江蘇省泰興市高中數(shù)學 第3章 不等式 3.4.1 基本不等式的證明2教案 蘇教版必修5

1、3.4.1基本不等式的證明（2）教學目標：一、知識與技能1進一步掌握基本不等式；2學會推導并掌握均值不等式定理；3會運用基本不等式求某些函數(shù)的最值，求最值時注意一正二定三等四同4使學生能夠運用均值不等式定理來研究函數(shù)的最大值和最小值問題；基本不等式在證明題和求最值方面的應用二、過程與方法通過幾個例題的研究，進一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值三、情感、態(tài)度與價值觀引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結合的科學態(tài)度和科學道德教學重點：均值不等式定理的證明及應用教學難點：等號成立的條件及解題中的轉化技巧教學方法：先讓學生回顧兩個重要不等式

2、，然后由兩個具體問題入手讓學生分組討論得到兩個最值定理（其證明可由學生完成），然后通過一些例題來講解如何利用最值定理求最值，并讓學生從中體味出如何創(chuàng)設情境用定理教學過程：一、問題情境提問：我們上一節(jié)課已經(jīng)學習了兩個重要的不等式，請同學們回憶一下，這兩個重要不等式敘述的內容是什么，“等號”成立的條件是什么？學生回答：1如果2如果,是正數(shù)，那么老師總結：我們稱的算術平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，成立的條件是不同的：前者只要求,都是實數(shù)，而后者要求,都是正數(shù)二、學生活動提問：生答：有，最大值為4問題2：如何求出最大值的呢，何時取到最大值的生答：，當且僅當時取“”問題3：如果將問題1中條件改為，那么有無最值

3、呢？生答：有最小值4當且僅當時取到問題4：請同學們分組討論能否由問題1及問題3推廣至更一般的結論出來，學生討論完后，在學生回答的基礎上得出以下最值定理三、建構數(shù)學最值定理：已知都是正數(shù)， 如果積是定值，那么當時，和有最小值；如果和是定值，那么當時，積有最大值證明：， ，當 (定值)時， ，上式當時取“”， 當時有；當 (定值)時， ，上式當時取“”當時有說明：最值定理是求最值的常用方法，但應注意以下幾點：最值的含義（“”取最小值，“”取最大值）； 用基本不等式求最值必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)時才能用最值定理

4、求最值四、數(shù)學運用1例題例1 （1）求 的最值，并求取最值時的的值解 ，于是，當且僅當，即時，等號成立，的最小值是，此時（2）若上題改成，結果將如何？解 ，于是，從而，的最大值是，此時例2 （1）求的最大值，并求取最大值時的的值（2）求的最大值，并求取最大值時的值解（1），則，當且僅當，即時取等號當時，取得最大值4（2）0<x<2，0<x2<4，當且僅當，即當例3已知是正實數(shù)，若，求的最小值解是正實數(shù)， ，當且僅當，即時取等號，當時，取最小值變題：若，求的最小值解，例4求下列函數(shù)的值域:（1）；（2）解（1），（2），當時，；當時，歸納：用均值不等式解決此類問題時，應按

5、如下步驟進行：(1)先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4) 寫出正確答案.2.練習（1）已知，求的最大值并求相應的值（2）已知，求的最大值，并求相應的值（3）已知，求函數(shù)的最大值，并求相應的值（4）已知求的最小值，并求相應的值五、要點歸納與方法小結：1用基本不等式求最值必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”，當給出的函數(shù)式不具備條件時，往往通過對所給的函數(shù)式及條件進行拆分、配湊變形來創(chuàng)造利用基本不等式的條件進行求解；2運用基本不等式求最值常用的變形方法有：（1）運用拆分和配湊的方法變成和式和積式；（2）配湊出和為定值；（3）配湊出積為定值；（4）將限制條件整體代入一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和為常數(shù)，要注意定理及其變形的應用6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3