二元一次方程講義

1、精品資料歡迎下載二元一次方程組一、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：二元一次方程的概念含有兩個(gè)未知數(shù)(一般設(shè)為x、y)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程如 xy 24，都是二元一次方程 .要點(diǎn)詮釋：(1)在方程中“元”是指未知數(shù)， “二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).(2)“未知數(shù)的次數(shù)為 1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)(單項(xiàng)式 )的次數(shù)是1. 如 xy 的次數(shù)是2，所以方程6xy 9 0不是二元一次方程 .(3) 二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 如方程的左邊不是整式，所以它就不是二元一次方程.(4) 判斷某個(gè)方程是不是二元一次方程，一般先把它化為ax by c 0 的形式

2、，再根據(jù)定義判斷，例如： 2x 4y 32x 不是二元一次方程，因?yàn)橥ㄟ^移項(xiàng)，原方程變?yōu)?y 3，不符合二元一次方程的形式。知識(shí)點(diǎn)二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一 次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值不只一個(gè)，故每個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解。如，都是二元一次方程x y 3 的解，我們把有無(wú)數(shù)組解的這樣的方程又稱之為不定方程。要點(diǎn)詮釋：(1) 使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，即二元一次方程的解都要用“ ”聯(lián)立起來，如,是二元一次方程xy 2 的解 ( 二元一次方程的解是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值) 。(2)在二元一次

3、方程的無(wú)數(shù)個(gè)解中，每個(gè)解的一對(duì)數(shù)值是相互聯(lián)系、一一對(duì)應(yīng)的。即其中一個(gè)確定后，另一個(gè)也隨之確定并且唯一。知識(shí)點(diǎn)三：二元一次方程組的概念把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.精品資料歡迎下載例如，都是二元一次方程組.要點(diǎn)詮釋：如果兩個(gè)一次方程合起來共有兩個(gè)未知數(shù)，這樣的方程組也是二元一次方程組。例如，也是二元一次方程組.知識(shí)點(diǎn)四：二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點(diǎn)詮釋：(1) 方程組的解是一對(duì)數(shù)值，即，而不能表示成x9,y 4.(2) 一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的

4、解有無(wú)數(shù)個(gè).(3)檢驗(yàn)一組數(shù)是否是二元一次方程組的解時(shí)，一定要將這一組數(shù)代入方程組中的每一個(gè)方程，看是否滿足每一個(gè)方程，只有這組數(shù)是方程組中的所有方程的公共解時(shí)，該組數(shù)才是原方程組的解，否則不是。知識(shí)點(diǎn)五：二元一次方程組的解法消元法： 所謂 “消元”就是減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，使多元方程最終轉(zhuǎn)化為一元方程再解出未知數(shù)。即將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的消元思想。消元法分代入消元法和加減消元法。（一）代入消元法1代入消元法是解方程組的兩種基本方法之一。是把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來， 再代入另一個(gè)方程， 實(shí)現(xiàn)消元， 進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解 ,這種解法叫

5、做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。2用代入法解二元一次方程組的一般步驟：(1)從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示這個(gè)方程中的另一個(gè)未知數(shù) ;(2) 將變形后的這個(gè)關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；(3) 解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；(4) 將求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；(5) 把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用符號(hào)“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式.精品資料歡迎下載要點(diǎn)詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2) 變形后的方程不能再

6、代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；（二）加減消元法1加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，加減消元法是通過將兩個(gè)方程相加( 或相減 )消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解 ,這種解法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。2用加減法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組中的兩個(gè)方程，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相反又不相等，就可用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘一個(gè)方程或兩個(gè)方程的兩邊，使兩個(gè)方程中的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等；(2) 把兩個(gè)方程的兩邊分別相加減 (相同時(shí)相減，相反時(shí)相加 )，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；(3) 解這個(gè)一元一次方程，求得其中一個(gè)未知數(shù)的值；(4)把

7、所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入到原方程組中系數(shù)比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；(4)(5) 把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用符號(hào)“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式。要點(diǎn)詮釋：一般地，加減消元法的選擇方法是：(1) 選擇系數(shù)絕對(duì)值較小的未知數(shù)消元；(2) 某一未知數(shù)絕對(duì)值相等，如果符號(hào)不同，用加法消元，如果符號(hào)相同，用減法消元；(3)某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，直接對(duì)其中一個(gè)方程變形，使其系數(shù)絕對(duì)值相等，再運(yùn)用加減法消元；(4)當(dāng)相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相等時(shí)，找出某一個(gè)未知數(shù)的最小公倍數(shù)，同時(shí)對(duì)兩個(gè)方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值相同的系數(shù)，再用加減法來解。（選學(xué)）知識(shí)點(diǎn)六：三元一次方程組（一）定義：方程

8、組含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程， 這樣的方程組叫做三元一次方程組。要點(diǎn)詮釋：方程組包括三個(gè)方程，但是不一定每個(gè)方程都有三個(gè)未知數(shù)。如精品資料歡迎下載（二）解法：解三元一次方程組的的關(guān)鍵仍然是消元，通過消元， 把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元一次方程組求解。要點(diǎn)詮釋：解三元一次方程組時(shí)，要仔細(xì)觀察方程組中三個(gè)一次方程系數(shù)的特點(diǎn)，確定先消哪個(gè)元，然后選擇用代入消元法還是加減消元法。二、規(guī)律方法指導(dǎo)1二元一次方程的整數(shù)解的求法：一般情況下， 一個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，解這類問題時(shí)， 先用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，

9、然后根據(jù)條件逐一求出相應(yīng)的解.2判斷二元一次方程組的方法：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起就組成一個(gè)二元一次方程組，判斷一個(gè)方程是不是二元一次方程組，就看它是否滿足以下兩個(gè)條件：(1)看整個(gè)方程組里含有的未知數(shù)是不是兩個(gè)；(2)看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是1.3檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解，常用的方法是：將這對(duì)數(shù)值分別代入方程組中的每個(gè)方程，只有當(dāng)這對(duì)數(shù)值滿足其中的所有方程時(shí)，才能說這對(duì)數(shù) 值是此方程組的解；否則，如果這對(duì)數(shù)值不滿足其中的任何一個(gè)方程，那么它就不是此方程組的解 .4運(yùn)用代入法、加減法解二元一次方程組要注意的問題：(1) 當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)

10、的代數(shù)式時(shí)，用代入法比較簡(jiǎn)單；(2) 若方程組中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為 1(或 1) 時(shí)，選擇這個(gè)方程進(jìn)行變形，用代入法比較簡(jiǎn)便；(3) 當(dāng)方程組中的兩個(gè)方程有某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時(shí)，進(jìn)行加減消元比較方便；(4) 若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，利用等式性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成(3) 的類型，選擇加減消元法比較簡(jiǎn)便；(5) 若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值都不相等，那么，應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù) )，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元；(6) 對(duì)于比較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(jiǎn)(

11、去分母、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等). 通常要把每個(gè)方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程的右邊的形式，再作加減消元的考慮 .二元一次方程組例題一、填空題1已知 (k 2)xk 12y 1，則 k_時(shí)，它是二元一次方程；k _時(shí)，它是一元一次精品資料歡迎下載方程2若 x2 (3y 2x)2 0，則 x 的值是 _y3二元一次方程 4xy 10 共有 _組非負(fù)整數(shù)解4已知x2, 是二元一次方程mx ny 2 的一個(gè)解，則2m n6 的值等于 _y15用加減消元法解方程組3a2b6, 時(shí)，把× 3× 2，得 _5a3b26已知二元一次方程組2x + y = 7,那么 x y

12、 _ ，x y _x+ 2 y = 8 7若 2x 5y 0，且 x0，則 6x5y 的值是 _6x5y8.如果x2 是方程組axby7 的解 ,則 a與 c 的關(guān)系是 ()y1bxcy59.關(guān)于、y的方程組xy5k 的解也是二元一次方程2x3y 6的解 ,則k的值xxy9k是.10. 若已知方程a21 x2a1 xa5 ya 3 ,則當(dāng) a =時(shí) ,方程為一元一次方程 ; 當(dāng) a =時(shí) ,方程為二元一次方程 .二、選擇題1已知二元一次方程x y 1，下列說法不正確的是 ()(A) 它有無(wú)數(shù)多組解(B) 它有無(wú)數(shù)多組整數(shù)解(C) 它只有一組非負(fù)整數(shù)解(D) 它沒有正整數(shù)解2若二元一次方程組mx

13、y1,的解中， y 0，則 m n 等于 ()3nxy40(A)3 4(B) 3 4(C) 1 4(D) 1 123已知 x3t 1， y 2t 1，用含 x 的式子表示 y，其結(jié)果是 ()(A) yx1(B) xy12 x 5(D) y2x 132(C) y334如圖，將正方形ABCD 的一角折疊，折痕為AE， BAD 比 BAE 大 48°設(shè) BAE 和BAD 的度數(shù)分別為x， y，那么 x， y 所適合的方程組是 ()(A)yx48,(B)yx48,(C)yx48,xy48,yx90.y2x.y2x90.(D)2x90.y5. 已知代數(shù)式1 xa1 y3 與3x b y2ab

14、是同類項(xiàng)，那么a、b 的值分別是（）2A.a2B.a2C.a2b1b1b1精品資料歡迎下載6關(guān)于 x，y 的方程組3ax2by0, 的解為x1,則 a， b 的值分別為 () 5ax3by19y1.(A)2 和 3(B)2 和 3(C)2 和 3(D)2 和 37與方程組x2 y3 0, 有完全相同的解的是()2 xy0(A) x 2y 3 0(B)2 x y 0(C) (x 2y 3)(2 x y) 0(D) x 2y 3 (2xy)2 08若方程組2 xmy4, 的解為正整數(shù)，則m 的值為 ()(A)2(B)4 (C)6(D) 4x4 y8三、解答題a bc25,4x3 y7,的解中，1.已知求 b 的值2如果關(guān)于 x，y 的方程組1 x2a3b2c 15. kyk 32x 與 y 互為