含參變量不等式問(wèn)題附答案

1、1含參變量不等式問(wèn)題含參變量不等式問(wèn)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解參變量的含義了解參變量的含義，會(huì)解含參變量的簡(jiǎn)單不等式會(huì)解含參變量的簡(jiǎn)單不等式，會(huì)探究含參變量的不等式在某范圍內(nèi)恒成立會(huì)探究含參變量的不等式在某范圍內(nèi)恒成立等簡(jiǎn)單問(wèn)題，從而培養(yǎng)分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想等簡(jiǎn)單問(wèn)題，從而培養(yǎng)分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想【基礎(chǔ)檢測(cè)】【基礎(chǔ)檢測(cè)】1已知關(guān)于已知關(guān)于 x 的方程的方程xax1 有一負(fù)根，則實(shí)數(shù)有一負(fù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是()Aa1Ba1Ca1Da12若若 log2a1a21a0，則，則 a 的取值范圍是的取值范圍是()A(12，)B(1，)C(12，1)D(0，12)3 若對(duì)任意的若

2、對(duì)任意的 x(， 1， 不等式不等式(m2m)2x(12)x0，且對(duì)于任意，且對(duì)于任意 xR，f(|x|)0 恒成立，試確定實(shí)數(shù)恒成立，試確定實(shí)數(shù) k 的取值范圍的取值范圍例例 4 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)lnxax1ax1(aR)(1)當(dāng)當(dāng) a12時(shí)，討論時(shí)，討論 f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)設(shè)設(shè) g(x)x22bx4，當(dāng)當(dāng) a14時(shí)時(shí)，若對(duì)任意若對(duì)任意 x1(0,2)，存在存在 x21,2，使使 f(x1)g(x2)，求實(shí)求實(shí)數(shù)數(shù) b 的取值范圍的取值范圍【點(diǎn)評(píng)】【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)含參問(wèn)題，需分類(lèi)討論，分類(lèi)討論時(shí)需把握好出發(fā)點(diǎn)，如這是一個(gè)含參問(wèn)題，需分類(lèi)討論，分類(lèi)討論時(shí)需把握好出發(fā)點(diǎn)

3、，如(1)中，中，a 與零的比與零的比較成為分類(lèi)討論的出發(fā)點(diǎn)第較成為分類(lèi)討論的出發(fā)點(diǎn)第(2)問(wèn)中，注意等價(jià)轉(zhuǎn)換為問(wèn)中，注意等價(jià)轉(zhuǎn)換為 g(x)min12.備選題例備選題例 5 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若若 f(0)1，求，求 a 的取值范圍；的取值范圍；(2)求求 f(x)的最小值；的最小值；(3)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) h(x)f(x)，x(a，)，直接寫(xiě)出，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟不需給出演算步驟)不等式不等式 h(x)1 的解集的解集方法總結(jié)：1求解含參變量不等式時(shí)，往往需要分類(lèi)討論，而分類(lèi)時(shí)講究分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的一致性，并注意確求解含參變量不等式時(shí)，往往需要分類(lèi)討論，而

4、分類(lèi)時(shí)講究分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的一致性，并注意確保?！安恢夭宦┎恢夭宦?2解決含參變量恒成立的不等式問(wèn)題的步驟是：解決含參變量恒成立的不等式問(wèn)題的步驟是：分離變量：即將參變量與主變量分開(kāi)，分別分布在不等式兩側(cè)分離變量：即將參變量與主變量分開(kāi)，分別分布在不等式兩側(cè)求最值：要使求最值：要使 h(a)f(x)恒成立，只需恒成立，只需 h(a)f(x)max；要使；要使 h(a)f(x)恒成立，只需恒成立，只需 h(a)f(x)min.3同時(shí)應(yīng)注意若不能分離變量，則將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化化歸為函數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合求解同時(shí)應(yīng)注意若不能分離變量，則將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化化歸為函數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合求解(2011 北京北京)已

5、知函數(shù)已知函數(shù) f(x)(xk)2xke.(1)求求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)于任意的若對(duì)于任意的 x(0，)，都有，都有 f(x)1e，求，求 k 的取值范圍的取值范圍練習(xí)：1已知已知 loga251，則，則 a 的取值范圍是的取值范圍是()A0a25Ba1C0a25或或 a1Da522關(guān)于關(guān)于 x 的不等式的不等式 x24ax5a20(a0)的解集是的解集是()Ax|5axaBx|ax5aCx|x5a 或或 xaDx|x5a 或或 xa3 已知已知 a0， a1， f(x)x2ax， 當(dāng)當(dāng) x(1,1)時(shí)時(shí)， 均有均有 f(x)12， 則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值

6、范圍是()A(0，122，)B14，1)(1,4C12，1)(1,2D(0，144，)4已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax2bxc(ab)，若對(duì)任意，若對(duì)任意 xR，f(x)0 恒成立，則恒成立，則 Aabcba的最小的最小值為值為.5已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)2ax4a6，當(dāng)，當(dāng) x1,1時(shí)，時(shí)，f(x)的值有正有負(fù)，則的值有正有負(fù)，則 a 的取值范圍的取值范圍是是.6設(shè)設(shè) a，bR，關(guān)于，關(guān)于 x 的不等式的不等式 a2xb2(1x)axb(1x)2，若，若 ab，則不等式的解集，則不等式的解集為為；若；若 ab，則不等式的解集為，則不等式的解集為7解關(guān)于解關(guān)于 x 的不等式的不等式 x2(a

7、a2)xa30(aR)8設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)mx2mx1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)若對(duì)于一切實(shí)數(shù) x，f(x)0 恒成立，求恒成立，求 m 的取值范圍；的取值范圍；(2)若對(duì)于若對(duì)于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求恒成立，求 m 的取值范圍的取值范圍4含參變量不等式問(wèn)題參考答案1、 【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)?axx1，即，即(a1)x1，顯然，顯然 a1，所以，所以 x1a11.2、 【解析】【解析】2a101a21a1或或02a1，12a13、 【解析】【解析】(m2m)2x(12)x1，x(，1恒成立恒成立m2m 12 x12x，x(，1恒成立恒成立設(shè)設(shè)(12)xt，t2，)，f(t)t

8、2t(t12)2146，故故 m2m6，2m3.4、 【解析】【解析】依題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)依題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng) x(0,4)時(shí)，時(shí)，ax2x|x22|恒成立恒成立易知當(dāng)易知當(dāng) x 2時(shí)，時(shí)，x2x和和|x22|同時(shí)取得最小值，同時(shí)取得最小值，故故 a2 2.5、 【解析】【解析】原不等式可化為原不等式可化為(4a)x24x10由于不等式的解集中的整數(shù)恰有由于不等式的解集中的整數(shù)恰有 3 個(gè)，個(gè)，則則4a0164 4a 0，即，即 0a4，由由得得12 ax12 a，又，又1412 a12所以解集中的所以解集中的 3 個(gè)整數(shù)必為個(gè)整數(shù)必為 1,2,3，所以所以 312 a4,解得解得259a49

9、16.例例 1、 【解析】【解析】(1)若若 m1，x14，不等式的解集為不等式的解集為x|x14；(2)若若 m1，方程，方程(m1)x24x10 的的164(m1)4(3m)當(dāng)當(dāng) m3，且，且 m1 時(shí)，兩根為時(shí)，兩根為 x2 3mm1因此當(dāng)因此當(dāng) m1 時(shí)，不等式的解集為時(shí)，不等式的解集為(，2 3mm12 3mm1，)；當(dāng)當(dāng)1m1 時(shí)，時(shí)，M(1，a)，P(，1)(1，)，MP 成立；成立；2當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)，M ，P ，不合題意；，不合題意；3當(dāng)當(dāng) a0 得得 x1，故故 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)；由由 f(x)0 得得 x0 對(duì)任意對(duì)任意 xR 成立等價(jià)于

10、成立等價(jià)于 f(x)0 對(duì)任意對(duì)任意 x0 成立成立由由 f(x)exk0 得得 xlnk.當(dāng)當(dāng) k(0,1時(shí)，時(shí)，f(x)exk1k0(x0)，此時(shí)此時(shí) f(x)在在0，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，故故 f(x)f(0)10，符合題意，符合題意當(dāng)當(dāng) k(1，)時(shí)，時(shí)，lnk0. 當(dāng)當(dāng) x 變化時(shí)，變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x0，lnk)lnk(lnk，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值極小值單調(diào)遞增單調(diào)遞增由此可得，在由此可得，在0，)上，上，f(x)f(lnk)kklnk.依題意，令依題意，令 kklnk0，又，又 k1，1ke.綜合綜合得，實(shí)數(shù)得

11、，實(shí)數(shù) k 的取值范圍是的取值范圍是 0k0， 此此時(shí)時(shí)f(x)0， 函函數(shù)數(shù)f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減， 當(dāng)當(dāng)x(1， )時(shí)時(shí)， h(x)0，函數(shù)函數(shù) f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，由時(shí)，由 f(x)0 得得 x11，x21a1.()當(dāng)當(dāng) a12時(shí)，時(shí)，x1x2，h(x)0 恒成立，恒成立，此時(shí)此時(shí) f(x)0，函數(shù)，函數(shù) f(x)在在(0，)單調(diào)遞減單調(diào)遞減()當(dāng)當(dāng) 0a1，x(0,1)時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；單調(diào)遞減；6x(1，1a1)時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；x(1a1，)時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減()當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，1a10，x(0,1)時(shí)，時(shí)，f(x)

12、單調(diào)遞減；單調(diào)遞減；x(1，)時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增(2)a14(0，12)，由，由(1)知知 x11，x23 (0,2)，當(dāng)當(dāng) x(0,1)時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；單調(diào)遞減；當(dāng)當(dāng) x(1,2)時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增故故 f(x)在在(0,2)上的最小值為上的最小值為 f(1)12.由題意可知由題意可知 g(x)在在1,2上的最小值不大于上的最小值不大于 f(x)在在(0,2)上的上的最小值最小值12.g(x)(xb)24b2，x1,2，1當(dāng)當(dāng) b0 不合題意；不合題意；2當(dāng)當(dāng) b1,2時(shí)，時(shí)，g(x)min4b20 不合題意；不合題意；3當(dāng)當(dāng) b2，)時(shí)，時(shí)，g(x)m

13、ing(2)84b12，b178.綜上可知綜上可知 b 的取值范圍是的取值范圍是178，)例 5、 【解析】【解析】(1)因?yàn)橐驗(yàn)?f(0)a|a|1，所以所以a0，即，即 a0.由由 a21 知知 a1.因此，因此，a 的取值范圍為的取值范圍為(，1(2)記記 f(x)的最小值為的最小值為 g(a)由于由于 f(x)2x2(xa)|xa|3 xa3 22a23，xa， xa 22a2，xa.()當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，f(a)2a2，由由知知 f(x)2a2，此時(shí)此時(shí) g(a)2a2.()當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，f(a3)23a2.若若 xa，則由，則由知知 f(x)23a2；若若 xa，則，則 x

14、a2a0，由，由知知 f(x)2a223a2.此時(shí)此時(shí) g(a)23a2.7綜上得綜上得 g(a)2a2，a0，2a23，a0 時(shí)，時(shí)，f(x)與與 f(x)的變化情況如下：的變化情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)遞增遞增4k2e1遞減遞減0遞增遞增所以所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是(，k)和和(k，)，單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(k，k)當(dāng)當(dāng) k0 時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)?f(k1)1e，所以不會(huì)有所以不會(huì)有x(0，)，f(x)1e.當(dāng)當(dāng) k0 時(shí)，由時(shí)，由(1)知知 f(x)在在(0，)上的最大值是上的最大值是f(k)4k2e.所以所以x(0，)，

15、f(x)1e等價(jià)于等價(jià)于 f(k)4k2e1e，解得解得12k0.故當(dāng)故當(dāng)x(0，)，f(x)1e時(shí)，時(shí)，k 的取值范圍是的取值范圍是12，0)練習(xí)：1、 【解析】【解析】由已知得由已知得 a1 或或0a125a，即，即 a1 或或 0a25，故選，故選 C.2、 【解析】【解析】原不等式即為原不等式即為(xa)(x5a)0，又，又 a0,5aa，故，故 xa 或或 x5a，故選，故選 C.83、 【解析】【解析】要使要使 f(x)12，只需，只需 f(x)max12，x(1,1)即可即可當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)，f(x)maxf(1)11a12，1a2.當(dāng)當(dāng) 0a1 時(shí)，時(shí)，f(x)maxf(1)

16、1a12，12a1.故選故選 C.4、 【解析】【解析】設(shè)設(shè) bat，t0，cb24a，a0，Aaat at 24at14(9atta)32142 9323，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)9atta，即，即 4ab 時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)5、 【解析】因?yàn)椤窘馕觥恳驗(yàn)?f(1)f(1)0，即，即(a1)(a3)0，所以，所以3a1.6、【解析解析】 原不等式可化為原不等式可化為(a2b2)xb2(ab)2x22(ab)bxb2， 整理得整理得(ab)2(x2x)0(*)當(dāng)當(dāng) ab 時(shí)，時(shí)，(*)式為式為 0(x2x)0，則，則 xR；當(dāng)當(dāng) ab 時(shí)，時(shí)，(ab)20，則，則(*)式為式為 x2x0，解得解得 0

17、 x1.7、 【解析】【解析】原不等式可變形為原不等式可變形為(xa)(xa2)0，則方程則方程(xa)(xa2)0 的兩根為的兩根為 x1a，x2a2.下面比較兩根下面比較兩根 a 與與 a2的大小的大小當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，有時(shí)，有 aa2，xa 或或 xa2，此時(shí)原不等式的解集為，此時(shí)原不等式的解集為x|xa 或或 xa2；當(dāng)當(dāng) 0a1 時(shí)，原不等式的解集為時(shí)，原不等式的解集為x|xa2或或 xa；當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，有時(shí)，有 aa2，xa 或或 xa2，此時(shí)原不等式的解集為，此時(shí)原不等式的解集為x|xa 或或 xa2；當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，有時(shí)，有 x0，此時(shí)原不等式的解集為，此時(shí)原不等式的解集為x|xR 且且 x0；當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，有時(shí)，有 x1，此時(shí)原不等式的解集為，此時(shí)原不等式的解集為x|xR 且且 x1綜上可知，當(dāng)綜上可知，當(dāng) a0 或或 a1 時(shí)，原不等式的解集為時(shí)，原不等式的解集為x|xa 或或 xa2；當(dāng)當(dāng) 0a1 時(shí)，原不等式的解集為時(shí)，原不等式的解集為x|xa2或或 xa；當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，原不等式的解集為時(shí)，原不等式的解集為x|xR 且且 x0；當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，原不等式的解集為時(shí)，原不等式的解集為x|xR 且且 x18、 【解析】【解析】(1)要使要使 mx2mx10 恒成立，恒成立，若若 m0，顯然，顯然