第二章+2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì);2.3確定二次函數(shù)的表達式

1、初中數(shù)學第二章 2.2-2.3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；確定二次函數(shù)的表達式編稿老師董志臣一校程文軍二校楊雪審核鄭建彬二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)3一、考點突破1. 掌握二次函數(shù)圖象的對稱性、平移等規(guī)律；2. 應用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)解決問題。二、重難點提示重點：分辨各種情況的對稱性、掌握平移規(guī)律。難點：理解對稱、平移的根據(jù)。1. 二次函數(shù)圖象的對稱（用一般式或頂點式說明） 關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是。 關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是。 關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是。 關(guān)于頂點對

2、稱關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是?！疽?guī)律總結(jié)】 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變。求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式。2. 二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：【規(guī)律總結(jié)】在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”。概括成八個字“左加

3、右減，上加下減”。例題1 （荊州）將拋物線y=x26x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，得到的拋物線解析式是（）A. y=（x4）26 B. y=（x4）22 C. y=（x2）22 D. y=（x1）23思路分析：先把y=x26x+5配成頂點式，得到拋物線的頂點坐標為（3，4），再把點（3，4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標為（4，2），然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式。答案：解：y=x26x+5=（x3）24，即拋物線的頂點坐標為（3，4），把點（3，4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到點（4，2），所以平移后得到的拋物線

4、解析式為y=（x4）22。故選B。技巧點撥：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式。例題2 （路南區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=x23x4的圖象，將其函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，結(jié)合圖象寫出當直線y=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，n的取值范圍為 。思路分析：先求出拋物線y=x23x4與x軸的交點A、B的坐標，再分別求出直線y=x+n經(jīng)過點A、B時n的取值，進而求出其取值范圍。答案：解：令x23x4=0，解得：x1=1，x2=4，故A，B兩點的坐標

5、分別為A（1，0），B（4，0）如圖，當直線y=x+n（n1），經(jīng)過A點時，可得n=1，當直線y=x+n經(jīng)過B點時，可得n=4，n的取值范圍為4n1；翻折后的二次函數(shù)解析式為y=x2+3x+4，當直線y=x+n與二次函數(shù)y=x2+3x+4的圖象只有一個交點時，x+n=x2+3x+4，整理得：x22x+n4=0，=44（n4）=204n=0， 解得：n=5，所以n的取值范圍為：n5。由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：4n1或n5。故答案為：4n1或n5。技巧點撥：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是求出直線y=x+n經(jīng)過點A、B時n的值，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想。二次函數(shù)的解析式與圖象的幾

6、何變換根據(jù)二次函數(shù)的解析式，可以畫出二次函數(shù)的圖象，同樣二次函數(shù)圖象的變化也會改變它的解析式，掌握好對稱，平移等二次函數(shù)的幾何變換規(guī)律，不畫出圖象也能得出二次函數(shù)解析式的變化情況?！踞槍τ柧殹浚ńB興）如果二次函數(shù)的二次項系數(shù)為l，則此二次函數(shù)可表示為y=x2+px+q，我們稱p，q為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù)y=x2+2x+3的特征數(shù)是2，3。（1）若一個函數(shù)的特征數(shù)為2，1，求此函數(shù)圖象的頂點坐標。（2）探究下列問題：若一個函數(shù)的特征數(shù)為4，1，將此函數(shù)的圖象先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，求得到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)。若一個函數(shù)的特征數(shù)為2，3，問此函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移，才能使得

7、到的圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)為3，4？思路分析：（1）根據(jù)題意得出函數(shù)解析式，進而得出頂點坐標即可；（2）首先得出函數(shù)解析式，進而利用函數(shù)平移規(guī)律得出答案；分別求出兩函數(shù)解析式，進而得出平移規(guī)律。答案：解：（1）由題意可得出：y=x22x+1=（x1）2，此函數(shù)圖象的頂點坐標為：（1，0）；（2）由題意可得出：y=x2+4x1=（x+2）25，將此函數(shù)的圖象先向右平移1個單位，再向上平移1個單位后得到：y=（x+21）25+1=（x+1）24=x2+2x3，圖象對應的函數(shù)的特征數(shù)為：2，3；一個函數(shù)的特征數(shù)為2，3，函數(shù)解析式為：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，一個函數(shù)的特征數(shù)為3，4，函

8、數(shù)解析式為：y=x2+3x+4=（x+）2+，原函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位得到。技巧點撥：此題主要考查了二次函數(shù)的平移以及配方法求函數(shù)解析式，利用特征數(shù)得出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵。（答題時間：30分鐘）1. 將拋物線y=（x1）2+3向左平移1個單位，得到的拋物線與y軸的交點坐標是（）A. （0，2）B. （0，3）C. （0，4）D. （0，7）2. 把拋物線y=x2+x沿x軸向右平移1個單位后，再沿x軸翻折得到拋物線C1稱為第一次操作，把拋物線C1沿x軸向右平移1個單位后，再沿x軸翻折得到拋物線C2稱為第二次操作，以此類推，則拋物線y=x2+x經(jīng)過第2014次操作后得到的拋

9、物線C2014的解析式為（）A. y=(x2014)2 B. y=(x2014)2 C. y=(x2014)2+ D. y=(x2014)2+3. 如圖，一段拋物線y=x（x1）（0x1）記為m1，它與x軸交點為O、A1，頂點為P1；將m1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得m2，交x軸于點A2，頂點為P2；將m2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得m3，交x軸于點A3，頂點為P3，如此進行下去，直至得m10，頂點為P10，則P10的坐標為（ ）A. （9.5，0.25） B. （9.5， 0.25） C. （9.5，0.25） D. （9.5， 0.25）*4. 在平面直角坐標系中，函數(shù)y=x22x

10、（x0）的圖象為C1，C1關(guān)于原點對稱的圖象為C2，則直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點共有（）A. 1個 B. 1個或2個 C. 1個或2個或3個 D. 1個或2個或3個或4個5. 在平面直角坐標系中，若將拋物線y=2x24x+3先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，則經(jīng)過這兩次平移后所得拋物線的頂點坐標是 。*6. 已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過三個點（0，5），（4，5）（3，0）并且與x軸的另一個交點為點P，若將拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則點P的對應點的坐標為 。7. 如圖，已知拋物線y=x22x+2與y軸交于點A。（1）平移該拋物線使其經(jīng)過點A

11、和點B（2，0），求平移后的拋物線解析式；（2）求該拋物線的對稱軸與（1）中平移后的拋物線對稱軸之間的距離。*8. 如圖所示，已知拋物線y=2x24x的圖象E，將其向右平移兩個單位后得到圖象F。（1）求圖象F所表示的拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線F和x軸相交于點O、點B（點B位于點O的右側(cè)），頂點為點C，點A位于y軸負半軸上，且到x軸的距離等于點C到x軸的距離的2倍，求AB所在直線的解析式。1. B 解析：拋物線y=（x1）2+3的頂點坐標為（1，3），把點（1，3）向左平移1個單位得到點的坐標為（0，3），所以平移后拋物線解析式為y=x2+3，所以得到的拋物線與y軸的交點坐標為（0，3）。故

12、選B。2. D 解析：經(jīng)過第2014次操作后得到的拋物線C2014 與拋物線y=x2+x開口方向相同，相當于拋物線y=x2+x沿x軸向右平移2014個單位，y=x2+x=(x)2+經(jīng)過第2014次操作后得到的拋物線C2014的解析式為：y (x2014)2+，故選D。3. C 解析：y=x（x1）（0x1），OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，P2（1.5，0.25）P10的橫坐標是1.5+2×（102）÷2=9.5，p10的縱坐標是0.25，故答案為（9.5，0.25），故選C。4. C 解析：函數(shù)y=x22x（x0）的圖象為C1，C1關(guān)于原點對稱的圖象為C2，

13、C2圖象是y=x22x，當a小于1時，直線y=a（a為常數(shù)）與C1沒有交點，共有一個交點；直線y=a經(jīng)過C1或C2的頂點時，共有兩個交點；直線y=a（a為常數(shù)）與C1有兩個交點時，直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點共有三個；故選C。5. （4，3） 解析：y=2x24x+3=2（x22x）+3=2（x1）2+1，將拋物線y=2x24x+3先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到：y=2（x4）2+3，經(jīng)過這兩次平移后所得拋物線的頂點坐標是：（4，3），故答案為：（4，3）。6.（1，1） 解析：y=ax2+bx+c經(jīng)過三個點（0，5），（4，5）（3，0），對稱軸是x=2，點

14、P與（3，0）關(guān)于x=2對稱，P（1，0），若將拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，12=1，01=1，點P的對應點的坐標為（1，1），故答案為：（1，1）。7. 解：（1）令x=0，則y=2，所以，點A的坐標為（0，2），設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2+bx+c，拋物線經(jīng)過點A，c=2，拋物線經(jīng)過點B，4+2b+2=0，b=3，y=x23x+2；（2）y=x22x+2的對稱軸是直線x=1，拋物線y=x23x+2的對稱軸是直線x=，兩對稱軸之間的距離是。8. 解：（1）拋物線y=2x24x=2（x+1）2+2的圖象E，將其向右平移兩個單位后得到圖象F，圖象F所表示的拋物線的解析式為

15、y=2（x+12）2+2，即y=2（x1）2+2；（2）y=2（x1）2+2，頂點C的坐標為（1，2），當y=0時，2（x1）2+2=0，解得x=0或2，點B的坐標為（2，0），設(shè)A點坐標為（0，y），則y0，點A到x軸的距離等于點C到x軸的距離的2倍，y=2×2，解得y=4，A點坐標為（0，4），設(shè)AB所在直線的解析式為y=kx+b（k0），由題意，得b4，2k+b0，解得k2，b4，AB所在直線的解析式為y=2x4。 二次函數(shù)的解析式一、考點突破1. 掌握求二次函數(shù)解析式的方法。2. 能夠根據(jù)題目要求選擇合適的求解析式的方法解決問題。二、重難點提示重點：求二次函數(shù)解析式。難點：根

16、據(jù)問題選擇合適的方法，求二次函數(shù)解析式。1. 二次函數(shù)的解析式的四種形式一般式：（）。頂點式：（）。其中（，）為頂點，對稱軸為。交點式：（）。其中，為拋物線與軸交點的橫坐標。對稱點式：（）。其中（，），（，）為圖象上兩個對稱的點。2. 確定二次函數(shù)解析式的幾種基本思路根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便。一般來說，有如下幾種情況： 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式； 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式； 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用交點式； 已知拋物線上縱坐標

17、相同的兩點，常選用對稱點式。例題1 （寶安區(qū)一模）如圖，已知拋物線l1：y=（x2）22與x軸分別交于O、A兩點，將拋物線l1向上平移得到l2，過點A作ABx軸交拋物線l2于點B，如果由拋物線l1、l2、直線AB及y軸所圍成的陰影部分的面積為16，則拋物線l2的函數(shù)解析式為（）A. y=（x2）2+4 B. y=（x2）2+3 C. y=（x2）2+2 D. y=（x2）2+1思路分析：根據(jù)題意可推知由拋物線l1、l2、直線AB及y軸所圍成的陰影部分的面積就是矩形ABCO的面積；然后再根據(jù)拋物線l1的解析式，求得O、A兩點的坐標，從而解得OA的長度；最后再由矩形的面積公式，求得AB的長度，即l

18、2是由拋物線l1向上平移多少個單位得到的。答案：解：連接BC，l2是由拋物線l1向上平移得到的，由拋物線l1、l2、直線AB及y軸所圍成的陰影部分的面積就是矩形ABCO的面積；拋物線l1的解析式是y=（x2）22，拋物線l1與x軸分別交于O（0，0）、A（4，0）兩點，OA=4；OAAB=16，AB=4；l2是由拋物線l1向上平移4個單位得到的，l2的解析式為：y=（x2）22+4，即y=（x2）2+2，選C。技巧點撥：本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)。要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系。

19、例題2 （杭州）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a0）過A（0，2），B（4，3），C三點，其中點C在直線x=2上，且點C到拋物線的對稱軸的距離等于1，則拋物線的函數(shù)解析式為 。思路分析：根據(jù)點C的位置分情況確定出對稱軸解析式，然后設(shè)出拋物線解析式，再把點A、B的坐標代入求解即可。答案：解：點C在直線x=2上，且到拋物線的對稱軸的距離等于1，拋物線的對稱軸為直線x=1或x=3，當對稱軸為直線x=1時，設(shè)拋物線解析式為y=a（x1）2+k，將A（0，2），B（4，3）代入解析式，則a+k2，9a+k3，解得a ，k，所以，y=（x1）2+=x2x+2；當對稱軸為直線x=3時，設(shè)拋物線解析

20、式為y=a（x3）2+k，將A（0，2），B（4，3）代入解析式，則9a+k2，a+k3，解得a，k，所以，y=（x3）2+=x2+x+2，綜上所述，拋物線的函數(shù)解析式為y=x2x+2；y=x2+x+2，故答案為： y=x2x+2；y=x2+x+2。技巧點撥：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，難點在于分情況確定出對稱軸解析式并討論求解。例題3 （陜西）已知拋物線C：y=x2+bx+c經(jīng)過A（3，0）和B（0，3）兩點，將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N。（1）求拋物線C的表達式；（2）求點M的坐標；（3）將拋物線C平移到拋物線C，拋物線C的頂

21、點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N。如果以點M、N、M、N為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應將拋物線C怎樣平移？為什么？思路分析：（1）直接把A（3，0）和B（0，3）兩點代入拋物線y=x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，可得出其頂點坐標；（3）根據(jù)平行四邊形的定義，可知有四種情形符合條件，如解答圖所示，需要分類討論。答案：（1）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（3，0）和B（0，3）兩點，93b+c0，c3，解得b2，c3，故此拋物線的解析式為：y=x22x+3；（2）由（1）知拋物線的解析式為：y=x22x+3，當x=1時，y=4，M（1，4

22、）。（3）由題意，以點M、N、M、N為頂點的平行四邊形的邊MN的對邊只能是MN，MNMN且MN=MNMNNN=16，NN=4。當以M、N、M、N為頂點的平行四邊形是MNNM時，將拋物線C向左或向右平移4個單位，可得符合條件的拋物線C。當以M、N、M、N為頂點的平行四邊形是MNMN時，將拋物線C先向左或向右平移4個單位，再向下平移8個單位，可得符合條件的拋物線C。上述的四種平移，均可得到符合條件的拋物線C。技巧點撥：本題考查了拋物線的平移變換、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點。第（3）問需要分類討論，避免漏解?！揪C合拓展】如圖，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y

23、軸交于點B（0，3），與x軸交于C、D兩點，點P是x軸上的一個動點。（1）求此拋物線的解析式；（2）當PA+PB的值最小時，求點P的坐標。思路分析：（1）設(shè)拋物線頂點式解析式y(tǒng)=a（x1）2+4，然后把點B的坐標代入求出a的值，即可得解；（2）先求出點B關(guān)于x軸的對稱點B的坐標，連接AB與x軸相交，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求的點P，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AB的解析式，再求出與x軸的交點即可。答案：（1）拋物線的頂點為A（1，4），設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x1）2+4，把點B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=1，拋物線的解析式為y=（x1）2+4；（2）點B

24、關(guān)于x軸的對稱點B的坐標為（0，3），由軸對稱確定最短路線問題，連接AB與x軸的交點即為點P，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k0），則k+b4，b3，解得k7，b3，直線AB的解析式為y=7x3，令y=0，則7x3=0，解得x=，所以，當PA+PB的值最小時的點P的坐標為（，0）。技巧點撥：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，（1）利用頂點式解析式求解更簡便，（2）熟練掌握點P的確定方法是解題的關(guān)鍵。（答題時間：30分鐘）1. 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對應值如下表：則當x=1時，y的值為（）x765432y27133

25、353A. 5 B. 3 C. 13 D. 272. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個二次函數(shù)的表達式為（）A. y=x22x+3 B. y=x22x3 C. y=x2+2x3 D. y=x2+2x+33. 若所求的二次函數(shù)圖象與拋物線y=2x24x1有相同的頂點，并且在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，則所求二次函數(shù)的解析式為（）A. y=x2+2x5 B. y=ax22ax+a3（a0）C. y=2x24x5 D. y=ax22ax+a3（a0）*4. 已知拋物線過點A（2，0），B（1，0），與y軸交于點C，且OC=2，則這條拋物線的解析式為（）A.

26、 y=x2x2 B. y=x2+x+2 C. y=x2x2或y=x2+x+2 D. y=x2x2或y=x2+x+2*5. 如圖，四邊形ABCD是矩形，A、B兩點在x軸的正半軸上，C、D兩點在拋物線y=x2+6x上。設(shè)OA=m（0m3），矩形ABCD的周長為l，則l與m的函數(shù)解析式為_。*6. 如圖，已知點F的坐標為（3，0），點A，B分別是以y軸為對稱軸的某二次函數(shù)部分圖象與x軸、y軸的交點，點P是此圖象上的一動點。設(shè)點P的橫坐標為x，PF的長為d，且d與x之間滿足關(guān)系：d=5x（0x5），則此二次函數(shù)的解析式為 。7. 如圖，拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），請解答

27、下列問題：（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的頂點為點D，對稱軸與x軸交于點E，連接BD，求BD的長。*8. 已知二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象如圖所示，在下列五個結(jié)論中：2ab0；abc0；abc0；abc0；4a2bc0，錯誤的個數(shù)有（）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個1. D 解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（xh）2+k，當x=4或2時，y=3，由拋物線的對稱性可知h=3，k=5，y=a（x+3）2+5，把（2，3）代入得，a=2，二次函數(shù)的解析式為y=2（x+3）2+5，當x=1時，y=27。故選D。2. B 解：根據(jù)題意，圖象與y軸交于負半軸，故c為負數(shù)，又四個選項中，B、C的c為3，符合題意，圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，所以，a與b的符號相反。所以C選項不符合題意，故選B。3. D 解：拋物線y=2x24x1的頂點坐標為（1，3），根據(jù)題意得，所求的二次函數(shù)解析式的頂點坐標是（1，3），且拋物線開口向下。A. 拋物線開