概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2)ppt課件

1、 前面，我們討論了參數(shù)的點估計前面，我們討論了參數(shù)的點估計. 它是用樣本算的一個值去估計未知參數(shù)它是用樣本算的一個值去估計未知參數(shù). 但是，點估計僅僅給出了未知參數(shù)的一但是，點估計僅僅給出了未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這種估計的精個近似值，它沒有反映出這種估計的精度度.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺乏之處乏之處.可信度：越大越好可信度：越大越好估計他的年齡估計他的年齡 八成在八成在21212828歲之間歲之間被估參數(shù)被估參數(shù)可信度可信度范圍、區(qū)間范圍、區(qū)間區(qū)間：越小越好區(qū)間：越小越好 引例 在估計湖中魚數(shù)的問題中，假設(shè)我們根據(jù)一個實踐樣本，得到魚數(shù)N的最

2、大似然估計為1000條.實踐上，實踐上，N的真值能夠大于的真值能夠大于1000條，條，也能夠小于也能夠小于1000條條.為此，我們希望確定一個區(qū)間為此，我們希望確定一個區(qū)間來估計參數(shù)真值來估計參數(shù)真值a 使我們能以比較高的可靠程度置信它使我們能以比較高的可靠程度置信它包含真參數(shù)值包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值 這里所說的這里所說的“可靠程度是用概率來度量的可靠程度是用概率來度量的b 區(qū)間估計的精度要高區(qū)間估計的精度要高.7.4 正態(tài)總體的區(qū)間估計正態(tài)總體的區(qū)間估計 設(shè)設(shè)X1 ，X2,，Xn為來自總體為來自總體X F(x;)的一的一個樣本，個樣本， 是未知參數(shù)是未知參數(shù). 假設(shè)對于給

3、定的假設(shè)對于給定的0 1，存在兩個統(tǒng)計量，存在兩個統(tǒng)計量 11122112(,), (,)()nnXXXX 使得對恣意的使得對恣意的 滿足滿足 1121(,) (,)1nnPXXXX 一一 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義那么稱隨機區(qū)間那么稱隨機區(qū)間 為參數(shù)為參數(shù) 的置信程度的置信程度(confidence level)(confidence level)為為1-1- 的置信區(qū)間的置信區(qū)間(confidence interval).(confidence interval).12 , 置信程度又稱為置信度，置信區(qū)間的左端點置信程度又稱為置信度，置信區(qū)間的左端點 又稱為置信下界，置信區(qū)間的右端點又稱

4、為置信下界，置信區(qū)間的右端點 又稱為置信上界又稱為置信上界. .12111221111211121(,)(,)(,),(,),(,)(,),(,)nnnnnnnXXXXxxxxxxxxxxx和都是隨機變量的函數(shù)，因而也是隨機變量.但是給定樣本觀測值 =就得到一個具體的閉區(qū)間,我們以1- 的概率保證說未知參數(shù)明：.5%195%.100100955若取，即置信水平為這時重復(fù)抽樣次，則在得到的個區(qū)間中包含 真值的有個左右，不包含 真值的有 個左右.12 , 1. 要求要求 以很大的能夠被包含在區(qū)間以很大的能夠被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡能夠大要盡能夠大.12()P2. 估計的精

5、度要盡能夠的高估計的精度要盡能夠的高. 如要求區(qū)間如要求區(qū)間長度長度 盡能夠短，或能表達該要求盡能夠短，或能表達該要求的其它準(zhǔn)那么的其它準(zhǔn)那么.21即要求估計盡量可靠即要求估計盡量可靠. 可靠度與精度是一對矛盾，可靠度與精度是一對矛盾，普通是在保證可靠度的條件下普通是在保證可靠度的條件下盡能夠提高精度盡能夠提高精度.(1)從未知參數(shù)從未知參數(shù) 的某個點估計的某個點估計 出發(fā)，構(gòu)造出發(fā)，構(gòu)造 與與 的一個函數(shù)的一個函數(shù)W( , ) , 使得使得W的分布知，且不依賴于未知參數(shù)的分布知，且不依賴于未知參數(shù) 該函數(shù)通常稱為樞軸量該函數(shù)通常稱為樞軸量.,1(,)nXX 二二 構(gòu)造置信區(qū)間的方法構(gòu)造置信區(qū)

6、間的方法1. 樞軸量法樞軸量法(3) 利用不等式運算，將不等式利用不等式運算，將不等式(1, )P aWb (2) 適中選取兩個常數(shù)適中選取兩個常數(shù)a, b，使對給定的，使對給定的，有有( , )aWb 等價變形為等價變形為1121(,)(,)nnXXXX即即( , )P aWb 1121 (,)(,) 1nnPXXXX 此時參數(shù)此時參數(shù) 的置信程度為的置信程度為1-1- 的置信區(qū)的置信區(qū)間為間為12 ,. 2. 如何確定如何確定a , b我們總是希望置信區(qū)間盡能夠短我們總是希望置信區(qū)間盡能夠短. . 恣意兩個數(shù)恣意兩個數(shù)a a和和b b，只需它們的縱標(biāo)包含，只需它們的縱標(biāo)包含f(u)f(u)

7、下下95%95%的面積，就確定一個的面積，就確定一個95%95%的置信區(qū)的置信區(qū)間間. .0uuu( )f uab950.950.950.cdab在在 概率密度為單峰且對稱的情形，概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)當(dāng)a =-ba =-b時求得的置信區(qū)間的長度為最短時求得的置信區(qū)間的長度為最短. .( , )W 0uuu)(ufab950.950.950.a =-babab 即使即使 的概率密度不對稱的情的概率密度不對稱的情形，如形，如 分布，分布，F(xiàn) F分布，習(xí)慣上仍取對稱的分布，習(xí)慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間. .222( )n212( )n)(

8、xfx)(2nX ( , )W 三三 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計2( ,)N 1 單個總體的情形21221,( ,)nnXXXNXS 設(shè)已給定置信水平為 ，并設(shè)，為來自總體的樣本，和分別是樣本均值和方差.N(0, 1)選選 的點估計為的點估計為nX求參數(shù)求參數(shù) 的置信程度為的置信程度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設(shè)設(shè)X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， 2,已知),(2 N1nXZn取解：解： 尋覓一個待估參數(shù)和尋覓一個待估參數(shù)和估計量的函數(shù)估計量的函數(shù) ，要求，要求其分布為知其分布為知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出Z取值于恣意區(qū)間的概率取值

9、于恣意區(qū)間的概率.,1 對給定的置信程度對給定的置信程度對于給定的置信程度對于給定的置信程度, 根據(jù)根據(jù)Z的分布，的分布，確定一個區(qū)間確定一個區(qū)間, 使得使得Z取值于該區(qū)間的取值于該區(qū)間的概率為置信程度概率為置信程度.2|1nXPzn 使使,1 對給定的置信程度對給定的置信程度221nnP XzXznn 2|1nXPzn 使使從中解得從中解得22,nnXzXznn221nnP XzXznn 的一個置信程度為的一個置信程度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間1置信區(qū)間的長度為置信區(qū)間的長度為22Lzn闡明：闡明：(2)置信區(qū)間的中心是樣本均值置信區(qū)間的中心是樣本均值(3)置信程度置信程度 越大，越大， 越大

10、，因此越大，因此置信區(qū)間越長置信區(qū)間越長1/2z(4)樣本容量樣本容量n越大，置信區(qū)間越短越大，置信區(qū)間越短置信區(qū)間的長度為置信區(qū)間的長度為22Lzn(1)L越小，置信區(qū)間提供的信息越準(zhǔn)確越小，置信區(qū)間提供的信息越準(zhǔn)確22,nnXzXznn(1) 均值 的置信區(qū)間( )a2 ，均值 的置信水平為1- 的置已知信區(qū)間為( )b2 ，均值 的置信水平為1- 的置未知信區(qū)間為因方差未知，那么因方差未知，那么/2nXzn不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量. .想法：用樣本均方差想法：用樣本均方差 S S 替代替代. (1)nXtt nSn于是取于是取 對給定的置信程度對給定的置信程度 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù)12(1

11、),tn使使即即2| |(1)1Pttn 2|(1)1nXPtnSn 22(1),(1)nnSSXtnXtnnn均值均值 的置信程度為的置信程度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.即為即為1從中解得從中解得22(1)(1) 1nnSSP XtnXtnnn 例例2 有一大批糖果有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機的取現(xiàn)從中隨機的取16袋，袋，稱得分量稱得分量(以克記以克記)如下：如下： 設(shè)每袋糖果的分量近似服從正態(tài)分布，設(shè)每袋糖果的分量近似服從正態(tài)分布，試求總體均值試求總體均值 的置信程度為的置信程度為0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間506 508 499 503 504 510 497 512506 508 4

12、99 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496514 505 493 496 506 502 509 496解：這是單總體方差未知，總體均值解：這是單總體方差未知，總體均值 的區(qū)間估計問題的區(qū)間估計問題.22(1),(1)nnssxtnxtnnn根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得/20.02510.95,/20.025,115,(1)(15)2.1315ntnt 這里這里503.75,6.2022nxs均值均值 的置信程度為的置信程度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為122(1),(1)6.20226.2022503.752.1315

13、,503.7524,507.1nnssxtnxtnnn 均值均值 的置信程度為的置信程度為0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為) 1() 1(222nSn 取樞軸量取樞軸量2221222(1)(1)(1)1nSPnn 從中解得從中解得22222212(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn (2)方差方差 的置信程度為的置信程度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.21 對給定的置信程度對給定的置信程度 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù)122(1) ,n 使使212(1) ,n2222212(1)(1),(1)(1)nSnSnn 方差方差 的置信程度為的置信程度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為2

14、1 規(guī)范差規(guī)范差 的置信程度為的置信程度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.12221211,(1)(1)nSnSnn例例3 求例求例2中總體規(guī)范差中總體規(guī)范差 的置信程度的置信程度 為為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間解：解：根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得22/20.025221/20.975/20.0251/20.975,115,(1)(15)27.488,(1)(15)6.262nnn ，這里這里6.2022s 規(guī)范差規(guī)范差 的置信程度為的置信程度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.12221211,(1)(1)nSnSnn 代入詳細數(shù)值算得代入詳細數(shù)值算得15 6.202215 6.2022,27.

15、4886.2624.58,9.60221122(,)(,)NN 2 兩個總體，的情形2211221212121212(,)(,).,1nmnmnmXNYNXXXXYYYYXYXXXYYYXYSS22 設(shè)，為 來 自 總 體的 樣 本 ；，為 來 自 總 體的 樣 本 ，設(shè) 總 體和 總 體獨 立 ， 于 是 ，相 互 獨 立 .和分 別 表 示 樣 本 均 值 ，和分 別 表 示 樣 本 方 差 ，給 定 置 信 水 平 為 ，12(1) 兩個總體均值差 的置信區(qū)間122212( )a ，均值差的置信水平 為1- 的，均已知置信區(qū)間12,nmnmX YX Y 因分別為 ， 的無偏估計，又由的獨

16、立性及221212(,)(,)nmXNYNnm，221212(,)nmXYNnm得 122212()()(0,1)/nmXYNnm或212212 即可得，均值差的置信水平為1- 的置，均已知下信區(qū)間為22221212/2/2,nmnmXYzXYznmnm221122( ) b22 ，均值差 的置信水平，但為1- 的未知置信區(qū)間12() (2)11nmWXYt nmSnm 22121222，但未知 從而可得，在 ，均值差的置信水平為1- 的置信區(qū)間/2/211(2),11(2)nmWnmWXYtnmSnmXYtnmSnm222212(1)(1),2WWWnSmSSSSnm其中 112122223

17、nxsnxs為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的得率，試圖采用一種新的催化劑.為慎重起見，在實驗工廠先進行試驗.設(shè)采用原來的催化劑進行了次試驗，得到得率的平均值樣本方差;又采用新的催化劑進行了次試驗例 =8=91.73,=3.89=8=93.，得到得率的平均值,樣本方75=4差.02.12假設(shè)兩總體都可認(rèn)為服從正態(tài)分布，且，兩樣本獨立.試求兩總體均值差的置信水平為0.95的置方差相等信區(qū)間.將具體值解：代入可得22212(1)(1)3.96,3.962WWnsmsSSnm因此所求置信區(qū)間為因此所求置信區(qū)間為120.02511(14) 3.962.022.1388xxt 4.15即為 ，0.11 由于所得置

18、信區(qū)間包含由于所得置信區(qū)間包含0，實踐中，實踐中，以為采用這兩種催化劑所得的得率的以為采用這兩種催化劑所得的得率的均值沒有顯著差別均值沒有顯著差別.4.15所求區(qū)間為 ，0.11(2)/2212 兩個總體方差比的置信區(qū)間12均值 ，僅討論未知的情形22122212(1,1)SSF nm 12(1,1)F nn 并且不依賴于任何未知參數(shù)， 由此得22121/2/22212222212121/2/222221212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)1/2/2 1S SP FnmFnmS SS SPFnmPFnm 2221112222/212221/21211(1,1)(1,1)1SSPS FnnS Fnn 即 2211222/221/211,(1,1)(1,1)SSS FnmS Fnm/2212于是，兩個總體方差比的置信水平為1- 的置信區(qū)間為21224ss22例 =0.34(mm研究由機)；器A和機器B生產(chǎn)的鋼管的 內(nèi)徑，隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只， 測得樣本方差為 抽取機器B生產(chǎn)的管子13只， 測得樣本方=0.29(為mm差).221122221122(,)(,),NN 假設(shè)兩樣本相互獨立，且設(shè)由機器A,機器B生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布，這里，均未知./