必修2高中數(shù)學(xué)試卷

1、必修2高中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題(共12小題)1.某三棱錐三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A. 2+75 B. 4+詆 C. 2+275D. 52 . 一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.4B.Jl C. 1 D.工S n 653 .已知m, n是兩條不同直線，a, 3是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A .若垂直于同一平面，則 a與3平行B.若m,n平行于同一平面，則 m與n平行C.若 3不平行，則在a內(nèi)不存在與3平行直線D.若m,n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面4 .如圖，在正方體 ABCD - AlBlClDl

2、中，異面直線 AD 1與BA1所成的角為()A. 30° B. 45° C. 60° D, 90°5 .過三點 A (1, 3) , B (4, 2) , C (1, - 7)的圓交 y 軸于 M, N 兩點，則 |MN|=()A. 2% B. 8 C. 4nD. 106 .直線xsin c+y+2=0的傾斜角的取值范圍是()A. 0,同 B. 0, _山3_，兀) 44C. 0, _ D. 0, _U( 兀)7.過三點A (1,0) , B (0, 6) , C (2, V3)則SBC外接圓的圓心到原點的距離為(A. 5 B.囪 C, 2V5333D.

3、8 .圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A. (x- 1)2+(y- 1)2=1 B. (x+1)2+(y+1)2=1C. (x+1) 2+(y+1) 2=2D. (x - 1)2+(y - 1)2=29 . 一條光線從點(-2, - 3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x+3) 2+ (y-2) 2=1相切，則反射光線所在39S 443直線的斜率為()A. - 7；或 B ' 一 7；或W C T或一； D .-7或一十3523453410 .直線 3x+4y=b 與圓 x2+y2-2x-2y+1=0 相切，則 b= () A.-2 或 12 B.2 或-12 C.-2 或-12 D.

4、2 或 1211 . 一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABC - A1B1C1D1,以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°,則人口= () A. k/312 .已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.B.串河川C. 242% D, 472 %3二.填空題(共4小題)13 .如圖，四邊形 ABCD和ADPQ均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動 點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點，設(shè)異面直線 EM與AF所成 的角為0,則cos。的最大值為 .13題圖14 .現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5

5、,高為4的圓錐和底面半徑為 2,高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為15 .已知點P (0,-1) , Q (0,1),若直線l： y=mx-2上至少存在三個點M,使得LPQM為直角三角形,則實數(shù)m的取值范圍是.16 .若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點，且 SOB=120 °, O為坐標(biāo)原點，則 r=三.解答題(共 6小題)17.已知過原點的動直線 l與圓Ci： x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點 A, B.(1)求圓Ci的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點M

6、的軌跡C的方程；(3)是否存在實數(shù) k,使得直線L： y=k (x-4)與曲線 C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍;若不存在，說明理由.18 .已知F1、F2分別是橢圓 上+£=1的左、右焦點，曲線 C是坐標(biāo)原點為頂點，以 F2為焦點的拋物線, 43過點F1的直線l交曲線C于x軸上方兩個不同點 P、Q,點P關(guān)于x軸的對稱點為 M ,設(shè)再下=1k fR(U若入2, 4,求直線L的斜率k的取值范圍；(。求證：直線 MQ過定點.19 .如圖菱形 ABCD, LABC=120 °, E, F是平面 ABCD同一側(cè)兩點，BE，平面 ABCD , DF，平面 ABCD , BE=

7、2DF , AE ± EC. ( U證明：平面 AEC，平面AFC ( U)求直線 AE與直線CF所成角的余弦值.E20 .如圖，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，已知 AC LBC, BC=CC 1,設(shè)AB1的中點為 D, B1CABC1=E. 求證：（1） DEO面 AA1C1C; （2） BC1LAB1.Bi21 .已知函數(shù)f(x)=x3 - 3x及y=f(x)上一點P (1, - 2),過點P作直線l . (1)求使直線l和y=f(x)相切且 以P為切點的直線方程；(2)求使直線l和y=f(x)相切且切點異于 P的直線方程.22 .已知點 M是圓心為 C1的圓(x-1)2

8、+y2=8上的動點，點 C2(1 , 0),若線段 MC2的中垂線交 MC1于點N.(1)求動點N的軌跡方程；(2)若直線l : y=kx+t是圓x2+y2=1的切線且l與N點軌跡交于不同的兩點P,Q,O為坐標(biāo)原點，若求UOPQ面積的取值范圍.高中數(shù)學(xué)組卷 參考答案一. 1. C 2. D3. D 4. C 5. C 6. B7. B 8. D9. D10. D 11. D12. B 二.13. 0.4 14.弋飛 15. _m-R或 m" 16. 2I三.17.解：（1）二.圓C1：x2+y2-6x+5=0 ,整理，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）2+y2=4,.圓C1的圓心坐標(biāo)為（3,

9、0）;(2)設(shè)當(dāng)直線 l 的方程為 y=kx、A (xi, yi)、B(X2, y2),聯(lián)立方程組(x-3)2+y2 = 4, y = kx,消去 y 可得：(1+k2) x2-6x+5=0 ,由=36-4 (1+k2) X5>0,可得 k2< 0.8 由韋達(dá)定理，可得xi+x2=6/(1+k2), 線段AB的中點M的軌跡C的參數(shù)方程為x=3/(1+k2), y=3k/(1+k2), 其中-2 +5/5<k<2,575, 線段AB的中點M的軌跡C的方程為：(x-1.5 ) 2+y2=9/4 ,其中5/3 <x<(3)結(jié)論：當(dāng)k6-2/7, 2盧/7U-3/4

10、, 3/4時，直線L: y=k (x-4)與曲線C只有一個交點.理由如下：聯(lián)立方程組(x-1.5) 2+y2 = 9/4, y = k(x-4),消去 y,可得：(1+k2) x2- (3+8k2) x+16k2=0,令匕:(3+8k2) 2-4 (1+k2) ?16k2=0,解得 k= i3/4,又二.軌跡 C 的端點(5/3, i2J5/3)與點(4, 0)決定的直線斜率為 七聲/7, 當(dāng)直線L: y=k (x-4)與曲線C只有一個交點時， k 的取值范圍為-2 *5/7 , 2、5/7 U -3/4 , 3/4.18 .解：(I)令P (x1, yO , Q (x2, y2),由題意，可

11、設(shè)拋物線方程為y2=2px由橢圓的方程可得F1 (-1, 0) , F2 (1, 0 )故p=2,曲線C的方程為y2=4x, 由題意，可設(shè)PQ的方程x=my-1 (m>0).把PQ的方程代入曲線C的方程 化簡可得y2-4my+4=0 ,y1+y2=4m , 丫叩=4 .又 F1P = XF1Q, 1- x1+1= X (x2+1) , 丫尸入?yún)^(qū), 又(y+y2)2/y1y2=入書/ H2=4m2. 長2, 4,.2+1/2(入W 人 <4+/4, 9/8<m2攵5/16 ,.4/5 4/me 聲/3, 直線L的斜率k的取值范圍為4/5, 22/3.(II)由于P, M關(guān)于X軸

12、對稱，故 M (刀，-yO ,1.1 KQF2-KMF2=y2/(x2- 1)+y1/(x1- 1)=2ky1y2-2(y1+y2)/(x1- 1)(x2- 1)=0, M、Q、F2三點共線，故直線 MQ過定點F2 (1,0).19 .解：(I )連接 BD,設(shè) BDA AC=G ,連接 EG、EF、FG ,在菱形 ABCD 中，不妨設(shè) BG=1 ,由 /ABC=120 ,可得 AG=GC= <3 , BE,平面 ABCD , AB=BC=2 ,可知AE=EC ,又AEXEC,所以EG=43,且EG LAC ,在直角AEBG中，可得BE= v 2 ,故DF=J2/2, 在直角三角形FDG

13、中，可得FG=.6/2,在直角梯形BDFE中，由BD=2 , BE= J2 , FD=J2/2,可得EF=34/2, 從而 EG2+FG2=EF2,則 EG ±FG, A8 FG=G ,可得 EG,平面 AFC, 由EG?平面AEC,所以平面 AECL平面AFC;(n)如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以 GB, GC為x軸，y軸，|GB|為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz,由(I )可得 A (0,-73,0), E (1, 0,J2) , F (-1,0,<1/2), C(0,3 ,即有 A= (1,超,y2) , c= (-1，- E，2/2),故COS < AE C

14、F . >= AE ?CF -/| AECF ” |=- *：3 /3 ,則有直線AE與直線CF所成角的余弦值為弓/320 .證明：(1)根據(jù)題意，得；E為B1C的中點，D為AB1的中點，所以DE/AC;又因為DE?平面AA1C1C, AC?平面AA1C1C,所以DE /平面AA1C1C;(2)因為棱柱ABC-A 1B1C1是直三棱柱，所以 CC平面ABC,因為AC?平面ABC ,所以ACLCC"又因為 AC ± BC , CC1?平面 BCC1B1, BC?平面 BCC1B1, BCH CC 1=C ,所以 AC,平面 BCC1B1；又因為BC1?平面BCC1B1,

15、所以BCAC;因為BC=CC 1,所以矩形BCCB是正方形，所以BC平面B1AC ;又因為AB1?平面B1AC,所以BC1±AB1.21 .解：(1)由f (x) =x3-3x得，f'(x) =3x2-3,過點P且以P (1 , -2)為切點的直線的斜率f'(1) =0,所求直線方程為y=-2.(2)設(shè)過 P (1, -2)的直線 l 與 y=f (x)切于另一點(x0, y0),則 f' (x0) =3x02-3.又直線過(汽,y0) , P (1, -2),故其斜率可表示為y0-(-2) /(x。- 1)=(X03-3xo+2)/(X0-1), 又(xo3

16、-3x0+2 )/(x0-1)=3xo2-3,即 Xo3-3xo+2=3 (Xo2-1 ) ? (x0-1),解得 Xo=1 (舍)或 Xo=-0.5 , 故所求直線的斜率為 k=3X (1/4-1) =-9/4, . .y- (-2) =-9/4 (x-1),即 9x+4y-1=022.解：(1)由已知得 |MN|=|NC2|,則 |NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2 21 >|C1C2|=2 ,故動點 N 的軌跡是以 C1, C2為焦點，以2、；2為長軸長的橢圓，a= <2 , c=1, b2=1,動點N的軌跡方程為x2/2+y2=1 ；(2) :直線 l： y=k

17、x+t 是圓 x，y2=1 的切線，|t|/(1+ k2)=1 ,.t2=k2+1,直線 l: y=kx+t 代入橢圓方程可得(1+2k2)x2+4ktx+2t 2-2=0，設(shè) P(X1,y", Q(X2,y2),則=8k2>0可彳導(dǎo)k*0. .X1+X2=-4kt/(1+2k2), X1X2=(2t2-2)/(1+2k2), .w (kx1+t) (kx2+t) =(t2-2k2)/(1+2 k2), .t2=k2+1 ,.X1X2=2k2/(1+2k2), y1y2=(1- k2)/(1+2k2),OP ?OQ = a =xx2+y1y2=(1 + k2)/(1+2 k2),-2/3