向量數(shù)乘運算及其幾何意義教案

1、 2.2.1向量加法運算及其幾何意義教案 一、 教學目標知識目標：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會用它們進行向量運算能力目標：經(jīng)歷向量加法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會將實際問題抽象為數(shù)學概念的思想方法，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力情感目標：經(jīng)歷運用數(shù)學來描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程，體驗探索的樂趣，激發(fā)學生的學習熱情培養(yǎng)學生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質(zhì)二、 重點與難點 重點：向量加法的定義與三角形法則的概念建構(gòu)；以及利用法則作兩個向量的和向量 難點：理解向量的加法法則及其幾何意義三、 教法學法教法運用

2、了“問題情境教學法”、“啟發(fā)式教學法”和“多媒體輔助教學法” 學法采用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學習模式 四、 教學過程新課程理念下的教學過程是一個內(nèi)容活化、創(chuàng)生的過程，是一個學生思考、體驗的過程，更是一個師生互動、發(fā)展的過程基于此，我設定了5個教學環(huán)節(jié)：一、 創(chuàng)設情境 引入課題師：在前一節(jié)課中我們學習了一個新的量向量，今天就讓我們共同來探究向量的加法運算，首先，請看課件（出示）點評：無論是臺球還是飛機，從最初的位置到達最終的位置都是經(jīng)歷了兩次位移，如果從作用效果角度來看，這兩次位移的作用效果就等于從起點到終點的一次位移，在物理上，我們就把這次位移稱作是之前兩次位移之和 【問題1

3、】位移求和時，兩次位移的位置關系是什么？如何作出它們的和位移？2 / 17兩次位移首尾相連，其和位移是由起點指向終點學生活動：學生討論，自主探究點評：位移是個物理量，如果拋開它的物理屬性，它正是我們研究的向量那么，受到位移求和的啟發(fā)，能否找到求解向量之和的方法呢？二、 實踐探究 總結(jié)規(guī)律【問題2】如圖所示，對于向量和如何求解它們的和呢？活動設計：小組探究、代表匯報（1）.由他們自己得出問題的答案：“在平面內(nèi)任取一點O，平移使其起點為點O，平移使其起點與向量的終點重合，再連接向量的起點與向量的終點”（2）.鼓勵學生自己給出定義： 加法的定義：已知向量，在平面內(nèi)任取一點O，作，則向量叫做向量的和記

4、作：即 （3）.向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則點評：加法的定義其實是用數(shù)學的作圖語言來刻畫的，這種方法經(jīng)常出現(xiàn)在幾何 中，這一點也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向量數(shù)形結(jié)合的特征“觀察小猴過河的動畫短片”【問題3】平行四邊形法則有何特點？ 是平移兩個向量至共起點 【問題4】想想你遇到過一些可以用向量求和來解釋生活現(xiàn)象嗎？活動設計：學生以小組為單位討論，小組匯報比比誰的例子最多，最貼切三、 類比聯(lián)想 探究性質(zhì) 【問題5】請類比實數(shù)加法的性質(zhì)完成表格，并通過畫圖的方法驗證你的結(jié)論實數(shù)的加法向量的加法性質(zhì)四、 數(shù)學運用 深化認識例1：如圖，已知、，作出a

5、bbaab 設計意圖學生會看到三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性 ABCED例2：根據(jù)圖示填空（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） 設計意圖在訓練三角形法則的同時，使同學們注意到三角形法則推廣到n個向量相加的形式即 向量數(shù)乘運算及其幾何意義一.教學目標1.知識與技能: 通過實例，掌握向量數(shù)乘運算，理解其幾何意義，理解向量共線定理。熟練運用定義、運算律進行有關計算，能夠運用定理解決向量共線、三點共線、直線平行等問題。2.過程與方法:理解掌握向量共線定理及其證明過程，會根據(jù)向量共線定理判斷兩個向量是否共線。3.態(tài)度情感與價值觀：通過由實例到概念

6、，由具體到抽象，培養(yǎng)學生自主探究知識形成的過程的能力，合作釋疑過程中合作交流的能力。激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和積極性，陶冶學生的情感，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度，勇于創(chuàng)新的精神。二.教學重難點重點：掌握實數(shù)與向量的積的定義、運算律,理解向量共線定理。難點：向量共線定理的探究及其應用。三.教學過程（一）復習回顧問題1：向量加法的運算法則？問題2：向量減法的運算法則？ （二）新課講解1.向量數(shù)量積的定義【探究1】已知非零向量，作出和，你能說出他們的幾何意義嗎？問題1：相加后，和的長度和方向有什么變化？問題2：這些變化與哪些因素有關？一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記

7、作： ，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）（2）當>0時，的方向與的方向相同；當<0時，的方向與的方向相反。由（1）可知，當或時，練2.向量數(shù)乘的運算律【探究2】問題一：求作向量和(為非零向量)，并進行比較。問題二：已知向量、，求作向量和，并進行比較。類比實數(shù)乘法的運算律得向量數(shù)乘的運算律：設、為任意向量，、為任意實數(shù)，則有：結(jié)合律： 第一分配律：第二分配律： 向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算。對于任意向量、及任意實數(shù)、,恒有。例5：計算(口答) (1) (2) (3) 3、向量共線定理【探究3】問題1：如果 (), 那么，向量與是否共線？問題2: 與非零向量共線， 那么，

8、？思考：1. 為什么要是非零向量？ 2. 可以是零向量嗎？向量共線定理 ： 向量與非零向量共線當且僅當有唯一一個實數(shù)，使得 例6.已知任意兩非零向量、，試作, ，。你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？CEABD【變式練習】如圖，已知、，試判斷與是否共線? 思考：在本題中，若B、C分別是AD、AE的三等分點，你能否利用向量關系來證明BCDE呢？總結(jié): 證明 向量共線； 證明 三點共線: 兩向量共線且有一個公共點若，即與共線且有一個公共點B，則A、B、C三點共線；直線AB直線CD。 證明 兩直線平行: AB、CD 不重合空間向量立體幾何知識點集錦一、空間向量的加法和減法：求兩個向量差的

9、運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則即：在空間任取一點，作，則求兩個向量和的運算稱為向量的加法：在空間以同一點為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則二、實數(shù)與空間向量的乘積是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，為零向量，記為的長度是的長度的倍三、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線四、向量共線充要條件：對于空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使五、平行于同一個平面的向量稱為共面向量六、向量共面定理：空間一

10、點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任一定點，有；或若四點，共面，則七、已知兩個非零向量和，在空間任取一點，作，則稱為向量，的夾角，記作兩個向量夾角的取值范圍是：八、對于兩個非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作九、已知兩個非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作即零向量與任何向量的數(shù)量積為十、等于的長度與在的方向上的投影的乘積十一、若，為非零向量，為單位向量，則有；，；十二、空間向量基本定理：若三個向量，不共面，則對空間任一向量，存在實數(shù)組，使得十三、若三個向量，不共面，則所有空間向量組成的集合是這個集合可看作是由向量，生成的，稱為空間的一個基底，稱為基向量空間任意三個不共面的向量

11、都可以構(gòu)成空間的一個基底十四、設，為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，以，的公共起點為原點，分別以，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系則對于空間任意一個向量，一定可以把它平移，使它的起點與原點重合，得到向量存在有序?qū)崝?shù)組，使得把，稱作向量在單位正交基底，下的坐標，記作此時，向量的坐標是點在空間直角坐標系中的坐標十五、設，則若、為非零向量，則若，則，則十六、空間中任意一條直線的位置可以由上一個定點以及一個定方向確定點是直線上一點，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點，有，這樣點和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點十七、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定設這兩條相交直線相交于點，它們的方向向量分別為，為平面上任意一點，存在有序?qū)崝?shù)對使得，這樣點與向量，就確定了平面的位置十八、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量十九、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，則，二十、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則，二十一、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為，則，二十二、設異面直線，的夾角為，方向向量為，其夾角為，則有二十三、設直線的方向向