六年級下冊數(shù)學(xué)素材 奧數(shù) 行程問題 通用版

1、1、為什么說行程問題可以說是難度最大的奧數(shù)專題？類型多：行程分類細(xì)，變化多，工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個類型重點(diǎn)不一，因此沒有一個關(guān)鍵點(diǎn)可以抓題目難：理解題目、動態(tài)演繹推理靜態(tài)知識容易學(xué)，動態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力跨度大：從三年級到六年級都要學(xué)行程四年的跨度，需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來加深理解、夯實(shí)基礎(chǔ)2、那么想要學(xué)好行程問題，需要掌握哪些要訣呢？ 要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是"學(xué)透"基本公式要訣二：無規(guī)律的題目有"攻略"，一畫（畫圖法）二抓（比例法、方程法）3、 行程模塊中包含哪些知識點(diǎn)，有何解題技巧？例題講解？行程問題

2、包含多人行程、二次相遇、多次相遇、火車過橋、流水行船、環(huán)形跑道、鐘面行程、走走停停、接送問題、發(fā)車問題、電梯行程等 更新目錄：多人行程的要點(diǎn)及解題技巧例題及答案（一） 例題及答案（二）二次相遇的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）追及問題的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）火車過橋的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）流水行船的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）環(huán)形跑道的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）鐘面行程的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）走走停停的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（

3、二）接送問題的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）發(fā)車問題的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）電梯行程的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）獵狗追兔的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）平均速度的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二）奧數(shù)行程：多人行程的要點(diǎn)及解題技巧行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關(guān)系”：這三個量是：路程(s)、速度(v)、時間(t)三個關(guān)系：1.簡單行程：路程=速度×時間2.相遇問題：路程和=速度和×時間3.追擊問題：路程差=速度差×時間牢牢把握住這三個量以及它們

4、之間的三種關(guān)系，就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。如“多人行程問題”，實(shí)際最常見的是“三人行程”例：有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？分析：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）×3=228（米）第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向

5、的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228÷（38-36）=114（分鐘）第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38）×114=8892（米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰?？傊?，行程問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個量”之間的“三個關(guān)系”，解決行程問題并非難事！奧數(shù)行程：多人行程例題及答案（一）多人行程-這類問題主要涉及的人數(shù)為3人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置，解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。例1.甲乙丙三人同時從東

6、村去西村，甲騎自行車每小時比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小時到達(dá)西村后立刻返回。在距西村30公里處和乙相聚，問：丙行了多長時間和甲相遇？答案一：設(shè)乙每小時行x公里，則甲為x+12，丙為x-15+12=x-33.5*12=(x+12)*2x=9甲為21公里，丙為6公里，21*3.5*2/(21+6）=5.44小時丙行了5.44小時和甲相遇答案二：在距西村30公里處和乙相聚，則甲比乙多走60公里，而甲騎自行車每小時比乙快12公里，所以，甲乙相聚時所用時間是60/12=5小時，所以甲從西村到和乙相聚用了5-3.5=1.5小時，所以，甲速是：30/1.5=20公里/小時，所以，丙速是：20

7、-15=5公里/小時，東村到西村的距離是：20*3.5=70公里，所以，甲丙相遇時間是：(2*70)/(20+5)=5.6小時例2.難度：高難度甲、乙、丙三輛車同時從a地出發(fā)到b地去，甲、乙兩車的速度分別為60千米時和48千米時。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6時、7時、8時先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度?！窘獯稹拷忸}思路：（多人相遇問題要轉(zhuǎn)化成兩兩之間的問題，咱們的相遇和追擊公式也是研究的兩者。另外st圖也是很關(guān)鍵）第一步：當(dāng)甲經(jīng)過6小時與卡車相遇時，乙也走了6小時，甲比乙多走了660-486=72千米；（這也是現(xiàn)在乙車與卡車的距離）第二步：接上一步，乙與卡車接著走1小時相遇

8、，所以卡車的速度為72-481=24第三步：綜上整體看問題可以求出全程為：（60+24）6=504或（48+24）7=504第四步：收官之戰(zhàn)：5048-24=39（千米）注意事項(xiàng)：畫圖時，要標(biāo)上時間，并且多人要同時標(biāo)，以防思路錯亂！例3.難度：高難度李華步行以每小時4千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米外的冬令營報到。0.5小時后，營地老師聞訊前來迎接，每小時比李華多走1.2千米，又經(jīng)過了1.5小時，張明從學(xué)校騎車去營地報到。結(jié)果3人同時在途中某地相遇。問：張明每小時行駛多少千米？【解答】老師出發(fā)時和李華相距20.4-4×0.5=18.4千米，再過18.4÷（4+4+1.2）

9、=2小時相遇，相遇地點(diǎn)距學(xué)校2×4+2=10千米，張明行駛的時間為0.5小時，因此張明的速度為10÷0.5=20千米/時。奧數(shù)行程：多人行程例題及答案（二）行程問題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個模塊，在小升初考試和各大奧數(shù)杯賽中都能見到行程問題的身影。多人行程-這類問題主要涉及的人數(shù)為3 人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置，解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。例1.ab兩地相距30千米，甲乙丙三人同時從a到b，而且要求同時到達(dá)?，F(xiàn)在有兩輛自行車，但不許帶人，但可以將自行車放在中途某處，后來的人可以接著騎。已知騎自行車的平均速度

10、為每小時20千米，甲步行的速度是每小時5千米，乙和丙每小時4千米，那么三人需要多少小時可以同時到達(dá)？【解答】因?yàn)橐冶叫兴俣认嗟龋运麄儍扇瞬叫新烦毯万T車路程應(yīng)該是相等的。對于甲因?yàn)樗叫兴俣瓤煲恍则T車路程少一點(diǎn)，步行路程多一些。現(xiàn)在考慮甲和乙丙步行路程的距離。甲多步行1千米要用1/5小時，乙多騎車1千米用1/20小時，甲多用1/5-1/20=3/20小時。甲步行1千米比乙少用1/4-1/5=1/20小時。，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：1/20/（3/20=1/3.這樣設(shè)乙丙步行路程為3份，甲步行4份。如下圖安排：這樣甲騎車行騎車的3/5，步行2/5.所以時間為：30*3/5

11、/20+30*2/5/5=3.3小時。例2.有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？【解答】這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）×3=228（米）第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228÷（38-

12、36）=114（分鐘）第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38）×114=8892（米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰。總之，行程問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個量”之間的“三個關(guān)系”，解決行程問題并非難事！奧數(shù)行程：二次相遇的要點(diǎn)及解題技巧一、概念：兩個運(yùn)動物體作相向運(yùn)動或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動，隨著時間的發(fā)展，必然面對面地相遇，這類問題叫做相遇問題。二、特點(diǎn)：它的特點(diǎn)是兩個運(yùn)動物體共同走完整個路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相遇問題。三、類型：相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可

13、分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。四、三者的基本關(guān)系及公式：它們的基本關(guān)系式如下：總路程=（甲速+乙速）×相遇時間相遇時間=總路程÷（甲速+乙速）另一個速度=甲乙速度和-已知的一個速度奧數(shù)行程：二次相遇例題及答案（一）答題思路點(diǎn)撥：甲從a地出發(fā)，乙從b地出發(fā)相向而行，兩人在c地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到b地后返回，乙繼續(xù)走到a地后返回，第二次在d地相遇。一般知道ac和ad的距離，主要抓住第二次相遇時走的路程是第一次相遇時走的路程的兩倍。例1.甲乙兩車同時從a、b兩地相向而行，在距b地54千米處相遇，它們各自到達(dá)對方車站后立即返回，在距a地42千米處相遇。請問a、b兩地相

14、距多少千米？a.120 b.100 c.90 d.80【解答】a。解析：設(shè)兩地相距x千米，由題可知，第一次相遇兩車共走了x，第二次相遇兩車共走了2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。例2.兩汽車同時從a、b兩地相向而行，在離a城52千米處相遇，到達(dá)對方城市后立即以原速沿原路返回，在離a城44千米處相遇。兩城市相距（ ）千米a.200 b.150 c.120 d.100【解答】d。解析：第一次相遇時兩車共走一個全程，第二次相遇時兩車共走了兩個全程，從a城出發(fā)的汽車在第二次相遇時走了52×2=

15、104千米，從b城出發(fā)的汽車走了52+44=94千米，故兩城間距離為（104+96）÷2=100千米。繞圈問題：例3.在一個圓形跑道上，甲從a點(diǎn)、乙從b點(diǎn)同時出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6分鐘甲到b點(diǎn)，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（ ）？a24分鐘 b26分鐘 c28分鐘 d30分鐘【解答】c。解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。也就是說，兩人16分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了8分鐘，所以兩人共走半圈，即從a到b是半圈，甲從a到b用了8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要14×2=28分鐘。也是一個倍數(shù)關(guān)系。奧數(shù)行程：

16、二次相遇例題及答案（二）例1.兩輛汽車同時從甲、乙兩地相對開出，一輛汽車每小時行56千米，另一輛汽車每小時行63千米，經(jīng)過4小時后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級程度）【解答】兩輛汽車從同時相對開出到相遇各行4小時。一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。56×4=224（千米）63×4=252（千米）224+252=476（千米）綜合算式：56×4+63×4=224+252=476（千米）答：甲乙兩地相距476千米。例2.兩列火車同時從相距480

17、千米的兩個城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時行駛40千米，乙車每小時行駛42千米。5小時后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級程度）解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5小時共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5小時共行的路程，所得就是兩車的距離。480-（40+42）×5=480-82×5=480-410=70（千米）答：5小時后兩列火車相距70千米。例3.兩列火車從甲、乙兩地同時出發(fā)對面開來，第一列火車每小時行駛60千米，第二列火車每小時行駛55千米。兩車相遇時，第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級程度）解：兩車相遇時，兩車的

18、路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時比第二列火車多行（60-55）千米。由此可求出兩車相遇的時間，進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離。（60+55）×20÷（60-55）=115×20÷5=460（千米）答：甲、乙兩地間的距離為460千米。奧數(shù)行程：追及問題的要點(diǎn)及解題技巧一、多人相遇追及問題的概念及公式多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞""這一條基本關(guān)系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化由此還

19、可以得到如下兩條關(guān)系式：多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解。二、多次相遇追及問題的解題思路所有行程問題都是圍繞""這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解多次相遇與全程的關(guān)系1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個全程；第2次相遇，共走3個全程；第3次相遇，共走5個全程；，；第n次相遇，共走2n-1個全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了n米，以后每次都走2n米。2.同地同向出發(fā)： 第1次相遇，共走2個全

20、程； 第2次相遇，共走4個全程； 第3次相遇，共走6個全程； ，； 第n次相遇，共走2n個全程； 3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵 多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程 多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差奧數(shù)行程：追及問題例題及答案（一）例1.一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？a.10 b.8 c.6 d.4【解答】我們知道這個題目出現(xiàn)了2個情況，就是（1）汽車與騎自行車的人的追擊問題，（2）汽車與行人的追擊問題追擊問題中

21、的一個顯著的公式就是路程差速度差×時間我們知道這里的2個追擊情況的路程差都是汽車的間隔發(fā)車距離。是相等的。因?yàn)槲覀円蟮氖顷P(guān)于時間所以可以將汽車的間隔距離看作單位1.那么根據(jù)追擊公式(1)(v汽車v步行)=1/10(2)(v汽車3v步行)=1/20(1)×3(2)=2v汽車3/10-1/20很快速的就能解得v汽車1/8答案顯而易見是8例2.小明在商場的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分鐘到達(dá)二樓，小芳用了8分鐘到達(dá)一樓。如果我們把一個箱子放在一樓的第一個階梯上問多長時間可以到達(dá)二樓？【解答】跟上面一題一樣。這個題目

22、也是2個行程問題的比較（1）小明跟扶梯之間是方向相同(1)(v小明v扶梯)=1/2（2）小芳跟扶梯的方向相反(2)(v小芳v扶梯)=1/8(1)-2×(2)=3v扶梯1/4可見扶梯速度是1/12答案就顯而易見了?？偨Y(jié)：在多個行程問題模型存在的時候。我們利用其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消?？梢院茌p松的一步求得結(jié)果！奧數(shù)行程：追及問題例題及答案（二） 例1.上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米。問這時是幾點(diǎn)幾分？ 【解答】先畫出示意圖圖37-1

23、如下（圖37-1中a點(diǎn)表示爸爸第一次追上小明的地方，b點(diǎn)表示他第二次追上小明的地方）。從圖37-1上看出，在相 同時間（從第一次追上到第二次追上）內(nèi)，小明從a點(diǎn)到b點(diǎn)，行完（8-4=）4千米；爸爸先從a點(diǎn)到家，再從家到b點(diǎn)，行完（8+4=）12千米?？梢姡?爸爸的速度是小明的（12÷4=）3倍。從而，行完同樣多的路程（比如從家到a點(diǎn)），小明所用的時間就是爸爸的3倍。 由于小明從家出發(fā)8分鐘后爸爸去追他，并且在a點(diǎn)追上，所以，小明從家到a點(diǎn)比爸爸多用8分鐘。這樣可以算出，小明從家到a所用的時間為 8÷（3-1）×3=12（分） 8÷（3-1）×3

24、×x2=24（分） 例2.a、b兩地間有條公路，甲從a地出發(fā)，步行到b地，乙騎摩托車從b地出發(fā)，不停地往返于a、b兩地之間，他們同時出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：當(dāng)甲到達(dá)b地時，乙追上甲幾次？ 【解答】由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80=20（分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段 fa的長度再加上線段ae的長度，即等于甲在（80+100）分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180÷20），則bf的長為af的9倍， 所以，甲從a到b，共需走80×（1+9）=800（分鐘），乙第一次追上甲時，所用的時間為

25、100分鐘，且與甲的路程差為一個ab全程.從第一次追上甲 時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個ab全程，因此，追及時間也變?yōu)?00分鐘，所以，在甲從a到b的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100分 鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘.奧數(shù)行程：火車過橋的要點(diǎn)及解題技巧一、什么是過橋問題？火車過橋問題是行程問題的一種，也有路程、速度與時間之間的數(shù)量關(guān)系，同時還涉及車長、橋長等問題。基本數(shù)量關(guān)系是火車速度×時間=車長+橋長二、關(guān)于火車過橋問題的三種題型：（1）基本題型：這類問題需要注意兩點(diǎn)：火車車長記入總路程；重點(diǎn)是車尾：火車與人擦肩而過，即車尾離人而去。如：火車通過一條長11

26、40米的橋梁用了50秒，火車穿過1980米的隧道用了80秒，求這列火車的速度和車長。（過橋問題）一列火車通過800米的橋需55秒，通過500米的隧道需40秒。問該列車與另一列長384、每秒鐘行18米的列車迎面錯車需要多少秒鐘？（火車相遇）（2）錯車或者超車：看哪輛車經(jīng)過，路程和或差就是哪輛車的車長如：快、慢兩列火車相向而行，快車的車長是50米，慢車的車長是80米，快車的速度是慢車的2倍，如果坐在慢車的人見快車駛過窗口的時間是5秒，那么，坐在快車的人見慢車駛過窗口的時間是多少？（3）綜合題：用車長求出速度；雖然不知道總路程，但是可以求出某兩個時刻間兩人或車之間的路程關(guān)系如：鐵路旁有一條小路，一列

27、長為110米的火車以每小時30千米的速度向南駛?cè)ィ?點(diǎn)時追上向南行走的一名軍人，15秒后離他而去，8點(diǎn)6分迎面遇到一個向北走的農(nóng)民，12秒后離開這個農(nóng)民。問軍人與農(nóng)民何時相遇？奧數(shù)行程：火車過橋的例題及答案（一）例1.一列火車長150米，每秒鐘行19米。全車通過長800米的大橋，需要多少時間？【解答】列車過橋，就是從車頭上橋到車尾離橋止。車尾經(jīng)過的距離=車長+橋長，車尾行駛這段路程所用的時間用車長與橋長和除以車速。解：（800+150）÷19=50（秒）答：全車通過長800米的大橋，需要50秒。例2.一列火車長200米，以每秒8米的速度通過一條隧道，從車頭進(jìn)洞到車尾離洞，一共用了40

28、秒。這條隧道長多少米？【解答】先求出車長與隧道長的和，然后求出隧道長?；疖噺能囶^進(jìn)洞到車尾離洞，共走車長+隧道長。這段路程是以每秒8米的速度行了40秒。解：（1）火車40秒所行路程：8×40=320（米）（2）隧道長度：320-200=120（米）答：這條隧道長120米。例3.一列火車長119米，它以每秒15米的速度行駛，小華以每秒2米的速度從對面走來，經(jīng)過幾秒鐘后火車從小華身邊通過？【解答】本題是求火車車頭與小華相遇時到車尾與小華相遇時經(jīng)過的時間。依題意，必須要知道火車車頭與小華相遇時，車尾與小華的距離、火車與小華的速度和。解：（1）火車與小華的速度和：15+2=17（米/秒）（2

29、）相距距離就是一個火車車長：119米（3）經(jīng)過時間：119÷17=7（秒）答：經(jīng)過7秒鐘后火車從小華身邊通過。奧數(shù)行程：火車過橋的例題及答案（二）例1.某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米的鐵橋用23秒，該列車與另一列長320米，速度為每小時行64.8千米的火車錯車時需要（ ）秒?！窘獯稹炕疖囘^橋問題公式：(車長+橋長)/火車車速=火車過橋時間速度為每小時行64.8千米的火車，每秒的速度為18米/秒，某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米的鐵橋用23秒，則該火車車速為：(250-210)/(25-23)=20米/秒路程差除以時間差等于火車車速.該火車車長為：20

30、*25-250=250(米)或20*23-210=250(米)所以該列車與另一列長320米，速度為每小時行64.8千米的火車錯車時需要的時間為(320+250)/(18+20)=15(秒)例2.一列火車長160m，勻速行駛，首先用26s的時間通過甲隧道（即從車頭進(jìn)入口到車尾離開口為止），行駛了100km后又用16s的時間通過乙隧道，到達(dá)了某車站，總行程100.352km。求甲、乙隧道的長？【解答】設(shè)甲隧道的長度為xm那么乙隧道的長度是（100.352-100）（單位是千米！）*1000-x（352-x)那么(x+160)/26=(352-x+160)/16解出x256那么乙隧道的長度是352-

31、256=96火車過橋問題的基本公式（火車的長度+橋的長度）/時間速度例3.甲、乙兩人分別沿鐵軌反向而行，此時，一列火車勻速地向甲迎面駛來，列車在甲身旁開過，用了15秒，然后在乙身旁開過，用了17秒，已知兩人的步行速度都是3.6千米/小時，這列火車有多長？【解答】從題意得知，甲與火車是一個相遇問題，兩者行駛路程的和是火車的長.乙與火車是一個追及問題，兩者行駛路程的差是火車的長，因此，先設(shè)這列火車的速度為米/秒，兩人的步行速度3.6千米/小時1米/秒，所以根據(jù)甲與火車相遇計(jì)算火車的長為(151×15)米，根據(jù)乙與火車追及計(jì)算火車的長為(17-1×17)米，兩種運(yùn)算結(jié)果火車的長不

32、變，列得方程為151×1517-1×17解得：16故火車的長為17×16-1×17255米奧數(shù)行程：流水行船的要點(diǎn)及解題技巧 一、什么叫流水行船問題 船在水中航行時，除了自身的速度外，還受到水流的影響，在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時間和行程，研究水流速度與船只自身速度的相互作用問題，叫作流水行船問題。 二、流水行船問題中有哪三個基本量？ 流水行船問題是行程問題中的一種，因此行程問題中的速度、時間、路程三個基本量之間的關(guān)系在這里也當(dāng)然適用 三、流水行船問題中的三個基本量之間有何關(guān)系？ 流水行船問題還有以下兩個基本公式： 順?biāo)俣?船速+水速，（1） 逆

33、水速度=船速-水速.（2） 這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。 根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式（l）可以得到： 水速=順?biāo)俣?船速， 船速=順?biāo)俣?水速。 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。 另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到： 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷

34、;2， 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2。奧數(shù)行程：流水行船的例題及答案（一）例1.一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港，然后調(diào)頭逆流向上到達(dá)中游的乙港，共用了12小時。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小時2千米，從甲港到乙港相距18千米。則甲、丙兩港間的距離為（ ） a.44千米 b.48千米 c.30千米 d.36千米 【答案】a。解析：順流速度逆流速度=2×水流速度，又順流速度=2×逆流速度，可知順流速度=4×水流速度=8千米/時，逆流速度=2×水流速度=4千米/時。設(shè)甲、丙兩港間距離為x千米，可列方程x÷

35、;8+（x18）÷4=12解得x=44。 例2.一艘輪船在兩碼頭之間航行。如果順?biāo)叫行?小時，如果逆水航行需11小時。已知水速為每小時3千米，那么兩碼頭之間的距離是多少千米？ a.180 b.185 c.190 d.176 【答案】d。解析：設(shè)全程為s，那么順?biāo)俣葹?，逆水速度為，由（順?biāo)俣?逆水速度）/2=水速，知道=6，得出s=176。 【知識點(diǎn)撥】我們知道，船順?biāo)叫袝r，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn)，同時整個水面又按水流動的速度在前進(jìn)，因此船順?biāo)叫械膶?shí)際速度（簡稱順?biāo)俣龋┚偷扔诖俸退俚暮?，即?順?biāo)俣?船速+水速 同理：逆水速度=船速-水速 可推知：

36、船速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2；水速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2奧數(shù)行程：流水行船的例題及答案（二）例1.甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度?！痉治觥扛鶕?jù)題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順?biāo)俣群湍嫠俣?，而順?biāo)俣群湍嫠俣瓤砂葱谐虇栴}的一般數(shù)量關(guān)系，用路程分別除以順?biāo)⒛嫠袝r間求出。解：順?biāo)俣龋?08÷8=26（千米/小時）逆水速度：208÷13=16（千米/小時）船速：（26+16）÷2=21（千米/小時）水速：（2616）

37、47;2=5（千米/小時）答：船在靜水中的速度為每小時21千米，水流速度每小時5千米。例2.某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？【分析】要想求從乙地返回甲地需要多少時間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。解：從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18（千米/小時），甲乙兩地路程：18×8=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小時），返回時逆行用的時間：144÷1212（小時）。答：從乙地返回甲地需要12小時。例3.甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需3

38、5小時，逆流航行比順流航行多花了5小時.現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少小時？【分析】要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是35小時與5小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間.并能進(jìn)一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎(chǔ)上再用和差問題解法求出水速。解：輪船逆流航行的時間：（35+5）÷2=20（小時），順流航行的時間：（355）÷2=15（小時），輪船逆流速度：360÷20=18（千米/小時），順流速度：360÷15=24（千米/小時），水速

39、：（2418）÷2=3（千米/小時），帆船的順流速度：12315（千米/小時），帆船的逆水速度：123=9（千米/小時），帆船往返兩港所用時間：360÷15360÷924+40=64（小時）。答：機(jī)帆船往返兩港要64小時。奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的要點(diǎn)及解題技巧 一、什么是環(huán)形跑道問題？ 環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。 二、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用： 路程和=相遇時間×速度和 路程差=追

40、及時間×速度差 三、解環(huán)形跑道問題的一般方法： 環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的例題及答案（一）環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。下面通過幾道例題來幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關(guān)知識。 例1.甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)a背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人

41、第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)a沿跑道上的最短路程是多少米？ 【解答】設(shè)乙的速度是x米/分0.1米/秒=6米/分8x+8x+8×6=400×5x=122122×8÷400=2.176那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)a沿跑道上的最短路程是176米 例2.二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？ 【解答】甲走完10圈走了10*400=4000米他們每擊掌一次，甲走一圈(畫畫圖就會明白的)，則15*400=6000米

42、總共走了6000+4000=10000米10000/400=25分鐘因?yàn)榧滓宜邥r間想同所以乙走了25/7*4001428米 例3.林玲在450米長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么他后一半路程跑了多少秒？ 【解答】總共用時為450÷（5+4）50秒后半程用時（225-4×50）÷5+5055秒 例4.某人在360米的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，則他后一半路程跑了多少秒？ 【解答】44秒因?yàn)楣不?0秒的時間（80/2）-360/2）/5+80/2=44 例5.一條環(huán)形跑道長400米

43、，小青每分鐘跑260米，小蘭每分鐘跑210米，兩人同時出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇（不用解方程） 【解答】小青每分鐘比小蘭多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分鐘 例6.兩人在環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇 【解答】（4+3）×45=315米環(huán)形跑道的長（相遇問題求解） 315÷（4-3）=315秒（追及問題求解） 答：315秒后兩人再次相遇.奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的例題及答案（二）環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相

44、遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。下面通過幾道例題來幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關(guān)知識。 例1.甲、乙兩人同時從400米的環(huán)形路跑道的一點(diǎn)a背向出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與a點(diǎn)沿跑道上的最短距離是（ ）。 a.166米 b.176米 c.224米 d.234米 【解答】甲、乙兩人三次相遇，共行了三個全程，即是3400=1200（米）。根據(jù)題意，甲乙兩人的速度和為1200/8=150（米/分） 因?yàn)榧滓覂扇说拿糠炙俣炔顬?.160=6（米/分），所以甲的速度為（150+6）/

45、2=78（米/分） 甲8分鐘行的路程為788=624（米），離開原點(diǎn)624-400=224米，因?yàn)?24>400/2，所以400-224=176（米）即為答案。 例2.乙兩車同時從同一點(diǎn)出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛。甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米。一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離點(diǎn)有多少米？(每一次甲車追上乙車也看作一次相遇) 【解答】第一次是一個相遇過程，相遇時間為：6÷（65+55）=0.05小時，相遇地點(diǎn)距離a點(diǎn)：55×0.05=2.75千米然后乙車調(diào)頭

46、，成為追及過程，追及時間為：6÷（65-55）=0.6小時，乙車在此過程中走的路程為：55×0.6=33千米，即5圈又3千米，那么這時距離a點(diǎn)3-2.75=0.25千米此時甲車調(diào)頭，又成為相遇過程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離a點(diǎn)0.25+2.75=3千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據(jù)上面的計(jì)算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時兩車又重新回到了a點(diǎn)，并且行駛的方向與最開始相同所以，每4次相遇為一個周期，而11÷4=23，所以第11次相遇的地點(diǎn)與第3次相遇的地點(diǎn)是相同的，與a點(diǎn)的距離是3000米。奧數(shù)行程：鐘面行程問題的要點(diǎn)及解題技巧 一、什么是鐘面行程問題？

47、鐘面行程問題是研究鐘面上的時針和分針關(guān)系的問題，常見的有兩種：研究時針、分針成一定角度的問題，包括重合、成一條直線、成直角或成一定角度；研究有關(guān)時間誤差的問題 在鐘面上每針都沿順時針方向轉(zhuǎn)動，但因速度不同總是分針追趕時針，或是分針超越時針的局面，因此常見的鐘面問題往往轉(zhuǎn)化為追及問題來解 二、鐘面問題有哪幾種類型？ 第一類是追及問題（注意時針分針關(guān)系的時候往往有兩種情況）；第二類是相遇問題（時針分針永遠(yuǎn)不會是相遇的關(guān)系，但是當(dāng)時針分針與某一刻度夾角相等時，可以求出路程和）；第三種就是走不準(zhǔn)問題，這一類問題中最關(guān)鍵的一點(diǎn)：找到表與現(xiàn)實(shí)時間的比例關(guān)系。 三、鐘面問題有哪些關(guān)鍵問題？ 確定分針與時針的

48、初始位置； 確定分針與時針的路程差； 四、解答鐘面問題有哪些基本方法？ 分格方法： 時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走112分格。 度數(shù)方法： 從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60度，即1/2度。奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題及答案（一）例1：從5時整開始，經(jīng)過多長時間后，時針與分針第一次成了直線？ 5時整時，分針指向正上方，時針指向右下方，此時兩者之間間隔為25個小格(表面上每個數(shù)字之間為5個小格)，如果

49、要成直線，則分針要超過時針30個小格，所以在此時間段內(nèi)，分針一共比時針多走了55個小格。由每分鐘分針比時針都走11/12個小格可知，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經(jīng)過60分鐘時針與分針第一次成了直線。 例2：從6時整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時針與分針第一次重合？ 6時整時，分針指向正上方，時針指向正下方，兩者之間間隔為30個小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。 例3：在8時多少分，時針與分針垂直？ 8時整時，分針指向正上方，時針指向左下方，兩者之間間隔為40個小格。如果要兩者垂直，有

50、兩種情況，一個是第一次垂直，此時兩者間隔為15個小格(分針落后時針)，也就是分針比時針多走了25個小格，此段時間為25/(11/12)=300/11分鐘；另一次是第二次垂直，此時兩者間隔仍為15個小格(但分針超過時針)，也就是分針比時針多走了55個小格，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，時間變?yōu)?時，超過了題意的8時多少分要求，所以在8時300/11分時，分針與時針垂直。 由上面三個例題可以看出，求解此類問題(經(jīng)過多少時間，分針與時間成多少夾角)時，采用上述方法是非常方便、簡單、快捷的，解題過程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問題的一個關(guān)鍵點(diǎn)就是抓住分針比時針多走了

51、多少個小格，而不論兩者分別走了多少個小格。奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題及答案（二）例1：從9點(diǎn)整開始，經(jīng)過多少分，在幾點(diǎn)鐘，時針與分針第一次成直線？9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走15個小格，此段時間為15/(11/12)=180/11分鐘。例2：一個指在九點(diǎn)鐘的時鐘，分針追上時針需要多少分鐘？9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要分針追上時針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格，那么分針要比時針多走45個小格，此段時間為45/(11/12)=540/1

52、1分鐘。例3：時鐘的分針和時針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線？時針和分針重合，也就是兩者間隔為0個小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。奧數(shù)行程：走走停停的要點(diǎn)及解題技巧一、行程問題里走走停停的題目應(yīng)該怎么做 1.畫出速度和路程的圖。 2.要學(xué)會讀圖。 3.每一個加速減速、勻速要分清楚，這有利于你的解題思路。 4.要注意每一個行程之間的聯(lián)系。 二、學(xué)好行程問題的要訣 行程問題可以說是難度最大的奧數(shù)專題。 類型多：行程分類細(xì)，變化多，工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個類型重點(diǎn)不一，

53、因此沒有一個關(guān)鍵點(diǎn)可以抓 題目難：理解題目、動態(tài)演繹推理靜態(tài)知識容易學(xué)，動態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力 跨度大：從三年級到六年級都要學(xué)行程四年的跨度，需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來加深理解、夯實(shí)基礎(chǔ) 那么想要學(xué)好行程問題，需要掌握哪些要訣呢？ 要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是"學(xué)透"基本公式 要訣二：無規(guī)律的題目有"攻略"，一畫（畫圖法）二抓（比例法、方程法） 競賽考試中的行程題涉及到很多中數(shù)學(xué)方法和思想（比如：假設(shè)法、比例、方程）等的熟練運(yùn)用，而這些方法和思想，都是小學(xué)奧數(shù)中最為經(jīng)典并能考察孩子思維的專項(xiàng)。奧數(shù)行程：走走停停的例題及答案（一）例1.甲乙兩人同時從一條800環(huán)形跑道同向行駛，甲100米/分，乙80米/分，兩人每跑200米休息1分鐘，甲需多久第一次追上乙？ 【解答】這樣的題有三種情況：在乙休息結(jié)束時被追上、在休息過程中被追上和在行進(jìn)中被追上。很顯然首先考慮在休息結(jié)束時的時間最少，如果不行再考慮在休息過程中被追上，最后考慮行進(jìn)中被追上。其中在休息結(jié)束時或者休息過程中被追上的情況必須考慮是否是在休息點(diǎn)