積分變換的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用

1、-作者xxxx-日期xxxx積分變換的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用【精品文檔】積分變換的一些應(yīng)用積分變換積分變換是數(shù)學(xué)中對(duì)于函數(shù)的作用子，理論上用以處理微分方程等問(wèn)題。所謂積分變換，就是通過(guò)積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換。最常見的積分變換有兩種：傅里葉變換和拉普拉斯變換，其他的還包括梅林變換和漢克爾變換等。積分變換法憑借著它靈活方便的特點(diǎn)在理工科方面有很大的應(yīng)用，本文將會(huì)講述關(guān)于傅里葉變換和拉普拉斯變換的一些應(yīng)用。傅里葉變換定義傅里葉其實(shí)是一種分析信號(hào)的方法，既可以分析信號(hào)的成分，也可以利用這些成分合成信號(hào)。設(shè)f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：在下一個(gè)周期內(nèi)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)，并且在這些間

2、斷點(diǎn)上函數(shù)是有限值；在一個(gè)周期內(nèi)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；絕對(duì)可積。則函數(shù)滿足傅里葉變換：它存在逆變換，則傅里葉逆變換：有一種特殊的變換叫離散傅里葉變換，它是對(duì)一個(gè)序列進(jìn)行的變換，為： 傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅里葉變換算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。傅里葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅里葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。個(gè)別應(yīng)用 傅里葉變換最常見于圖像處理跟數(shù)學(xué)信號(hào)處理中，而現(xiàn)在現(xiàn)在我介紹其中一種比較不錯(cuò)的應(yīng)用：加密、解密圖像。根據(jù)Ca

3、ndan等人提出的離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換的定義為，X（n）是帶有N個(gè)矢量元素的輸入信號(hào)，是變換核矩陣，是分?jǐn)?shù)階。Soo-Chang Pei等人將離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換核矩陣定義為，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，矩陣，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素是V中年每列特征向量的特征根。我們將NXN DFT矩陣定義為：，進(jìn)而可以將階DFRFT矩陣定義為：?；陔x散分?jǐn)?shù)傅里葉變換的特征向量和特征值方法產(chǎn)生的定義不是唯一的，對(duì)特征值和特征向量的不同選擇，導(dǎo)致了離散傅里葉變換的不同定義形式。如果用不同的分?jǐn)?shù)次冪代替DFT矩陣的特征值=，則將FRFT推廣到了MPDFRFT。N點(diǎn)NXN MPDFRFT矩陣定義為：在MPDF

4、RFT域中采用雙自由度編碼進(jìn)行數(shù)字圖像加密解密，兩個(gè)過(guò)程分別如下圖：圖像加密過(guò)程 圖像解密過(guò)程在以上加密過(guò)程中，參數(shù)矢量和自由相位碼構(gòu)成了MPDFRFT域中雙自由相位編碼加密的密鑰。拉普拉斯變換定義拉普拉斯變換是一個(gè)線性變換，可將一個(gè)有引數(shù)實(shí)數(shù)t（t>=0）的函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)引數(shù)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)。拉普拉斯變換是對(duì)在t<0時(shí)函數(shù)值為零的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x（t）通過(guò)變換式： 進(jìn)行變換為復(fù)變量s的函數(shù)X（s）。它也是時(shí)間函數(shù)x（t）的“復(fù)頻域”表示方式。個(gè)別應(yīng)用在物理學(xué)中有很多物理系統(tǒng)，如電路系統(tǒng)、自動(dòng)控制系統(tǒng)、振動(dòng)系統(tǒng)等的研究，可以歸結(jié)為求常數(shù)系數(shù)線性微分方程的初值問(wèn)題。而拉普拉斯變換提供了求

5、解初值問(wèn)題的一種簡(jiǎn)便方法。下面我們介紹拉普拉斯變換在分析高階動(dòng)態(tài)電路的應(yīng)用。拉普拉斯變換將用時(shí)域分析法描述電路動(dòng)態(tài)過(guò)程的常數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域的線性多項(xiàng)式方程，在復(fù)頻域內(nèi)求解代數(shù)方程，得出復(fù)頻域函數(shù)，再利用拉普拉斯變換，變?yōu)闀r(shí)域原函數(shù)，最后求得時(shí)域響應(yīng)。在S域模型中，時(shí)域電源激勵(lì)函數(shù)變換為象函數(shù)，各支路電壓用象函數(shù)表示。通常時(shí)域激勵(lì)函數(shù)通過(guò)查拉普拉斯變換表可得出它們的象函數(shù)。電阻元件R:VAR的S域形式為U(s)=RI(s)，或I(s)=GU(s)；電感元件R:VAR的S域形式為或；電容元件C:VAR的S域形式為：或；S域方法分析電路過(guò)程的基本步驟為：1.作出時(shí)域電路時(shí)電路的S域模型。2.根據(jù)S域模型，以KVL,KCL和元件的VAR的S域形式為依據(jù)，應(yīng)用等效化簡(jiǎn)、節(jié)點(diǎn)分析法、網(wǎng)孔分析法、疊加定律和戴維南定律應(yīng)用等基本分析方法進(jìn)行分析計(jì)算，得出待求響應(yīng)的象函數(shù)。3.將待求響應(yīng)的象函數(shù)展開為部分分式。4.對(duì)待求響應(yīng)的象函數(shù)逐項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯反變換，即得時(shí)域響應(yīng)。結(jié)論總言之，積分變換換這一種為數(shù)理簡(jiǎn)化計(jì)算提供巨大方便的方法，在各方面都能得到有效利用，其應(yīng)用領(lǐng)域自然也就會(huì)很廣闊。傅里葉變換跟拉普拉斯變換作為最常見應(yīng)用最廣的兩種積分變換，其研究?jī)r(jià)值自然就很大，于是仍有不少人對(duì)其不停進(jìn)行研究，以求開發(fā)其更多應(yīng)用。參考文獻(xiàn)周美