2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽

1、2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第 一 試1.設(shè)A、B是兩個(gè)非空的有限集，全集，且U中含有m個(gè)元素.若()()中含有n個(gè)元素，則中所含元素的個(gè)數(shù)為_.解：.注意到，()()=()，由韋恩圖知，中含有個(gè)元素.2.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足.則 的值是_.解：.由題設(shè)及正弦定理，得 故 = .3.在直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn) .若向量與在向量方向上的投影相同，則的值是_.解：2.方法1向量 、在向量方向上的投影分別為.依題意得· = ·，即.故.方法2因?yàn)橄蛄颗c在向量方向上的投影相同，所以 ABOC，即· =

2、 0.所以，即3a 4b = 2.4.已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱與底面所成的角為45°，則相鄰兩側(cè)面所成角的余弦值為_.解：. 如圖1，設(shè)正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，E為AB的中點(diǎn)，則PCE為側(cè)棱PC與底面ABC所成的角，即. 過點(diǎn)A作AFPC，垂足為F，由對(duì)稱性知，BFPC，故AFB為側(cè)面PAC與PBC所成的角. 在等腰直角EFC中，. 所以. 在AFB中，cosAFB = .5.已知三個(gè)互不相等的整數(shù)x、y、z之和介于40與44之間，若x，y，z依次構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則dq的值是_.解：42.由，得.又由 ，得，即.因?yàn)?，所?又，所以.

3、因?yàn)閥為整數(shù)，所以.從而.所以 .故d·q = 42.6.設(shè)點(diǎn)P、Q分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，線段PQ的中點(diǎn)為，且.則的取值范圍是_.解：1，3) .方法1設(shè)P()、Q()，則，且 .兩式相加，得，即.所以，則.從而，在上單調(diào)遞增.故1.方法2易知，點(diǎn)M在直線上.又點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足，所以點(diǎn)M在如圖2所示的射線：y=3x-4 (x2)上，其中點(diǎn).因?yàn)楸硎旧渚€上的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率，所以.7.在一個(gè)圓上隨機(jī)取三個(gè)點(diǎn)，順次連結(jié)成一個(gè)三角形，則該三角形為銳角三角形的概率是_.解：.不妨設(shè)ABC是半徑為1的圓的任一內(nèi)接三角形，A、B所對(duì)的弧長(zhǎng)分別為x、y，則有 ， .這個(gè)不等式組表示如圖3所示的PO

4、Q區(qū)域（不含邊界），其面積為.若ABC為銳角三角形，則x、y滿足 ， ， .這個(gè)不等式組表示如圖3所示的DEF區(qū)域（不含邊界），其中D、E、F分別為OP、OQ、PQ的中點(diǎn)，其面積為.故所求概率為.8.設(shè)，則M的個(gè)位數(shù)字為_.解：1.設(shè)a、b為正整數(shù)，則的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同.從而，的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同為3.所以的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同為3.又的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同為8，故M的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同為1.9.若對(duì)任意，都有，則的值是_.解：.方法1由題設(shè)知，對(duì)任意，都有 ，其中，項(xiàng)的系數(shù)為，. ， ， ， ，所以 ， 解得 ， ， ， . . 故.方法2在已知等式中，令，得.代入已知等式，化簡(jiǎn)得.令，得.代入上式，化簡(jiǎn)得.再令，得.用同樣的方法，得，.故.10.若則_.解：4.(1)若存在正整數(shù)j，使得(，5，規(guī)定)，則.上式等號(hào)可以成立.例如，取，.(2)若對(duì)任意正整數(shù)i