圓錐曲線的知識點整理

1、圓錐曲線常用知識點整理1. 圓錐曲線的兩個定義 ：（1）第一定義 中要重視“括號”內的限制條件 ：橢圓中，與兩個定點 F1，F(xiàn)2 的距離的和等于常數(shù) 2a， 且此常數(shù) 2a一定要大于 F1F2 ，當常數(shù)等于 F1F2 時，軌跡是線段 F1 F2 ，當常數(shù)小于 F1F2 時，無軌跡； 雙曲線中 ，與兩定點 F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2a ，且此常數(shù) 2a一定要小于 |F1F2| ，定義中 的“絕對值”與 2a<|F 1F 2 |不可忽視 。若2a|F 1F 2 | ，則軌跡是以 F 1， F 2為端點的兩條射線，若 2a |F 1F2| ，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌

2、跡僅表示雙曲線的一支。如（ 1）已知定點 F1（ 3,0）,F2（3,0） ，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是22A PF1PF24BPF1PF26CPF1PF210DPF1 2PF 2 212（答： C）；（2）方程 （x 6）2 y2（x 6）2 y2 8表示的曲線是 （答：雙曲線的左支）（2）第二定義 中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“ 點點距為分子、點線距為分母 ”，其商即是離心率 e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關 系，要善于 運用第二定義對它們進行相互轉化 。2x如：已知點 Q（2 2 ,0）及拋物線 y 上一動

3、點 P（x,y）,則 y+|PQ|的最小值是 （答： 2）42. 圓錐曲線的標準方程 （標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程） ：22xy1）橢圓 ：焦點在 x 軸上時 2 2 1（ a b 0）a2 b2x acos y bsin參數(shù)方程，其中 為參數(shù)），22焦點在 y 軸上時 y2 x2 1（a b 0）。方程 Ax2 By2 C表示橢圓的充要條件是什么？ （ABC0， a2 b2且 A，B，C同號， AB）。22如（ 1）已知方程 x y1表示橢圓，則 k的取值范圍為 3 k 2 k11（答： （ 3, 1） （ 1,2）；22（2）若 x,y R，且 3x2

4、 2y2 6，則 x y的最大值是 ， x2 y 2的最小值是 _（答： 5,2）2 222（ 2）雙曲線 ：焦點在 x 軸上： x2 y2 =1 ，焦點在 y 軸上： y2 x2 1（ a 0,b 0 ）。方程 a2 b2a2 b222Ax2 By2 C表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC 0，且 A，B 異號）。5x2y2如（ 1）雙曲線的離心率等于5 ，且與橢圓xy1有公共焦點，則該雙曲線的方程 （答：2942x4 y2 1)；4e 2 的雙曲線 C 過點 P（4, 10） ，（2）設中心在坐標原點 O，焦點 F1、 F2在坐標軸上，離心率 則 C 的方程為 （答： x2 y2 6 ）2

5、2開口向上時（3）拋物線：開口向右時 y2 2px（p 0） ，開口向左時 y22px（p 0），22x2 2py（p 0） ，開口向下時 x22py（p 0）。3. 圓錐曲線焦點位置的判斷 （首先化成標準方程，然后再判斷） ：1）橢圓：由 x 2, y 2 分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。( , 1) (1,23) )22如已知方程x y 1表示焦點在 y軸上的橢圓，則 m的取值范圍是 _（_ 答： m 1 2 m2）雙曲線 ：由 x 2 , y 2 項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；3）拋物線 ：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒 ：（1）在求解橢

6、圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F1，F(xiàn)2 的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)a,b ，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（ 2）在橢圓中， a 最大， a2 b2 c 2 ，在雙曲線中， c最大， c2 a2 b2。4. 圓錐曲線的幾何性質 ：22（ 1）橢圓（以 x2 y2 1（ a b 0 ）為例）：范圍： a x a, b y b ；焦點：兩個焦 a2 b2點 （ c,0） ；對稱性：兩條對稱軸 x 0,y 0 ，一個對稱中心（ 0,0 ），四個頂點 （ a,0）

7、,（0, b） ，其中長軸長為 2 a ，短軸長為 2b ；準線：兩條準線 x2 a； 離心率：cce ，橢圓 0 e 1， e 越 a小，橢圓越圓； e 越大，橢圓越扁。x2 y2如（ 1）若橢圓 xy 1的離心率 e 10 ，5 m 5（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為2 2 ）則 m 的值是253 或 ）；31 時，則橢圓長軸的最小值為 _（答答：x2 y2（2）雙曲線 （以 2 2 1（a 0,b 0 ）為例）：范圍： a2 b2個焦點 （ c,0） ；對稱性：兩條對稱軸 x 0,y 0 ，一個對稱中心x a或 x a,y R ；焦點：兩0,0 ），兩個頂點 （

8、 a,0） ，其中實軸長為 2 a ，虛軸長為 2 b ，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為a2 cx2 y2 k,k 0 ；準線：兩條準線 x ； 離心率： e ，雙曲線 e 1 ，等軸雙曲線 cae 2， e越小，開口越小，如（ 1） 雙曲線的漸近線方程是be 越大，開口越大；兩條漸近線：yb x 。a3x 2y 0，則該雙曲線的離心率等于答： 13 或 13）；23（2）雙曲線 ax2 by2 1的離心率為 5，則 a:b22（3）設雙曲線 x2 y2 1（a>0,b>0）中，離心率 a2 b2（答： , ）；32（ 3）拋物線 （以 y2 2px（

9、p 0） 為例）：范圍： 的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸1（答： 4 或 ）；4e 2 ,2, 則兩條漸近線夾角 的取值范圍是x 0,y R ；焦點：一個焦點 （p,0） ，其中 p2y 0 ，沒有對稱中心，只有一個頂點（ 0,0）；準線：一條準線 x p ； 離心率： e c ，拋物線e 1 。2a如設 a 0,a R，則拋物線 y 4ax2的焦點坐標為1答： (0,161a)；2 x 5、點 P(x0, y0) 和橢圓 2 a2y2 1（ a b 0）的關系 ：（1）點 P（x0,y0）在橢圓外 b22x02 y02 1 ；22； ab2）點 P（ x0 , y0）在橢

10、圓上3）點 P（ x0 , y0）在橢圓內22x0y02 2 1；ab22x02 y02 122ab6直線與圓錐曲線的位置關系 ：（ 1 ）相交：0 直線與橢圓相交； 0 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有 0 ，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故0是直線與雙曲線相交的充分條件， 但不是必要條件； 0 直線與拋物線相交， 但直線與拋物線相交不一定有 0 ， 當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故0 也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（ 1）若直線 y=kx+2 與雙曲線 x2-y 2=6的右支有兩個不同的交點，

11、則 k 的取值范圍是 答： （-15 ,-1)3）；222）直線 y kx 1=0 與橢圓 x y1恒有公共點，則5mm 的取值范圍是答： 1， 5）（5， +）；22（3）過雙曲線 x y 1的右焦點直線交雙曲線于 A、B 兩點，若 AB 4，則這樣的直線有 12條（答： 3）；（ 2）相切：0直線與橢圓相切；0直線與雙曲線相切；0直線與拋物線相切；（ 3）相離：0直線與橢圓相離；0直線與雙曲線相離；0直線與拋物線相離。特別提醒 ：（ 1） 直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果 直線與雙曲線的漸近線平行時 ,直線與雙曲線相交 ,但只有一個交點；如果直線與

12、拋物線的軸平行時,直線與22拋物線相交 ,也只有一個交點； （2）過雙曲線 x2 y2 1 外一點 P（x0, y0）的直線與雙曲線只有一個公共 a2 b2點的情況如下： P 點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與 雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條； P 點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近 線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； P 在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一 條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； P 為原點時不存在這樣的直線； （ 3）過拋物線外一點總有 三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行

13、于對稱軸的直線。2如（1）過點 （2,4）作直線與拋物線 y2 8x只有一個公共點，這樣的直線有 （答： 2）；22（ 2）過點 （0,2） 與雙曲線 x y 1有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為 （答：9 164 4 54, 4 5 ）；33y2（3）過雙曲線 x2 y2 1的右焦點作直線 l 交雙曲線于 A、B兩點，若 AB 4，則滿足條件的直線 l 有 條（答： 3）；（4）對于拋物線 C：y2 4 x ，我們稱滿足 y02 4x0的點 M（x0,y0）在拋物線的內部， 若點 M（x0,y0） 在拋物線的內部，則直線 l ： y0y 2（x x0 ）與拋物線 C 的位置關系是 （

14、答：相離） ；5）過拋物線 y2 4x的焦點 F 作一直線交拋物線于 P、Q兩點，若線段 PF與 FQ的長分別是 p、q，11則 （答： 1 ）；pq6）設雙曲線2x162y 1的右焦點為 F ，右準線為 l ，設某直線 m 交其左支、右支和右準線分別9于 P,Q,R，則 PFR 和 QFR 的大小關系為 （填大于、小于或等于 ） （答：等于） ；7） 求橢圓 7x2 4y2 28上的點到直線 3x 2y 16 0的最短距離答： 8 13）；13（8）直線 y ax 1與雙曲線 3x2 y2 1交于 A、 B兩點。當 a為何值時， A、 B分別在雙曲線 的兩支上？當 a 為何值時，以 AB 為

15、直徑的圓過坐標原點？（答： 3, 3 ； a 1 ）；7、焦半徑 （圓錐曲線上的點 P到焦點 F 的距離） 的計算方法 ：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相 應準線的距離，即焦半徑 r ed ，其中 d 表示 P到與 F 所對應的準線的距離。22答：如（ 1）已知橢圓 x y 1上一點 P到橢圓左焦點的距離為 3，則點 P 到右準線的距離為25 1635）；3（2）已知拋物線方程為等于3）若該拋物線上的點24） 點 P 在橢圓M 到焦點的距離是 4 ，則點 M 的坐標為2x y 1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點 25 9答： 7,（2, 4） ）；P 的橫坐標為y2 8x，若拋

16、物線上一點到 y 軸的距離等于 5，則它到拋物線的焦點的距離25 （答： ）；12 （ 5）拋物線 y2 答： 2）；26）橢圓 x432x上的兩點 A、B 到焦點的距離和是 5，則線段 AB 的中點到 y 軸的距離為2答： （236 , 1）；38、焦點三角形 （橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形） 余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點P（ x0, y0 ）到兩焦點22積為 S ，則在橢圓 x2 y2 1中，a 2 b 2 2b2 arccos（2b 1） ，且當 r1 r2 即 P 為短軸端點時， r1r22S b2tanc|y0|，當| y0 | b即P為短軸端點時，小，則點 M

17、 的坐標為問題 ：常利用第一定義和正弦、 F1, F2的距離分別為 r1 , r2 ，焦點 F1PF2 的面22 bc 最大為 max arccos2a2Smax 的最大值為 bc；對于雙曲線22ax22 by22 1的焦點三角形有： arccos 12b212； Sr1r2 sinb cot 。2 1 2 2r1r2如（ 1）短軸長為 5，離心率 e 2 的橢圓的兩焦點為 F1、F2，過 F1作直線交橢圓于 A、B 兩點，3 則 ABF2 的周長為 （答： 6）；（2）設 P是等軸雙曲線 x2 y2 a2（a 0）右支上一點， F1、F2是左右焦點， 若 PF2 F1F2 0，|PF1|=6

18、， 則該雙曲線的方程為 （答： x2 y2 4 ）；22（3）橢圓 xy 1的焦點為 F1、F2，點 P 為橢圓上的動點，當 PF2 ·PF1 <0 時，點 P 的橫坐標的94答： （ 355 ,355）；（4）雙曲線的虛軸長為 4，離心率 e 6 ，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點，若過 F1 的直線與雙曲線的左支2交于 A、 B兩點，且 AB 是 AF2 與 BF2 等差中項，則 AB （答： 8 2）；（ 5 ）已知雙曲線的離心率為2， F1、F2 是左右焦點， P 為雙曲線上一點，且F1PF2 60 ，22xy1）；4 12取值范圍是S PF1F2 12 3 求該雙曲線的標準方

19、程（答：9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質（ 1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；y 1內有一點 P（1, 1） ， F為右焦點，在橢圓上有一點 M，使 MP 2MF 之值最（2）設 AB為焦點弦， M為準線與 x 軸的交點，則 AMF BMF；（3）設 AB為焦點弦， A、 B在準線上的射影分別為 A1，B1，若 P為 A1B1 的中點，則 PAPB；（4）若 AO的延長線交準線于 C，則 BC平行于 x 軸，反之，若過 B點平行于 x 軸的直線交準線于 C點， 則 A，O， C三點共線。10、弦長公式 ：若直線 y kx b與圓錐曲線相交于兩點 A、B，且 x1, x2分別為

20、A、B 的橫坐標，則 AB 1 k x1 x2 ，若 y1 , y2分別為 A、B 的縱坐標，則ABy1 y2 ，若弦 AB 所在直線方程設為 x ky b，則 AB 1 k2 y1 y2 。特別地，焦點弦（過焦點的弦） ：焦點弦的弦長的計算， 一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（1）過拋物線 y2=4x 的焦點作直線交拋物線于 A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若 x1+x2=6，那么|AB| 等于（答： 8）；（2）過拋物線 y2 2x 焦點的直線交拋物線于 A、B 兩點，已知 |AB|=10 ， O 為坐標原點，則 ABC 重心的橫坐標為

21、 （答： 3）；11、圓錐曲線的中點弦問題： 遇到中點弦問題常用 “韋達定理”或“點差法” 求解。b2 x0k= 2 a y0 b2x0 k= 2 a y022xy在橢圓 2 2 1中，以 P（x0,y0）為中點的弦所在直線的斜率 a2 b222在雙曲線 x2 y2 1中，以 P（x0,y0 ）為中點的弦所在直線的斜率 ab在拋物線 y2 2px（p 0）中，以 P（x0 , y0 ）為中點的弦所在直線的斜率 k= p 。 y022如（ 1）如果橢圓 x y1弦被點 A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是36 9（答： x 2y 8 0 ）；（ 2）已知直線 y=x+1 與橢圓22xy2

22、 2 1（a b 0） 相交于 A 、B 兩點，且線段 AB 的中點在直線 abL： x2y=0 上，則此橢圓的離心率為2 （答： ）；2223） 試確定 m 的取值范圍，使得橢圓 x y 1上有不同的兩點關于直線 y 4x m對稱43（答： 2 13,2 13 ）；13 13特別提醒 ：因為0 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗 0 ！12你了解下列結論嗎 ？2 2 2 2（1）雙曲線 x y 1的漸近線方程為 x y 0 ；a 2 b2a 2 b2b 2222（2）以 yb x為漸近線（即與雙曲線x2y21共漸近線） 的雙曲線方程為x2y2（

23、 為參數(shù)，a a 2 b2a 2 b 2 0 ）。x2 y24x2 y2如與雙曲線 x y 1有共同的漸近線， 且過點 （ 3,2 3） 的雙曲線方程為 （答：4x y 1）9 1694（ 3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為mx2 ny2 1；4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為b2為 b ，拋物線的通徑為 2p ，焦準距為 p ； c（5）（6） x1x2通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；2若拋物線 y2 2px（p 0）的焦點弦為 AB， A（x1, y1）, B（ x2, y2） ，則 |AB| x1 x2 p；2p22,y1y2p4（7）若

24、OA、OB是過拋物線 y2 2px（p 0）頂點 O的兩條互相垂直的弦， 則直線 AB恒經過定點 （2 p,0） 13動點軌跡方程 ：2b22b ，焦準距（焦點到相應準線的距離）a（1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立x, y之間的關系 F（x,y） 0；如已知動點 P 到定點 F（1,0） 和直線 x 3的距離之和等于 4，求 P 的軌跡方程（答： y212（x 4）（3 x 4） 或 y2 4x（0 x 3） ）；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確 定其待定系數(shù)。如線

25、段 AB 過 x 軸正半軸上一點 M（m，0）（m 0），端點 A、B 到 x 軸距離之積為 2m，以 x 軸為對稱軸，過 A 、O、B 三點作拋物線，則此拋物線方程為（答： y2 2x）；定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； 如（1） 由動點 P向圓 x2 y2 1作兩條切線 PA、PB，切點分別為 A、B，APB=600，則動點 P 的軌跡方 程為 （答： x2 y2 4 ）；（ 2）點 M與點 F（4,0） 的距離比它到直線 l：x 5 0的距離小于 1，則點 M的軌跡方程是 （答：2y2 16x ）；2 2 2 2（3） 一動圓與兩圓

26、M： x2 y2 1和N： x2 y2 8x 12 0都外切，則動圓圓心的軌跡為 （答：雙曲線的一支）；代入轉移法：動點 P（ x, y）依賴于另一動點 Q（x0,y0） 的變化而變化，并且 Q（ x0 , y0 ） 又在某已知曲 線上，則可先用 x, y的代數(shù)式表示 x0, y0 ，再將 x0 , y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；如：動點 P是拋物線 y 2x2 1上任一點，定點為 A（0, 1）,點 M分 PA 所成的比為 2，則 M的軌跡方 程為 （答： y 6x2 1 ）；3參數(shù)法：當動點 P（ x, y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x, y均用一中間變

27、量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。如（ 1） AB是圓 O的直徑，且 |AB|=2 a，M為圓上一動點，作 MNAB，垂足為 N，在 OM上取點 P，使 |OP| |MN |，求點 P 的軌跡。 （答： x2 y2 a|y|）；（2）若點 P（x1,y1）在圓 x2 y2 1上運動，則點 Q（x1y1,x1 y1） 的軌跡方程是 21 答： y2 2x 1(|x| )；23）過拋物線 x2 4y的焦點 F作直線 l交拋物線于 A、B兩點，則弦 AB的中點 M的軌跡方程是 2（答： x2 2y 2 ）；注意 ：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出 發(fā)，考慮選擇

28、向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量 的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化。22如已知橢圓 x2 y2 1（a b 0）的左、右焦點分別是 F1（ c，0）、a2 b2F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足 |F1Q| 2a.點P是線段 F1Q與該橢圓的交點，點 T 在線段 F2Q上，c并且滿足 PT TF2 0,|TF2 | 0.（ 1）設 x為點 P的橫坐標，證明 |F1P| ax ；（ 2）求點 T 的軌跡 Ca的方程；（ 3）試問：在點 T的軌跡 C上，是否存在點 M，使 F1MF 2的面積 S=b 2 .若存在，求 F1MF2的 正切值；若不存在，請說明理由 .b2b2（答：（ 1）略；（ 2） x2 y2 a2 ；（ 3）當 b a 時不存在；當 b a cc 曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上時存在，此時F1MF 22）特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響在與圓錐曲線相關的綜合題中， 常借助于 “平面幾何性質”數(shù)形結合 對稱性、利用到角公式 ） 、“方程與函數(shù)性質”化解析幾何問題為代數(shù)問題、 化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等 .（如角平分線的雙重身份分類討論思想”化整為零分如果在一條直線上 出現(xiàn)“三