平面的法線向量為,CBAn 設平面上的任一點為設平面上的任一點為，),(zyxM第五節(jié)第五節(jié) 平面及其方程平面及其方程n一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程),(0000zyxM且過點且過點求平面方程求平面方程.0MM,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面的點法式方程平面的點法式方程,CBAn ),(0000zyxM),(zyxM00 nMMxyzon

2、0MM求求過過點點)0 , 3, 2( A且且以以3 , 2, 1 n為為法法向向的的平平面面方方程程. . 解解例例1 1，03)3(2)2( zyx化簡得所求平面方程為化簡得所求平面方程為.0832 zyx由平面的點法式由平面的點法式求求過過三三點點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程. 6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx解解例例2 2BCAn132643 kji一一般般, ,若若三三點點

3、)3 , 2 , 1( ),( izyxAiiii不不在在一一直直線線上上, ,則則這這三三點點確確定定一一張張平平面面, ,其其方方程程為為( (混混合合積積) ) 0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 或或 01111333222111 zyxzyxzyxzyx. . 稱為平面的稱為平面的三點式方程三點式方程 求求過過點點)1 , 1 , 1(,且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n所以所求平面的法向量為所以所求平面的法向量為21nnn ,5,15,10 化簡得化簡得

4、. 0632 zyx, 0)1(5)1(15)1(10 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例3 3兩平面的法向分別為兩平面的法向分別為二、平面的一般方程二、平面的一般方程 前面看到前面看到, ,平面可用平面可用三元一次方程三元一次方程表示；反之表示；反之, ,任一三元一次方程任一三元一次方程 0 DCzByAx（* *） 當當 A, ,B, ,C 不全為零時不全為零時, ,表示一張平面表示一張平面, , 它的法向為它的法向為 ,CBAn （* *）稱為平面的）稱為平面的一般方程一般方程. . 平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通

5、過坐標原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 DCzByAx解解例例4 4 求通過求通過x 軸和點軸和點(4, 3, 1)的平面方程的平面方程.由于平面過由于平面過x 軸軸, 所以所以 A = D = 0.設所求平面的方程為設所求平面的方程為 By + Cz = 0 ,又點又點(4, 3, 1)在平面上在平面上, 所以所以 3B C = 0 , C = 3B , ,所

6、求平面方程為所求平面方程為 By 3Bz = 0 ,0 B顯顯然然所以所求平面方程為所以所求平面方程為.03 zy設設平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR(其其中中0 a,0 b,0 c), 求求此此平平面面方方程程. 設平面方程為設平面方程為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解例例5 5代入即得所求方程為代入即得所求方程為1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸上截距軸上截距oyPx

7、zQR,aDA ,bDB .cDC ,0 D顯顯然然,0 DCzByAx把平面方程化為截距式把平面方程化為截距式, 14/556/5 zyxxyzo求求平平面面0546 zyx與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍四四面面體體的的體體積積. . .1441254556561 V解解例例6 6兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. .定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n , 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角

8、余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 求求兩兩平平面面062 zyx和和052 zyx的的夾夾角角. . 解解例例7 7，2 , 1, 11 n兩平面的法向分別為兩平面的法向分別為，1 , 1 , 22 n，321 nn，621 nn21cos2121 nnnn .3 解解例例8 8判斷下列各組平面的位置關(guān)系判斷下列各組平面的位置關(guān)系: : ；：0432 )1(1 zyx .01865 2 zyx：

9、，1 , 3, 21 n，8 , 6 , 52 n，021 nn. 21 ,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重兩平面平行但不重合合01224, 012)2( zyxzyx解解,212142 21)0 , 1, 1()0 , 1, 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.02224, 012)3( zyxzyx,1, 1, 21 n2 , 2, 42 n解解.0)1, 1 , 0()1 , 1 , 1( 21，求求它它的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和和一一平平面面通

10、通過過兩兩點點 zyxMM1 1M2M1n.02 zyx111201 kji,1, 1, 2 解解例例9 9所求平面的法向為所求平面的法向為，過過點點)1 , 1 , 1(1M，0)1()1()1(2 zyx化簡得化簡得n121 nMMn 過過點點)1 , 3, 2( 且且與與平平面面0432 zyx平平行行的的平平面面方方程程. . 將將)1 , 3, 2( 代代入入得得 7 D, , 所所求求方方程程為為 0732 zyx. . 解解例例1010，032 Dzyx設所求方程為設所求方程為設設),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz 外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離

11、離. 1PNn0P 解解則則有有 0111 DCzByAx, , 在平面上取一點在平面上取一點),(1111zyxP, , 四、點到平面的距離四、點到平面的距離顯顯然然有有 ndnPP 01, , 而而,10101001CBAzzyyxxnPP )()()(101010zzCyyBxxA )(111000CzByAxCzByAx ，DCzByAx 000.|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式如如, ,點點) 1 , 1 , 1(到到平平面面0432 zyx的的距距離離為為 ，DCzByAxnPP 00001，ndnPP 01，而而222 CBAn 1944132 .144 平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點到平面的距離公式點到平面的距離公式.點法式方程點法式方程.一般方程一