不定積分的求解及相關應用

1、不定積分的求解及相關應用目錄摘要一 引言二 不定積分的求解方法及所對應例題解析 （一）基本公式法（直接積分法） （二）逐項積分法、因式分解法 （三）“湊”微分法（第一類換元法） （四）第二類換元法（參變量積分法） （五）分部積分法 （六）有理函數(shù)的積分 （七）其他類型的積分舉例 三 解不定積分的一般步驟四 不定積分的應用舉例（一） 在幾何中的應用（二） 在物理中的應用（三） 在經(jīng)濟學中的應用參考文獻致謝【摘要】不定積分常見的計算方法在本科階段可以歸納為七大類以及某些特殊不定積分的求解方法，如：基本公式法（直接積分法）、逐項積分法+因式分解法、換元積分法（第一類換元法和第二類換元法）、分部積分法

2、、有理函數(shù)的積分以及一些特殊函數(shù)的積分技巧與方法（三角函數(shù)有理式與簡單無理函數(shù)的積分），并將結合實際例題加以討論以便于解不定積分題目既能快捷又方便的尋找出最佳的解題方法。（英文摘要，暫略）【關鍵詞】 不定積分 基本公式法 換元積分法 分部積分法 有理函數(shù)的積分 三角函數(shù)有理式與簡單無理函數(shù)的積分（英文關鍵詞，暫略）一 引言定積分的思想在古代就已蔭芽，但是17世紀下半葉之前，有關定積分的完整理論還未形成。直到牛頓一萊布尼茨公式建立以后，計算問題得以解決，定積分才迅速建立發(fā)展起來，并對數(shù)學的進一步發(fā)展做出了巨大的貢獻。在初學定積分時，學生學習的困難較大，所以先引進求導的逆運算一一求不定積分，為學生

3、的學習提供了方便，拓展了學生的思維。20世以來，隨著大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等等的產(chǎn)生和發(fā)展，相繼出現(xiàn)各種各樣的微分方程，通過不定積分我們得出這些問題解，從而處理各種科學問題，促進社會發(fā)展。所以不定積分的求解不僅是學校對我們的要求，也是適應社會發(fā)展的學習趨勢。不定積分是數(shù)學分析中的一個重要內(nèi)容，是一元微積分中非常重要的內(nèi)容之一，是積分學中最基本的問題之一，又是求定積分、廣義積分，瑕積分、重積分、曲線積分以及各種有關積分的基礎。牢固掌握不定積分的理論和運算方法，可以使學生進一步鞏固所學的導數(shù)和微分學及其它相關的數(shù)學知識，掌握好不定積分的求

4、解方法對于學習這些后續(xù)內(nèi)容是非常重要的。同一道題也可能有多種解法，多種結果，所以當今學生們解決不定積分的題目普遍覺得困難，即便最后解決了題目，可能也走了許多彎路。最后若能從“彎路”中總結不定積分的求解方法，那么那些“彎路”都是有價值的，但是若只求結題，事后不思考、總結，那就是在浪費時間，也逐漸減少了學生對學習數(shù)學的熱情。不定積分的解法不像微分運算有一定的法則，它需要根據(jù)不同的題型特點采用不同的解法，因此積分運算比起微分運算來，方法更多樣，技巧性更強。下面針對一些常見函數(shù)的不定積分的各種求解方法進行分類歸納，希望能提供一種簡便的有效途徑使得大學生具備解決不定積分題目的便捷能力和基本素質(zhì)。定義1

5、如果在區(qū)間上，可導函數(shù)的導函數(shù)為，即對任一,都有或,那么函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間上的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在區(qū)間上存在可導函數(shù)，使對任一都有，即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。定義2 函數(shù)在區(qū)間的所有的原函數(shù)稱為函數(shù)的不定積分，表為 （，C為積分常數(shù)）, 其中稱為積分符號，x稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，C稱為積分常數(shù)。在這里要特別注意：一個函數(shù)的不定積分既不是一個數(shù)，也不是一個函數(shù)，而是這一函數(shù)的全體原函數(shù)，它的幾何意義是一族平行的積分曲線，簡稱為積分曲線族。例如：，而；，而；，而.也就是說：和是不相等的，即前者的結果是一個函數(shù)，而后者是無窮多個函數(shù)，所以，在書

6、寫計算結果時一定不能忘記積分常數(shù)。二 不定積分的求解方法（一）基本公式法（直接積分法）既然積分運算是微分運算的逆運算，那么自然地可以從導數(shù)公式得到相應的積分公式，并且我們把一些基本的積分公式列成一個表，這個表通常叫作基本積分表：、,其中k是常數(shù). .、，其中是常數(shù)，且.、,.、,其中.、.、.、當我們看到所求不定積分已經(jīng)對應了公式中的某一條，如 ，則用公式法求解。在實際問題中，一般不是很簡單，需將原題通過其他方法進行變換，從而滿足基本積分表再計算。例如：. 例2.1.1 計算.解：原式 說明：為任意的常數(shù)，因此可用一個常數(shù)C來表示。以后對于一個不定積分，只要在積分結果后面所得的式子中寫上一個積

7、分常數(shù)即可，后面的就不一一說明了。例2.1.2 計算.解：原式 例2.1.3 計算.解：原式 基本公式法只能計算比較簡單的不定積分，或者是稍做變形就可以用基本積分表解決的不定積分，對于其他有點復雜的不定積分便無從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。（二） 逐項積分法、因式分解法逐項積分法和因式分解法是由不定積分的兩大性質(zhì)而得。由不定積分的定義可以推得它有以下兩個性質(zhì)： 性質(zhì)1 在區(qū)間上，設函數(shù),都有原函數(shù),那么函數(shù)也有原函數(shù)（其中是常數(shù)），并且 .性質(zhì)2 設函數(shù)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則. 利用不定積分的這兩個性質(zhì)，可以將復雜積分的多項式分解為幾個單項式，然后利用基本積分公式進行計算。

8、例如， 不過，這一積分方法的更有助于帶有三角函數(shù)的積分求解，借助三角函數(shù)恒等式，可將高次函數(shù)降冪，化成容易積分的形式。故我們見到兩個因式相乘除、高次三角函數(shù)積分時，要首先考慮用這種方法。下面舉例說明。例2.2.1 求. 解：原式例 2.2.2 求.解：原式 例 2.2.3 求.解：原式 （三）“湊”微分法(第一類換元法）換元積分法是利用復合函數(shù)的求導法則而推得的，可分為兩種即“湊”微分法（第一類換元法）和第二類換元法。下面討論第一類換元法。如果不定積分用基本公式法不易求得，但被積函數(shù)可化為 且設的原函數(shù)，即，令，且，則可將有關于變量x的積分轉化為關于u的積分，于是有這就是第一換元積分公式。第一

9、類換元法又叫“湊”微分法是因為：在解題過程中，為被積函數(shù)的中間變量湊一個微分，從而達到換元解題的目的。當被積函數(shù)為復合函數(shù)時，首先考慮這種方法，因為我們可以為復合函數(shù)的中間變量“湊”微分達到解題目的。若復合函數(shù)中間變量的微分顯然存在于被積函數(shù)中，如的被積函數(shù)中“sin2x”是一個復合函數(shù)，“2”恰好是中間變量“”的微分，那么就有 令代入，即得.若復合函數(shù)中間變量的微分并沒有存在于被積函數(shù)中，則需要湊一個微分。例如，被積函數(shù)，.這里缺少這樣一個因子，但由于是一個常數(shù)，故可改變系數(shù)來湊出這個因子：從而令，便有 一般可用“湊微分”法解的題型較多，方法也很靈活，但也有規(guī)律可循，按基本初等函數(shù)類型進行總

10、結，常見題型有：、 、 、下面舉例說明：例2.3.1 求.解： 原式例2.3.2 求. 解： 不難看出上述題型都是中間變量的微分已經(jīng)存在于被積函數(shù)中的類型，但是有時也需進行一定的變形才能發(fā)現(xiàn)。例2.3.3 求解：原式 對于中間變量的微分未存在于題干中的題目，我們可以通過乘以因式再除以因式的方法“湊”出微分。例2.3.4 求.解：原式例2.3.5 求.解：原式 例2.3.6 計算.解法一：解法二：雖然這兩種解法所得的結果只是形式上的不同，但經(jīng)過驗證均為的原函數(shù)。（四）第二類換元法（參變量積分法）將積分中的x適當?shù)剡x擇變量代換，將積分化為積分即：可是這公式的成立需要一定條件：首先，等式右邊的不定積

11、分要存在，即有原函數(shù)；其次，求出后必須用的反函數(shù)代回去，為了保證該反函數(shù)存在而且是單值可導的，我們假定直接函數(shù)在t的某一個區(qū)間（這區(qū)間和所考慮x的積分區(qū)間相對應）上是單調(diào)的、可導的，并且則有其中是的原函數(shù)。由此可見，第二類換元法的換元與回代過程和第一類換元法是正好相反。在被積函數(shù)是復合函數(shù)時，有很多的中間變量的微分是無法用第一類換元法“湊”出來的，這就要用第二類換元法。第二類換元法的換元形式十分多變，真正做到靈活運用需要積累很多經(jīng)驗。以下是幾個常用的換元方法：三角代換1 被積函數(shù)含有根式，令2 被積函數(shù)含有根式，令 被積函數(shù)含有根式，令倒代換根式代換被積函數(shù)含有第二類換元積分的解題關鍵在于找準

12、代換關系。下面舉例說明。例2.4.1 求.解：令，故有，得.則 例2.4.2 求.解：令，故.則 應用三角形法則回到原變量，由作直角三角形（如圖1），可得a（圖1）xt，于是例2.4.3 求不定積分（a>0）.解：令，則，所以有例2.4.4 求不定積分（a>0）解：令，則，所以有回代，得對于某些被積函數(shù)，若分母中含有因子時，可做倒代換，即令，從而可得積分。一般在有理函數(shù)中分母的階數(shù)較高時常使用到倒代換法。如下面的例子例2.4.5 求不定積分解：令，則，所以有例2.4.6 求不定積分.解：令，則，故有 當被積函數(shù)中含有時，可令；其中k為m,n的最小公倍數(shù)。這也就是根式代換法。（五）分

13、部積分法現(xiàn)在我們利用兩個函數(shù)乘積的求導法則，來推導出另一個求積分的基本方法分部積分法。分部積分法是一種常用的積分方法。設函數(shù)及具有連續(xù)導數(shù)，那么兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式是移項，得 對這個等式兩邊分別求不定積分，得 （2.5.1）或 （2.5.2）稱（2.5.1）或（2.5.2）為分部積分公式。說明：分部積分法的關鍵是和的選取，其一般要求是（）要比易求（）要容易求出.根據(jù)此要求在下表中給出了在幾種常見的分部積分類型中相應的和的選取方法：積分類型、的選擇（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,的選擇隨意（9）,的選擇隨意注：表中a,b,k均為常數(shù)，為x的n次多項式。下面三種情

14、況可以用分部積分法求解：1 當被積函數(shù)是冪函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)中任意兩個的乘積時，首先考慮用分部積分法。2 當求有困難，而求比較容易時可用分部積分法。3 公式右端的積分中會重新出現(xiàn)與所求積分相同的積分，將該相同的積分移到左端合并，可用分部積分法求得其解。下面列舉一些使用分部積分法的例子。例2.5.1 求解：令，則，故有例2.5.2 求解： 設，則，.故有例2.5.3 求.解：令，故有 分部積分公式還可以推導積分遞推式，例如例2.5.4 計算，其中（ n>1是正整數(shù) ）解： 令，則，所以得所以有注：上例推導出了一個遞推公式，只要是重復利用該遞推公式，則的偶次冪最終將遞推到1，

15、奇數(shù)冪則最終將被遞推到，而1和可以積出來，因此利用上式遞推公式可以積分的任意正整數(shù)冪。由上面這些例子，對于分部積分法的u和dv的選擇可以總結出以下規(guī)律：優(yōu)先考慮取為u的函數(shù)的順序為“反對冪三指”，即按反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的先后順序優(yōu)先選擇函數(shù)作為u，積分式其余部分則湊為dv .（六）有理函數(shù)的積分 利用多項式的除法，總可以將一個假分式化為一個多項式和一個真分式之和的形式，例如：.設，分別是n次和m次多項式，即則稱是一個有理函數(shù)。如果，則稱是有理假分式；如果，則稱是有理真分式。 任何一個有理假分式，再把分解為若干個部分分式之和。（對于部分分式的處理可能會比較復雜，若出

16、現(xiàn)時，則用遞推公式：），這里是一個次多項式，可見，有理函數(shù)的積分主要是真分式的積分。例2.6.1 求不定積分.解：因為 所以例2.6.2 求解：因為再逐步積分有所以積分結果為例2.6.3 求.解：因為，所以（七）其他類型的積分舉例1 三角函數(shù)有理式的積分 三角函數(shù)有理式就是對常數(shù)和三角函數(shù)進行有限次四則運算得到的表達式。由于各種三角函數(shù)都可以用和的有理式表示，故三角函數(shù)的有理式也就是和的有理式，記作,其中表示兩個變量的有理式。在求解這類函數(shù)時，經(jīng)常用到萬能公式，即萬能公式：例2.7.1 求.解：設，有，則例2.7.2 求.解：設，有，則 變量代換對三角函數(shù)有理式的積分都可以應用事實上，經(jīng)變換后

17、，有.即化為的有理函數(shù)的積分，但化出的有理函數(shù)的積分在很多情況下萬能公式的計算較繁，應盡量避免。因此這種代換不一定是最簡捷的代換。例2.7.3 求.解：令， 2 無理函數(shù)的積分舉例在求無理函數(shù)的積分時常將某個根式另作新的變量，然后利用換元積分進行積分。這里，我們只討論及這兩類函數(shù)的積分，其中表示兩變量的有理式。例2.7.4 求.解：為了去掉根號，可以設.于是，從而所求積分為 例2.7.5 求.解：為了去掉根號，不妨設，于是 故 三 解不定積分的一般步驟在拿到不定積分的題目時，我們要分析題目屬于上述八種解題類型的哪一種。排除掉不可能的類型，再在可能的類型中進一步篩選，直到留下兩種或兩種以下的解題

18、方法后，再進行嘗試。若用某種方法解題時，無論怎樣都解不出答案，那么可先檢查自己有沒有運算錯誤，或者是否選錯了方法。1. 直觀型用“基本公式法”2. 被積函數(shù)是多個因式相乘除的用“逐項積分法，因式分解法”、“第一類換元積分法”、“第二類換元積分法”、“有理函數(shù)的積分”。3. 被積函數(shù)帶有某個函數(shù)微分的用“第一類換元積分法”、“分部積分法”。4. 被積函數(shù)為無理函數(shù)的首先考慮“第一類換元積分法”、“第二類換元積分法”。5. 被積函數(shù)是冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)中任意兩個的乘積時，首先考慮用“分部積分法”。 總之，上面所介紹的不定積分的求解方法都是常用到的一些方法，在應用時要根據(jù)被積函數(shù)的

19、結構特點采取合適的方法，而要做到靈活應用積分方法需要我們?nèi)ザ嘧鲂┚毩晛碓鲩L做題經(jīng)驗，這樣解題時才能夠得心應手。不定積分雖然有很多題型，但是解題的方法離不開上述七種，只要掌握了上述八種，任何不定積分的問題都可迎刃而解。四 不定積分的應用舉例（一）在幾何中的應用案例l 【曲線方程】設曲線通過點(1，2)，且曲線上任一點處的切線斜率等這點橫坐標的兩倍，求此曲線的方程。解 設所求曲線方程為，依題意，曲線上任一點處的切線斜率為即是的一個原函數(shù)。的不定積分為 因此必有某個常數(shù)使，即曲線方程為曲線族中的某條。又所求曲線通過點(1，2)，故，于是所求曲線為（二）在物理中的應用案例2【結冰厚度】美麗的冰城常年積雪，滑冰場完全靠自然結冰，結冰的速度由（為常數(shù)）確定，其中是從結冰起到時刻時冰的厚度，求結冰厚度關于的函數(shù)。解 根據(jù)題意，結冰厚度關于時間的函數(shù)為其中常數(shù)由結冰的時間確定。如果時開始結冰的厚度為0，即代入上式得。這時為結冰厚度關于時間的函數(shù)。案例3 【電流強度】 一電路中電流關于時間的變化率