微分方程最新課件

1、-數(shù)學建?；叵盗姓n件數(shù)學建?；叵盗姓n件-數(shù)學建模數(shù)學建模 微分方程模型微分方程模型微分方程最新微分方程最新微分方程模型微分方程模型微分方程模型微分方程模型穩(wěn)定性微分方程模型穩(wěn)定性微分方程最新微分方程最新微分方程模型微分方程模型微分方程模型微分方程最新微分方程最新 在研究實際問題時，常常會聯(lián)系到某些在研究實際問題時，常常會聯(lián)系到某些變量的變量的變化率變化率或或?qū)?shù)導數(shù)，這樣所得到變量之間，這樣所得到變量之間的關系式就是微分方程模型。的關系式就是微分方程模型。 模型的使用背景模型的使用背景 微分方程模型反映的是變量之間的微分方程模型反映的是變量之間的間接間接關系關系，因此，要得到直接關系，就需

2、要求解，因此，要得到直接關系，就需要求解微分方程。微分方程。 微分方程建模是數(shù)學建模的重要方法，微分方程建模是數(shù)學建模的重要方法，在科技工程，經(jīng)濟管理，生態(tài)環(huán)境，人口，在科技工程，經(jīng)濟管理，生態(tài)環(huán)境，人口，交通等領域中有著廣泛的應用。交通等領域中有著廣泛的應用。微分方程最新微分方程最新微分方程模型的建立方法微分方程模型的建立方法 v根據(jù)規(guī)律列方程根據(jù)規(guī)律列方程 利用數(shù)學、力學、物理、化學等學科中的利用數(shù)學、力學、物理、化學等學科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律等來建立微分定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律等來建立微分方程模型。方程模型。v微元分析法微元分析法 利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關利用已知的定

3、理與規(guī)律尋找微元之間的關系式，與第一種方法不同的是對微元而不系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導數(shù)應用規(guī)律。是直接對函數(shù)及其導數(shù)應用規(guī)律。 微分方程最新微分方程最新微分方程模型的建立方法微分方程模型的建立方法v模擬近似法模擬近似法 在生物、經(jīng)濟等學科的實際問題中，許多在生物、經(jīng)濟等學科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復雜的，建模時在是極其復雜的，建模時在不同的假設不同的假設下去下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學上求解或分析所建微分方程，然后從數(shù)學上求解

4、或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。微分方程最新微分方程最新案例分析案例分析 緝私問題緝私問題 一艘緝私艦雷達發(fā)現(xiàn)距一艘緝私艦雷達發(fā)現(xiàn)距c kmkm處有一艘走私船正處有一艘走私船正以勻速以勻速 a kmkm/ /minmin沿直線行駛。緝私艦立即以最沿直線行駛。緝私艦立即以最大的速度大的速度 b kmkm/ /minmin追趕，若用雷達進行跟蹤，追趕，若用雷達進行跟蹤，保持船的瞬時速度方向始終指向走私船，試求保持船的瞬時速度方向始終指向走私船，試求緝私艦追逐路線和追上的

5、時間。緝私艦追逐路線和追上的時間。微分方程最新微分方程最新緝私問題緝私問題模型建立模型建立建立如右坐標系，緝私建立如右坐標系，緝私船在船在(c,0)處發(fā)現(xiàn)走私船處發(fā)現(xiàn)走私船在在(0,0)處，走私船逃跑處，走私船逃跑方向為方向為y軸方向。軸方向。在在t時刻，走私船到達時刻，走私船到達R(0,at)，緝私艦到達，緝私艦到達D(x,y)微分方程最新微分方程最新緝私問題緝私問題根據(jù)題意有如下關系式根據(jù)題意有如下關系式 0dyyattgdxx22d ydtxadxdx 化簡得：化簡得：又因又因 dsbdt ，s為弧長為弧長 211dtdt dsdydxds dxbdx （1）（2）微分方程最新微分方程最

6、新2221/( )0,( )0d ydyxrra bdxdxy cy c其中將（將（2）代入（）代入（1）得：）得：模型求解模型求解 ：1) 求解析解求解析解 1arb（1）當）當 ， 緝私問題緝私問題微分方程最新微分方程最新112112 111rrcxxcryrcrcr當x=0時， 21cryr222(1)()ycrbctaarba緝私問題緝私問題微分方程最新微分方程最新c=3km，a=0.4(km/min)，分別取，分別取b=0.6,0.8,1.2 (km/min)，緝私艇追趕路線圖形如下：，緝私艇追趕路線圖形如下：00.511.522.533.500.511.522.533.54緝私問題

7、緝私問題微分方程最新微分方程最新1arb（2）當）當，緝私艇不可能追趕上走私船，緝私艇不可能追趕上走私船 2）求數(shù)值解）求數(shù)值解假設假設a = 60公里公里/小時，小時，b = 80公里公里/小時，小時，c = 500公里公里 用用MATLAB軟件編程求數(shù)值解軟件編程求數(shù)值解 1.zhuiji.mfunction f=zhuiji(x,y) %建立微分方程組函數(shù)，函數(shù)建立微分方程組函數(shù)，函數(shù) 名為名為zhuijif=y(2);0.75*sqrt(1-y(2)2)/x;緝私問題緝私問題微分方程最新微分方程最新2. zhui.mx,y=ode23(zhuiji,500,1,0,0); %調(diào)調(diào)用用o

8、de23求解器求解方程組求解器求解方程組plot(x, y(:,1) %畫出圖形畫出圖形運行結(jié)果如右圖：運行結(jié)果如右圖：050100150200250300350400450500050100150200250300緝私問題緝私問題微分方程最新微分方程最新人口增長模型人口增長模型 據(jù)考古學家論證，地球上出現(xiàn)生命距今已有據(jù)考古學家論證，地球上出現(xiàn)生命距今已有20億年，而人類的出現(xiàn)距今卻不足億年，而人類的出現(xiàn)距今卻不足200萬年萬年.縱觀縱觀人類人口總數(shù)的增長情況，我們發(fā)現(xiàn)：人類人口總數(shù)的增長情況，我們發(fā)現(xiàn)：1000年前年前人口總數(shù)為人口總數(shù)為2.75億億.經(jīng)過漫長的過程到經(jīng)過漫長的過程到1830

9、年，人年，人口總數(shù)達口總數(shù)達10億，又經(jīng)過億，又經(jīng)過100年，在年，在1930年，人口年，人口總數(shù)達總數(shù)達20億；億；30年之后，在年之后，在1960年，人口總數(shù)為年，人口總數(shù)為30億；又經(jīng)過億；又經(jīng)過15年，年，1975年的人口總數(shù)是年的人口總數(shù)是40億，億，12年之后即年之后即1987年，人口已達年，人口已達50億億. 我們自然會產(chǎn)生這樣一個問題：人類人口增我們自然會產(chǎn)生這樣一個問題：人類人口增長的規(guī)律是什么？如何在數(shù)學上描述這一規(guī)律長的規(guī)律是什么？如何在數(shù)學上描述這一規(guī)律.微分方程最新微分方程最新英國人口學家英國人口學家Malthus0)0(xxrxdtdx模型假設模型假設 人口自然增長

10、率人口自然增長率 r 為常數(shù)為常數(shù)即單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口呈正比。即單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口呈正比。模型建立模型建立1.指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型人口以幾何級數(shù)增加！人口以幾何級數(shù)增加！人口增長模型人口增長模型微分方程最新微分方程最新模型分析模型分析0r( )x t 人口將人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長按指數(shù)規(guī)律無限增長！ 0r 0( )x tx人口將人口將始終保持不變始終保持不變！ 0r ( )0 x t 人口將人口將按指數(shù)規(guī)律減少直至絕滅按指數(shù)規(guī)律減少直至絕滅！ 模型求解模型求解rtextx0)(人口增長模型人口增長模型微分方程最新微分方程最新微分方程最新微分方程最新微分方程

11、最新微分方程最新短期預報比較準確短期預報比較準確不適合中長期預報不適合中長期預報預報時假設人口增長率預報時假設人口增長率 r 為常數(shù)。為常數(shù)。沒有考慮環(huán)境對人口增長的制約沒有考慮環(huán)境對人口增長的制約作用。作用。微分方程最新微分方程最新2.阻滯增長模型阻滯增長模型假設人口增長率假設人口增長率 r(t) 是是 t 時刻人口時刻人口 x(t) 的減函數(shù)的減函數(shù) ：( )1mxr xrx其中，其中，xm 為考慮到受自然資源和環(huán)境條件限制所能容納的為考慮到受自然資源和環(huán)境條件限制所能容納的最大人口數(shù)量最大人口數(shù)量（稱（稱） 模型假設模型假設模型建立模型建立01(0)mdxxrxdtxxx人口增長模型人口

12、增長模型微分方程最新微分方程最新模型分析（定性分析）模型分析（定性分析）0mxx( )mx tx人口將人口將遞減并趨向于遞減并趨向于xm！ 0mxx( )mx tx人口將人口將始終保持始終保持xm不變不變！ 00mxx( )mx tx人口將人口將遞增并趨向于遞增并趨向于xm！ 無論在哪種情況下，人口最終將趨向于最大人口容量！無論在哪種情況下，人口最終將趨向于最大人口容量！模型求解模型求解0( )11mrtmxx txex人口增長模型人口增長模型微分方程最新微分方程最新 xm/2 Xm x dtdx t xm /2 x m x 2mxx人口增長率達到最大值人口增長率達到最大值maxdd4mrxx

13、t人口增長模型人口增長模型微分方程最新微分方程最新阻滯增長模型預測美國人口阻滯增長模型預測美國人口微分方程最新微分方程最新阻滯增長模型預測美國人口阻滯增長模型預測美國人口微分方程最新微分方程最新阻滯增長模型預測的優(yōu)缺點阻滯增長模型預測的優(yōu)缺點優(yōu)點優(yōu)點中期預報比較準確中期預報比較準確缺點缺點理論上很好，實用性不強理論上很好，實用性不強原因原因預報時假設固有人口增長率預報時假設固有人口增長率 r 以以及最大人口容量及最大人口容量 xm 為定值。為定值。實際上這兩個參數(shù)（特別是實際上這兩個參數(shù)（特別是 xm ）很難確定，而且會隨著社會發(fā)展很難確定，而且會隨著社會發(fā)展情況變化而變化情況變化而變化。前面

14、圖中曲線末端分叉就是由前面圖中曲線末端分叉就是由于這個原因。于這個原因。微分方程最新微分方程最新利用利用MATLAB求解求解Malthus模型和模型和Logistic模型，模型，預測美國人口數(shù)量，程序如下所示：預測美國人口數(shù)量，程序如下所示：k=197.273; %xm=197.273r=0.03134; % r=0.03134t=0:10:160; %時間間隔為時間間隔為10年年n0=3.929;n1=3.929 5.308 7.240 7.638 12.866 17.069 23.192 31.443 38.558 50.156 62.948 75.995 91.972 105.711 1

15、22.775 131.669 150.697;% 實際統(tǒng)計資料實際統(tǒng)計資料n2=n0*exp(r*t); % Malthus模型模型n3=k./(1+(k/n0)-1).*exp(-r.*t); %Logistic模型模型t=t+1790;plot(t,n1,k*-,t,n2,go-,t,n3)微分方程最新微分方程最新運行結(jié)果運行結(jié)果黑色星黑色星號號-Logistic模型預模型預測值，測值，綠色圓綠色圓圈圈-Malthus模型預模型預測值，測值，藍色曲藍色曲線為實線為實際統(tǒng)計際統(tǒng)計值。值。 微分方程最新微分方程最新傳染病模型傳染病模型 隨著衛(wèi)生設施的改善，醫(yī)療水平的提高及人類文隨著衛(wèi)生設施的改

16、善，醫(yī)療水平的提高及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到了有效的控制。但是一些新的、不染性疾病已經(jīng)得到了有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄地向人類襲來，斷變異著的傳染病毒卻悄悄地向人類襲來，20世紀世紀80年代十分險惡的艾滋病毒開始肆虐全球，至今仍在蔓年代十分險惡的艾滋病毒開始肆虐全球，至今仍在蔓延；延；2003年春來歷不明的年春來歷不明的SARS病毒突襲人間，給人們病毒突襲人間，給人們的生命財產(chǎn)帶來了極大的危害。長期以來，建立傳染的生命財產(chǎn)帶來了極大的危害。長期以來，建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染

17、病的傳播過程、分析受感染病的數(shù)學模型來描述傳染病的傳播過程、分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律、探索制止傳染病蔓延的手段等，一人數(shù)的變化規(guī)律、探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是有關專家關注的一個熱點問題。直是有關專家關注的一個熱點問題。微分方程最新微分方程最新 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個病人每天有效接觸每個病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)0)0(iiidtdi

18、itteiti0)(?傳染病模型傳染病模型微分方程最新微分方程最新sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)）每個病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdiSI 模型模型傳染病模型傳染病模型微分方程最新微分方程最新teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型2Logistic

19、模型傳染病模型傳染病模型微分方程最新微分方程最新11ln01itmtm傳染病高潮到來時刻傳染病高潮到來時刻 (日接觸率日接觸率) tm t=tm, di/dt 最大最大傳染病模型傳染病模型微分方程最新微分方程最新傳染病模型傳染病模型II的函數(shù)圖像的函數(shù)圖像 1it?微分方程最新微分方程最新微分方程模型穩(wěn)定性微分方程模型穩(wěn)定性微分方程模型穩(wěn)定性微分方程模型穩(wěn)定性微分方程最新微分方程最新如果如果0)(limxtxt則稱平衡點則稱平衡點x0是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的.) 14()(ddxftx稱代數(shù)方程稱代數(shù)方程 f (x)=0 的實根的實根x = x0為方程為方程(4-1)的的平平衡點衡點(或奇點或奇點).

20、 它也是方程它也是方程(4-1)的解的解.設設常微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性常微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性微分方程最新微分方程最新由于由于),)()(00 xxxfxf在討論方程在討論方程(4-1)的的)24()(dd00 xxxftx來代替來代替.穩(wěn)定性時，可用穩(wěn)定性時，可用一階微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性一階微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性微分方程最新微分方程最新 易知易知 x0也是方程也是方程(4-2)的平衡點的平衡點. (4-2)的通解為的通解為,e)(0)(0 xCtxtxf關于關于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：是否穩(wěn)定有以下結(jié)論： 若若, 0)(0 xf則則x0是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的； 若若則則x0是不

21、穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的. ., 0)(0 xf這個結(jié)論對這個結(jié)論對于于(4-1)也是也是成立的成立的.一階微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性一階微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性微分方程最新微分方程最新穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型建模目的是研究時間充分長以后過程的變建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。微分方程最新微分方程最新 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）資源（礦業(yè)等） 再生資源應適度開發(fā)再生資源應適度開

22、發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題問題及及 分析分析 在在捕撈量穩(wěn)定捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，如果使捕撈量等于自然增長量，漁場漁場魚量將保持不變魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。，則捕撈量穩(wěn)定。背景背景實例：實例： 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲捕魚業(yè)的持續(xù)收獲微分方程最新微分方程最新ExNxrxxFtx)1 ()()( )1()()(Nxrxxftx )()()(xhxfxF 記記假設假設 無捕撈時魚的自然增長服從無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規(guī)