課時作業(yè)(三十八)　空間幾何體及其表面積、體積

1、課時作業(yè)(三十八)空間幾何體及其表面積、體積1(多選)(2020上海大學附中月考)下列命題是假命題的是()A有兩個側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱B正四面體是特殊的正四棱柱C有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫做棱錐D正四棱柱是平行六面體ABCA 項，當兩個側(cè)面是矩形且相鄰時，四棱柱是直四棱柱，當兩個側(cè)面是矩形且不相鄰時，四棱柱不一定是直四棱柱，故 A 項錯誤；B 項，正四面體是三棱錐，故 B 項錯誤；C 項，棱錐是有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體，故C 項錯誤；D 項，正四棱柱是平行六面體，故 D 項正確故選 ABC.2將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直

2、線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A一個圓臺、兩個圓錐B兩個圓臺、一個圓柱C兩個圓柱、一個圓臺D一個圓柱、兩個圓錐D從較短的底邊的端點向另一底邊作垂直，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個直角三角形， 一個矩形， 所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個圓柱，兩個圓錐所組成的幾何體如圖所示3 正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2， 側(cè)棱長為 3 ， D為BC中點， 則三棱錐AB1DC1的體積為()A3B32C1D32C由題意可知 ADBC， 由面面垂直的性質(zhì)定理可得 AD平面 DB1C1， 又 AD2sin60 3 ，所以 VA B1DC113ADSB1DC113 3 122

3、3 1，故選 C.4 (2020全國卷)已知ABC 是面積為9 34的等邊三角形， 且其頂點都在球 O 的球面上若球 O 的表面積為 16，則 O 到平面 ABC 的距離為()A 3B32C1D32C設等邊三角形 ABC 的邊長為 a，因為其面積為934，所以12a32a9 34，解得 a3，則外接圓半徑 r2332a33a 3 .設球 O 的半徑為 R，因為球 O 的表面積為 16，所以 4R216，得 R24.所以 O 到平面 ABC 的距離 d R2r21，故選 C.5(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點 M，N，若線段 M，N 的最小值為 3 1，則()A正方體的外接球的表

4、面積為 12B正方體的內(nèi)切球的體積為43C正方體的棱長為 2D線段 MN 的最大值為 2 3ABC設正方體的棱長為 a，則正方體的外接球的半徑為對角線的一半，即 R32a，內(nèi)切球為棱長的一半，即 ra2，由于 M 和 N 為外接球和內(nèi)切球上的動點，對于 C：所以 MNmin32aa2 3 1，解得 a2.故 C 正確；對于 A：所以外接球的表面積為 S4( 3 )212，故 A 正確；對于 B：內(nèi)切球的體積為 V431343，故 B 正確；對于 D：線段 MN 的最大值為32aa2 3 1，故 D 錯誤故選ABC.6有一個長為 5 cm，寬為 4 cm 的矩形，則其直觀圖的面積為_解析：由于該

5、矩形的面積 S5420(cm2)，所以其直觀圖的面積 S24S5 2 (cm2).答案：5 2 cm27給出下列說法：球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段；球的直徑是球面上任意兩點的連線段；用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；球常用表示球心的字母表示其中正確的是_；錯誤的是_解析：根據(jù)球的定義直接判斷正確；錯誤；用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；可以是小圓，也可能是大圓，正確；球常用表示球心的字母表示滿足球的定義正確答案：；8如圖，在四棱錐 PABCD 中，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，且 PAPBPCPD，已知四棱錐的表面積是 12，則它的體積為_解析：由題意可知四棱錐

6、P-ABCD 為正四棱錐，設 AC 交 BD 于點 O，連接 PO，則PO 是四棱錐的高設正四棱錐的斜高為 h，則 224122h12，解得 h2，則正四棱錐的高 PO 2212 3 .正四棱錐的體積 V134 3 4 33.答案：4 339如圖所示，在側(cè)棱長為 23 的正三棱錐 VABC 中，AVBBVCCVA40，過 A 作截面 AEF，求AEF 周長的最小值解析：如圖，將三棱錐沿側(cè)棱 VA 剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個平面上，則線段 AA1的長即為所求AEF 的周長的最小值取 AA1的中點 D，連接 VD，則 VDAA1，AVD60.在 RtVAD 中，ADVAsin 603，所以 A

7、A12AD6，即AEF 周長的最小值為 6.10.現(xiàn)需要設計一個倉庫， 它由上下兩部分組成， 上部的形狀是正四棱錐 PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱錐的高 PO1的 4 倍，若 AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積是多少？解析：由 PO12 m，知 O1O4PO18 m.因為 A1B1AB6 m，所以正四棱錐 PA1B1C1D1的體積V錐13A1B21PO11362224(m3)；正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2O1O628288(m3)，所以倉庫的容積 VV錐V柱24288312(m3).

8、故倉庫的容積是 312 m3.11(多選)如圖，圓錐頂點為 P，底面圓心為 O，過軸 PO 的截面 PAB，C 為 PA 中點，PA4 3 ，PO6，下列正確的是()A截面 PAB 的面積為 12 3B圓錐的體積為 36C圓錐的表面積為 12D從點 C 經(jīng)圓錐側(cè)面到點 B 的最短距離為 2 15ACD由已知的 AO （4 3）2622 3 ，截面 PAB 的面積為124 3 612 3 ；圓錐的體積為13(2 3 )2624；圓錐的表面積為(2 3 )22 3 4 3 36；沿圓錐母線 PA 剪開再展開，則圓錐底面周長為 4 3 ，展開后所得扇形為半圓，B 到 B處，則從點 C 經(jīng)圓錐側(cè)面到點

9、 B 的最短距離為 （2 3）2（4 3）22 15 .故選 ACD.12(2020福建省質(zhì)量檢測)某學生到工廠實踐，欲將一個底面半徑為 2，高為 3 的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體， 并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內(nèi) 若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是()A169B89C1627D827A如圖，OC2，OA3，由AEDAOC 可得EDOCAEAO.設圓柱體的底面半徑 rED2x(0 x1)，可得 AE3x，則圓柱體的高 hOE33x，圓柱體的體積 V(2x)2(33x)12(x2x3)，令 V(x)12(x2x3)，則 V(x)12(2x3x2)，令 V(x)0，解得 x23或

10、 x0(舍去)，可得 V(x)在(0，23)上單調(diào)遞增，在(23，1)上單調(diào)遞減，故當 x23時，V(x)取得最大值，V(x)max169，即圓柱體的最大體積是169.13如圖所示，從三棱錐 PABC 的頂點 P 沿著三條側(cè)棱 PA，PB，PC 剪開成平面圖形得到P1P2P3，且 P2P1P2P3.(1)在三棱錐 PABC 中，求證：PABC；(2)若 P1P226，P1P320，求三棱錐 PABC 的體積解析：(1)證明：由題設知 A，B，C 分別是 P1P3，P1P2，P2P3的中點，且 P2P1P2P3，從而 PBPC，ABAC，取 BC 的中點 D，連接 AD，PD(圖略)，則 ADB

11、C，PDBC，又 ADPDD，BC平面 PAD.又 PA平面 PAD，故 PABC.(2)由題設有ABAC12P1P213，PAP1ABC10，PBPCP1B13，ADPD AB2BD212，在等腰三角形 DPA 中，底邊 PA 上的高 hAD212PA2 119 ，SDPA12PAh5 119 .又 BC平面 PAD，VPABCVBPDAVCPDA13BDSDPA13DCSPDA13BCSPDA13105 119503119 .14(創(chuàng)新型)如圖，正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 1，點 E 在線段 BB1和線段 A1B1上移動，EAB，(0，2)，過直線 AE，AD 的平面 ADF

12、E 將正方體分成兩部分記棱 BC 所在部分的體積為 V()，則函數(shù) VV()，(0，2)的大致圖象是()C當(0，4)時，BEtan，則棱 BC 所在部分的體積 V()12tan，所以當(0，4)時， 函數(shù) V()的圖象與三角函數(shù) ytan的圖象相似， 因此排除 A， B； 當(4，2)時，A1Etan (2)，則棱 BC 所在部分的體積 V()112tan (2)，則函數(shù) VV()，(0，2)的圖象關(guān)于點(4，12)對稱，因此排除 D.故選 C.15中國古代數(shù)學家劉徽九章算術(shù)注中記述：羨除，隧道也，其形體上面平而下面斜，一面與地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其體積如圖所示的五面體 ABCD

13、EF 是一個羨除，兩個梯形側(cè)面 ABCD 與 CDEF 相互垂直，ABCDEF.若 AB1，EF2，CD3，梯形 ABCD 與 CDEF 的高分別為 h13 和 h21，則該羨除的體積 V_；由此歸納出求羨除體積的一般公式為 V_解析：在平面 ABCD 內(nèi)，過 A，B 兩點分別作 CD 的垂線，垂足分別為 G，H，在平面 CDEF 內(nèi)，過 G，H 兩點分別作 EF 的垂線，垂足分別為 M，N.由平面 ABCD 與平面 CDEF 垂直知，AGMG，BHHN，又ABCDEF，所以易證平面 AGM平面 BHN，且 GH平面 AGM，所以幾何體 AGM-BHN 為直棱柱將羨除 ABCDEF 分割成兩個四棱錐 ADEMG，B-HNFC 和一個直棱柱 AGM-BHN.所以所求幾何體體積 VABCDEFV直棱柱AGM-BHNV四棱錐A-DEMGV四棱錐B-HNFGSAGM GH13S四邊形DEMG