偏微分課件(3)分離變量法課件

1、2021-11-81偏微分方程偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)2021-11-82許多物理現(xiàn)象都具有疊加性：由幾種不同原因同時出現(xiàn)時所產(chǎn)生的效果，等于各個原因單獨出現(xiàn)時所產(chǎn)生的效果的疊加，這就是物理學中的疊加原理。疊加原理。在解決數(shù)學中的線性問題時，可應(yīng)用物理學中的疊加原理。疊加原理。分離變量法又稱Fourier方法，而在波動方程情形也稱為駐波法。它是解決數(shù)學物理方程定解問題中的一中基本方法，這個方法建立在疊加原理的基礎(chǔ)上，其基本出發(fā)點是物理學中的機械振動和電磁振動機械振動和電磁振動（總可分解為一些簡諧振動的疊加）2021-11-83波動方程

2、有界弦的自由振動熱傳導方程橢圓方程一維情形高維情形有界弦的強迫振動齊次方程非齊次方程周期性條件自然邊界條件一維情形高維情形2021-11-841. 有界弦的自由振動)()0 ,(),()0 ,(,0),(),0(0 ,0 ,22222xxuxxutLutuLxtxuatut(1.1)(1.2)(1.3)(1.4) 首先設(shè)法找到所有具有變量分離變量分離形式的滿足方程（1.1）和邊界條件（1.2）的非零特解。這些非零特解的線性疊加仍滿足方程和邊界條件。所謂函數(shù) u(x,t) 具有變量分離形式，即它可表示為)()(),(tTxXtxu(1.5)(I)2021-11-85將（1.5）代入方程（1.1）

3、和邊界條件（1.2）得到TXaTX 2 即)()()()(2xXxXtTatT 以及0)()()()0(tTLXtTX(1.6)(1.7)(1.6)式中，左端是t的函數(shù)，右端是x的函數(shù)，由此可得只能是常數(shù)，記為 。從而有)0( ,0LxXX 0)(t ,02 TaT(1.8)(1.9)0)()0(LXX(1.10)2021-11-86(II)本征值問題本征值問題)0( ,0LxXX (1.9)0)()0(LXX(1.10)情形（情形（A） 情形（情形（B）00其通解為,)(21xxeCeCxX由(1.10)，可推出, 021CC021LLeCeC021 CC只有零解。其通解為,)(21xCCx

4、X由(1.10)，可推出021 CC只有零解。2021-11-87情形（情形（C）0方程的通解為,sincos)(21xCxCxX由邊界條件X(0) = 0推出, 01C再由, 0sin)(2LCLX知道為了使, 02C必須. 0sinL于是有. )1,2,3,(k ,kL. )321( ,222,kLkk這樣就找到了一族非零解), 2 , 1( ,sin)(kxLkCxXkk本征值本征函數(shù)(1.11)(1.12)2021-11-88)321( ,222,kLkk由此，就得到方程（1.1）滿足邊界條件（1.2）的變量分離的非零特解代入(1.8)可得), 2 , 1( ,sincos)(ktLa

5、kBtLakAtTkkk sinsincos )()(),(xLktLakBtLakAtTxXtxukkkkk), 2 , 1( k(1.13)其通解為)1,2,3,(k , 02222 TLkaT2021-11-89(III)特解的疊加特解的疊加為了求出原定解問題的解，還需滿足初始條件（1.3）。一般來講，前面求出的特解不一定滿足初始條件。為此，我們把所有特解 疊加起來，并使之滿足初始條件，即取),(txuk sinsincos )()(),(11kkkkkkxLktLakBtLakAtTxXtxu使得(1.14) sin )0 ,()(1kkxLkAxux(1.15) sin )0 ,()

6、(1kktxLkLBakxux(1.16)2021-11-810因此， LBakk)(x,kA),(x應(yīng)分別是在0, L區(qū)間上正弦展開的Fourier級數(shù)的系數(shù)，即d sin)(20LkLkLA(1.17)d sin)(20LkLkakB(1.18), 2 , 1( k 這樣，我們就給出了混合問題（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系數(shù)由公式（1.17）和（1.18）給出。2021-11-811,sinxLk,sinxL,2sinxL是0, L上的正交函數(shù)列nmnmLxdxLnxLmL0,2sinsin0,cosxLk,cosxL,2cosxL是0, L上的正交函數(shù)列nmnmLnm

7、LxdxLnxLmL000,2coscos0, 12021-11-812分離變量法的解題步驟分離變量法的解題步驟第一步第一步第二步第二步第三步第三步)()(),(tTxXtxu令適合方程和邊界條件，從而定出)(xX所適合的常微分方程齊次邊值問題常微分方程齊次邊值問題，以及)(tT適合的常微分方程。本征值問題求解該常微分方程齊次邊值問題，求出全部本征值和本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的 的表達式。)(tT將所有變量分離形式的特解疊加起來，并利用初始條件定出所有待定系數(shù)。2021-11-813物理意義物理意義)sin(sin sinsincos),(kkkkkktxLkNxLktLakBtLakAtxu其中

8、,22kkkBAN,arctankkkBALakk 對任意時刻,0txLktNtxukkkksin)sin( ),(00這說明，任一時刻弦的形狀都是正弦波，)sin(0kkktN其振幅隨不同的時間0t而不同。2021-11-814 對任意一點,0 x)sin(sin ),(00kkkktxLkNtxu這表示在任意一點0 x處都作簡諧振動。,knLxnkn, 2 , 1 , 00 ),(txunk節(jié)點節(jié)點Lakk固有頻率固有頻率2021-11-815例xLxuxLxxutLutuLxtxuatut2sin)0 ,(),()0 ,(,0),(),0(0 ,0 ,22222令)()(),(tTxXt

9、xu是齊次方程和齊次邊界條件的非零解則有)0( , 0LxXX 0)()0(LXX0)(t , 02 TaT ,222LkkxLkCxXkksin)(tLakBtLakAtTkkksincos)(2021-11-816d sin)(20LkLkLLAd sin2sin20LkLkLakB sinsincos )()(),(11kkkkkkxLktLakBtLakAtTxXtxu故有其中2, 02,2kkaL) 1(1 4332kkLLLkLk0dcos)(2LLkLk0dcos)2(2LLkkL022dsin42021-11-817xLtLaaLxLktLakkLtTxXtxukkkkk2si

10、n 2sin2 sin cos) 1(14 )()(),(133212021-11-8182. 有界弦的強迫振動有界弦的強迫振動0)0 ,(, 0)0 ,(, 0),(), 0(0 , 0 ),(22222xuxutLutuLxttxfxuatut(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)方法一方法一方法二方法二齊次化原理分離變量法2021-11-819齊次化原理齊次化原理:),(),(, 0),(, 0),(), 0( )(t ,22222xftxwtxwtLwtwxwatwttt若);,(txw混合問題的解，則dtxwtxut0);,(),(2.6)(2.5)就是混合問題（2.1）-（2.4

11、）的解。2021-11-820令,tt混合問題（2.5）就化為),(),(, 0),(, 0),(), 0( )0t ( ,0022222xftxwtxwtLwtwxwatwttt(2.7)由于方程和邊界條件都是齊次的，由此根據(jù)上一小節(jié)的結(jié)論即得 sinsin)();,(1kkxLktLakBtxw sin)(sin)();,(1kkxLktLakBtxw其中d sin),(2)(0LkLkfakB(2.8)(2.9)2021-11-821根據(jù)齊次化原理，dtxwtxut0);,(),( d sin)(sin)(10ktkxLktLakB(2.10)d sin),(2)(0LkLkfakB其中

12、2021-11-822分離變量法分離變量法:),(sinsin122txfxLk(t)CaLkxLk(t)Ckkk 令是混合問題的解。顯見上述函數(shù)滿足（2.2）。(2.11)(2.1) sin),(1kkxLk(t)Ctxu),(sin12txfxLk(t)CLak(t)Ckkk (2.3)(2.4)0 sin0)0 ,(1kkxLk)(Cxu0 sin0)0 ,(1kktxLk)(Cxu(2.12)(2.13)(2.14)2021-11-823(2.12)，)( sin),(202tfdxLxktxfL(t)CLak(t)CkLkk 0 (0) kC0 (0) kC(2.13)，(2.14)

13、, 2 , 1( ktkkdLtakfakLtC0)(sin)( )(), 2 , 1( k sin)(sin)(),(10ktkxLkdLtakfakLtxu2021-11-824非齊次邊界條件的定解問題非齊次邊界條件的定解問題)()0 ,(),()0 ,(),(),(),(), 0(0 , 0 ),(22222xxuxxuttLuttuLxttxfxuatut我們注意到齊次的邊界條件是分離變量法所必需的，為此作函數(shù)變換)()()(),(),(ttLxttxutxv )0()0()0()()0,(),0()0()0()()0,(,0),(,0),0( ),()()(),(22222Lxxxv

14、LxxxvtLvtvttLxttxfxvatvt邊界齊次化2021-11-825齊次邊界條件的另一類定解問題齊次邊界條件的另一類定解問題)()0 ,(),()0 ,(, 0),(), 0(0 , 0 ),(22222xxuxxutLutuLxttxfxuatutxx)0( ,0LxXX 0)(t ,02 TaT0)()0(LXX2021-11-8263. 有界細桿的熱傳導方程有界細桿的熱傳導方程),()0 ,(, 0),(, 0), 0(0 , 0 ),(222xxutLutuLxttxfxuatu)()0 ,(, 0),(, 0), 0( ,222xxutLutuxuatu0)0 ,(, 0

15、),(, 0), 0( ),(222xutLututxfxuatu2021-11-827 首先找到所有具有變量分離變量分離形式的滿足齊次方程和齊次邊界條件的非零特解。令)()(),(tTxXtxu(I)3.1 齊次方程情形齊次方程情形0 2 TXaTX )()()()(2xXxXtTatT0)()()()0(tTLXtTX)0( ,0LxXX 0)(t ,02TaT0)()0(LXX代入方程和邊界條件得到即以及2021-11-828(II)本征值問題本征值問題)0( ,0LxXX 0)()0(LXX. )321( ,222,kLkk), 2 , 1( ,sin)(kxLkCxXkk本征值本征函

16、數(shù)), 2 , 1( ,)(exp)(2ktLakBtTkk2021-11-829(III)特解的疊加特解的疊加 sin )()(),(112ktLakkkkkxLkeAtTxXtxu使得 sin )0 ,()(1kkxLkAxuxd sin)(20LkLkLA其中2021-11-8303.2 非齊次方程情形非齊次方程情形0)0 ,(, 0),(, 0), 0( ),(222xutLututxfxuatu方法一方法一方法二方法二齊次化原理分離變量法2021-11-8314. 矩形薄板的熱傳導方程)()(),()0 ,(, 0, 00 ,0 , 0 ,0022222byyaxxyxyxuuuuu

17、byaxtyuxuktubyyaxx利用分離變量法)(),(),(tTyxVtyxu)()(),(22222tTyVxVktTyxVVVVtTktTyyxx)()(2（4.1）（4.2）（4.3）2021-11-8320VVVyyxx（4.6）（4.5）（4.4）0)()(2tTktT再設(shè))()(),(yYxXyxV0 XYYXYX（4.7） YYYXX0 XX0)( YY（4.8）（4.9）2021-11-833由邊界條件0)()0(aXX0)()0(bYY0 XX0)()0(aXX0)( YY0)()0(bYY2anxanCxXnnsin)(,2, 1n2bmybmDyYmmsin)(,2

18、, 1m2021-11-834從而有ybmxanDCyYxXyxVmnmnnmsinsin )()(),(,且22bman),2, 1,(nm代入（4.4）可得tkbmanEtTnm222,exp)(2021-11-835于是ybmxantkbmanEDCtyxumnnmsinsinexp),(222,),2, 1,(nm特解的疊加1122211,sinsinexp),(),(mnmnmnnmybmxantkbmanAtyxutyxu2021-11-836系數(shù)的確定 （二重Fourier級數(shù)展開式）yxybmxanyxabAabmnd d sinsin),(400 若)()(),(byyaxx

19、yx則1)1()(41)1()(4 dsin)(2 d sin)(2323200mnbamnmbnayybmbyybxxanaxxaA2021-11-8375. 橢圓方程)( 0,2222Pfuyuxuu1:22yx 以前的定解問題所在的區(qū)域都是區(qū)間或矩形域，均采用直角坐標系。但如果定解區(qū)域為圓形、圓柱形或者球形是，采用直角坐標系難以適用，而采用極坐標系、柱坐標系或者球面坐標系。（5.1）2021-11-838作自變量變換sincosryrx 02222yuxuu 01122222urrurru ),(yxuu ),(ruu xyyxrarctan222021-11-839演算過程,rxxr,

20、ryyr,2ryx2rxy,xuxrruxu,22222222222222xuxrruxuxxrruxrruxu,yuyrruyu,22222222222222yuyrruyuyyrruyrruyu,13222rxrxr,13222ryryr,2422rxyx,2422rxyy2021-11-840rururruyuxuu11 222222222,21243222222222222rxyurxrruryuryrxrurxruxu,21243222222222222rxyuryrrurxurxryruryruyu2021-11-841原定解問題轉(zhuǎn)化為)(), 1 ( 0,1122222ururu

21、rru1r0 2r0 （5.2）下面采用分離變量法來求解。為此，令)()(),(rRru代入，即得0)()(1)()(1)()(2 rRrrRrrR分離變量 )()()()()(2rRrRrrRr（5.3）2021-11-8420)()( 0)()()(2 rRrRrrRr（5.4）（5.5）)2()(（5.6）（5.7）)0(R周期性條件自然邊界條件2021-11-843現(xiàn)在求解本征值問題（5.4）-（5.5）0)()( )2()(0其通解為,)(21eCeC這不是周期函數(shù)0其通解為,)(21CC 這不是周期函數(shù), 02C, 02C是周期函數(shù)20其通解為,sincos)(21CC為了滿足（5

22、.5），必須n),2, 1(n2021-11-844本征值為本征函數(shù)為2nn),2, 1 ,0(n,sincos)(ndncnnn0)()()(22 rRnrRrrRr)0(R代入（5.6）歐拉方程0n0)()( rRrRrrbarRln)(000n0)()()(22 rRnrRrrRrnnnnrbrarR)()0(R0, 00nbb2021-11-845,sincos)()(),(nBnArrRrunnnnnn),2, 1 ,0(n特解疊加100sincos sincos),(nnnnnnnnnBnArAnBnArru系數(shù)確定0cosnn1sinnn正交列d cos)(120nAnd )(21200A),2, 1(nd sin)(120nBn2021-11-846dsinsincoscos)(1d )(21sincos),(1202010 nnnnnnnnnnrnBnArArud )()(cos2121201nnnr1)()(11)(cos21ninninnnnerernr22)()(