三線擺、扭擺、雙線擺實(shí)驗(yàn)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與切變模量

1、學(xué)期：2014年上學(xué)期；課程名：綜合設(shè)計(jì)與創(chuàng)新物理實(shí)驗(yàn)；課序號(hào)：02；姓名： ；學(xué)號(hào)：文章題目轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)論文姓名學(xué)號(hào)電話郵箱創(chuàng)新點(diǎn)自述轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)論文摘要：本實(shí)驗(yàn)用三線擺、扭擺、和雙線擺進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量，并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了平行軸定理。分別用三線擺測(cè)量了物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了平行軸定理，用扭擺測(cè)量了物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量，用雙線擺測(cè)量了物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了平行軸定理。關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；切變模量；平行軸定理；三線擺；扭擺；雙線擺Themomentof inertia and the shear modulus me

2、asurement test paperQuan Chao(SichuanUniversity,Institute of architecture and environment,2013)Abstract:Experimental familiar stopwatch, a level, vernier caliper, meter stick and other equipment to use, control quality, 

3、and cycle the same amount of measurement methods; understanding of inertia and shear modulus measurements of the principles and methods to study the rigid body moment of inert

4、ia and mass distribution relationship; error and the final consolidation of the test results were analyzed.Keywords:moment of inertia;shear modulus;three-wire pendulum;torsion doublependulum;parallel axis theorem此處格式錯(cuò)誤。1 用三線擺

5、測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并驗(yàn)證平行軸定理1.1用三線擺測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)裝置和原理簡(jiǎn)介如圖是三線擺示意圖。上、下圓盤 均處于水平，懸掛在橫梁上。橫梁由立柱和底座（圖中未畫出）支承著。三根對(duì)稱分布的等長(zhǎng)懸線將兩圓盤相連。撥動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)桿就可以使上圓盤小幅度轉(zhuǎn)動(dòng)，從而帶動(dòng)下圓盤繞中心軸OO作扭擺運(yùn)動(dòng)。當(dāng)下圓盤的擺角很小，并且忽略空氣摩擦阻力和懸線扭力的影響時(shí)，根據(jù)能量守恒定律或者剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律都可以推出下圓盤繞中心軸OO的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 0為式中，m0為下圓盤的質(zhì)量；r和R分別為上下懸點(diǎn)離各自圓盤中心的距離；H0為平衡時(shí)上下圓盤間的垂直距離；T0為下圓盤的擺動(dòng)周期，g為重力加速度。將質(zhì)量為m的待測(cè)剛體放在下圓盤上，并

6、使它的質(zhì)心位于中心軸OO上。測(cè)出此時(shí)的擺動(dòng)周期T和上下圓盤間的垂直距離H，則待測(cè)剛體和下圓盤對(duì)中心軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1為待測(cè)剛體對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與J0和J1的關(guān)系為 J=J1-J0實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量次數(shù)123平均值垂直距離H/mm380.0380.0380.0380.0頂盤孔間距r/mm44.044.044.044.0底盤孔間距R/mm95.095.095.095.0下圓盤質(zhì)量m0/g1038103810381038待測(cè)物質(zhì)量m/g137137137137不放物體時(shí)的時(shí)間t0/s19.0118.9719.0819,02放物體時(shí)的時(shí)間t/s18.0218.1018.0118.04不放物體時(shí)的周期T0

7、/s1.311.311.321.31放物體時(shí)的周期T/s1.241.251.241.24由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以計(jì)算得底盤和待測(cè)物的整體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=m0+mgRr4²HT²=1038g+137g×9.8m/s²×95mm×44mm4×3.14×3,14×380mm×(1.24s)²×10-3=4.9383g.m2不放待測(cè)物時(shí)下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0=mogRr4²HT²=1038g×9.8m/s²×95mm×44mm4

8、15;3.14×3.14×380mm×(1.31s)²×10-3=4.9232g.m2所以待測(cè)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=J1-J0=4.9383g.m2-4.9232g.m2=0.0151g.m21.2利用三線擺驗(yàn)證平行軸定理 實(shí)驗(yàn)裝置和原理簡(jiǎn)介平行軸定理指出：如果一剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心的某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，則這剛體對(duì)平行于該軸、且相距為d的另一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx為實(shí)驗(yàn)時(shí)，將二個(gè)同樣大小的圓柱體放置在對(duì)稱分布于半徑為R1的圓周上的二個(gè)孔上，如圖所示。測(cè)出二個(gè)圓柱體對(duì)中心軸OO的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx。如果測(cè)得的Jx實(shí)驗(yàn)誤差小于5%值與由上式右邊計(jì)算得的

9、結(jié)果比較時(shí)的相對(duì)誤差在測(cè)量誤差允許的范圍內(nèi)（5%），則平行軸定理得到驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量次數(shù)123平均值垂直距離H/mm380.0380.0380.0380.0頂盤孔間距r/mm44.044.044.044.0底盤孔間距R/mm95.095.095.095.0圓柱與轉(zhuǎn)軸距離d/mm55555555下圓盤質(zhì)量m0/g1038103810381038待測(cè)物質(zhì)量m/g137137137137時(shí)間t/s19.4519.6219.5819.55周期T/s1.341.351.351.35由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以計(jì)算得底盤和圓柱體的整體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1=m0+mgRr4²HT²=1038g+137g&

10、#215;2×9.8m/s²×95mm×44mm4×3.14×3.14×380mm×(1.35s)²×10-3=5.3730g.m2圓柱對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JX=J1-J0=5.3730g.m2-4.9232g.m2=0.4498g.m2JX1=JC+md²=0.0151g.m2+137g×(55mm)2×10-6=0.4295g.m2實(shí)驗(yàn)誤差為(JX1-JX)JX×100%=0.4498 g.m2-0.4295 g.m20.4498 g.m2×1

11、00%=4.5%5%，故平行軸定理得到驗(yàn)證。2 用扭擺測(cè)定圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量 實(shí)驗(yàn)裝置和原理簡(jiǎn)介將一金屬絲上端固定，下端懸掛一剛體就構(gòu)成扭擺。圖3.3-3表示扭擺的懸掛物為圓盤。在圓盤上施加一外力矩，使之扭轉(zhuǎn)一角度。由于懸線上端是固定的，懸線因扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生彈性恢復(fù)力矩。外力矩撤去后，在彈性恢復(fù)力矩M作用下圓盤作往復(fù)扭動(dòng)。忽略空氣阻尼力矩的作用，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理有式中，J0為剛體對(duì)懸線軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，1為角加速度。彈性恢復(fù)力矩M轉(zhuǎn)角的關(guān)系為式中，K稱為扭轉(zhuǎn)模量。它與懸線長(zhǎng)度L，懸線直徑d及懸線材料的切變模量G有如下關(guān)系可見，圓盤作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其周期T0為若懸線的扭擺模量K已知，則測(cè)出圓

12、盤的擺動(dòng)周期T0后，由（2-9）式就可計(jì)算出圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若K未知，可利用一個(gè)對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1已知的物體將它附加到圓盤上，并使其質(zhì)心位于扭擺懸線上，組成復(fù)合體。此復(fù)合體對(duì)以懸線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0+J1復(fù)合體的擺動(dòng)周期T為 由（2-9）式和（2-10）式可得測(cè)出0T和T后就可以計(jì)算圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0J和懸線的切變模型G。圓環(huán)對(duì)懸線軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1有以下計(jì)算式中，m1為圓環(huán)的質(zhì)量；D1和D2分別為圓環(huán)的內(nèi)直徑和外直徑。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)同一個(gè)表格要放在一頁(yè)紙第一次第二次第三次平均值圓環(huán)內(nèi)徑D1/mm100.1100.0100.0100.0圓環(huán)外徑D2/mm120.0120.0120.01

13、20.0不放圓環(huán)的時(shí)間t0/s27.9927.9927.9927.99放圓環(huán)的時(shí)間t1/s47.2747.1347.2747.27待測(cè)物體質(zhì)量m1/g537537537537懸線長(zhǎng)度L/mm375375375375懸線直徑d/mm8.28.28.28.2不放圓環(huán)的周期T0/s1.931.931.931.93放圓環(huán)的周期T/s3.263.253.263.26由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以計(jì)算得J1=m18D12+D22=537g8×【(100.0mm）²+120.0mm²】×10-6=1.64g.m2J0=T02T2-TO2J1=(1.93s)²（3.26s）&

14、#178;-（1,93s）²×1.64g.m2=0.88g.m2扭轉(zhuǎn)模量K=4×2T2-T02J1=4×3.142（3.26s）2-（1.93s）2×1.64g.m2×104=9.3790×104g.cm2/s2切變模量G=32KLd4=32×9.3790×104g.cm2×375mm3.14×(8.2mm)4×103=7.9278×107g/(cm.s2)d測(cè)量錯(cuò)誤，G值錯(cuò)誤3 用雙線擺測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并驗(yàn)證平行軸定理實(shí)驗(yàn)裝置我們考慮雙線擺的純轉(zhuǎn)動(dòng)的理想物理模型。

15、在這種情況下雙線擺的雙擺錘在一橢圓柱體的表面運(yùn)動(dòng)。該曲線運(yùn)動(dòng)可分解為兩個(gè)分運(yùn)動(dòng):一個(gè)水平面上的轉(zhuǎn)動(dòng),一個(gè)上下方向的往返振動(dòng)。在水平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)為繞通過(guò)橫桿中心的豎直直線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)(軸的附加壓力為零),在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)則視為一質(zhì)點(diǎn)的往返運(yùn)動(dòng)。3.1用雙線擺測(cè)均勻細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)均勻細(xì)桿質(zhì)量m0、長(zhǎng)為l、繞通過(guò)質(zhì)心豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣量為I0；兩相同圓柱體的質(zhì)量之和為2m1,之間距離為2c；雙繩之間距離為d，繩長(zhǎng)L設(shè)雙線擺繞豎直轉(zhuǎn)動(dòng)軸，轉(zhuǎn)過(guò)一初始的角度，雙線擺將上升一定的高度，則由于繩的拉力和重力的作用下，將自由擺動(dòng)，在無(wú)阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能將相互轉(zhuǎn)化，但總量將保持為一恒定的值，可視為一無(wú)休止的

16、循環(huán)運(yùn)動(dòng)。設(shè)雙線擺擺錘運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)橫桿的中心位置為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，并以此時(shí)原點(diǎn)所在的平面為零勢(shì)能面。雙線擺運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的幾何關(guān)系圖如圖2所示。根據(jù)該圖可得如果我們?nèi)=d,則 由于，當(dāng)擺角很小時(shí)，可近似認(rèn)為由（3）知系統(tǒng)的勢(shì)能為桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為根據(jù)能量守恒定律，得式中h0為初始擺的最大高度。兩邊對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)（9）式，實(shí)驗(yàn)時(shí)先調(diào)節(jié)擺線長(zhǎng)等于兩線間的距離，即d=L0,并測(cè)出L0，旋轉(zhuǎn)一小角度，測(cè)量周期T0，代入（9）式，求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)第一次第二次第三次平均值繩長(zhǎng)L/mm120.3120.7120.5120.5時(shí)間t/s14.3914.4314.4114.41細(xì)桿質(zhì)量m

17、o/g266266266266周期T0/s0.991.000.990.99由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以計(jì)算得I0=m0gL162TO2=266g×9。8m/s²×120.5mm16×3.142×（0.99s)2×10-3=1.95g.m23.2用雙線擺測(cè)待測(cè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將質(zhì)量為m的待測(cè)物體固定在細(xì)桿上，由（9）式知系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為待測(cè)物轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為根據(jù)（11）式，實(shí)驗(yàn)先測(cè)出待測(cè)物的質(zhì)量，固定在細(xì)桿的質(zhì)心處，調(diào)節(jié)擺線長(zhǎng)等于兩線間距離，旋轉(zhuǎn)一小角度，測(cè)出周期T，帶入（9）式，求出細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IX實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)第一次第二次第三次平均值繩長(zhǎng)L/mm120.31

18、20.7120.5120.5時(shí)間t1/s12.4412.4112.4112.42細(xì)桿質(zhì)量mo/g266266266266待測(cè)物質(zhì)量mx/g100100100100周期T/s0.860.860.860.86由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以計(jì)算得Ix=mo+mxgL0162T2-mogL0162TO2=266g+100g×9.8m/s²×120.5mm16×3.142×（0.86s）2×10-3-266g×9.8m/s²×120.5mm16×3.142×(0.99s)2×10-3=0.07g.m2

19、3.3用雙線擺驗(yàn)證平行定理實(shí)驗(yàn)原理及內(nèi)容用雙線擺法還可以驗(yàn)證平行軸定理。若質(zhì)量為1m的物體繞過(guò)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC，當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)距離x時(shí)（如圖所示），則此物體對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ix=Ic+m1x2。這一結(jié)論稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。實(shí)驗(yàn)時(shí)將質(zhì)量均為m2，形狀和質(zhì)量分布完全相同的兩個(gè)圓柱體對(duì)稱地放置在均勻細(xì)桿上。按同樣的方法，測(cè)出兩小圓柱體和細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)周期Tx，則可求出每個(gè)柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:如果測(cè)出小圓柱中心與細(xì)桿質(zhì)心之間的距離x以及小圓柱體的半徑Rx，則由平行軸定理可求得其中，D外是圓柱（圓筒）外直徑，D內(nèi)是圓柱（圓筒）內(nèi)直徑，L是圓柱的長(zhǎng)。比較Ix與Ix'的大小,可驗(yàn)證平行軸定理。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 第一次第二次第三次平均值繩長(zhǎng)L/mm120.3120.7120.5120.5細(xì)桿質(zhì)量m0/g266266266266物體質(zhì)量m1/g100100100100小圓柱體半徑Rx/mm139.5139.7139.6139.6圓柱中心與細(xì)桿質(zhì)心距離x/mm99.599.699.499.5不放重物時(shí)間t0/s14.6314.6414.6314.63放重物時(shí)間tx/s19.2419.2419.2419.24不放重物時(shí)周期T0/S1.011.011.011.01放重物時(shí)周期TX/S1.331.331.331