建筑力學(xué)剪切與扭轉(zhuǎn)

1、第七章第七章 剪切與扭轉(zhuǎn)剪切與扭轉(zhuǎn)7.1 7.1 扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念 軸軸是以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的直桿作用于垂直桿軸平面內(nèi)的力偶使桿引起的變形，稱扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形。變形后桿件各橫截面之間繞桿軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，稱為扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角， 用 表示外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 已知軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速。導(dǎo)出外力偶矩、功率和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系為： 9550Nmn式中 m-作用在軸上的外力偶矩，單位為Nm N-軸傳遞的功率，單位為KW n-軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min。7.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力及扭矩圖圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力及扭矩圖7.2.1

2、扭矩扭矩平衡條件平衡條件0 xM eTM內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩T稱為稱為扭矩扭矩 扭矩的單位：扭矩的單位：N mkN m或扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：自截面的外法線向截面看，自截面的外法線向截面看，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎槙r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù) 扭扭 矩矩 圖圖常用與軸線平行的常用與軸線平行的x坐標(biāo)表示橫截面的位置，以與坐標(biāo)表示橫截面的位置，以與之垂直的坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面的扭矩，把計(jì)算結(jié)果之垂直的坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面的扭矩，把計(jì)算結(jié)果按比例繪在圖上，正值扭矩畫在按比例繪在圖上，正值扭矩畫在x軸上方，軸上方，負(fù)值扭矩畫在負(fù)值扭矩畫在x軸下方。這種圖形稱為軸下方。這種圖形稱為扭矩

3、圖扭矩圖。主動(dòng)輪，輸入功率主動(dòng)輪，輸入功率 ，B、C、D為從動(dòng)為從動(dòng)輪輪，輸出功率分別為輸出功率分別為10 kWAN ，試求各段扭矩。試求各段扭矩。2.0 kWDN4.5 kWBN 3.5 kWCN ，300 r minn 例題例題7.1 圖示傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速圖示傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速，A輪為輪為e10 kW95499549318.3 N m300 r minAANMne4.5 kW95499549143.2 N m300 r minBBNMne3.5 kW95499549111.4 N m300 r minCCNMne2.0 kW9549954963.7 N m300 r minDDNMn解：解：1、計(jì)算

4、外力偶矩、計(jì)算外力偶矩為負(fù)值說(shuō)明實(shí)際方向與假設(shè)的相反。為負(fù)值說(shuō)明實(shí)際方向與假設(shè)的相反。 2T3T，1e143.2 N mBTM2ee143.2 N m-318.3 N m-175 N mBATMM3e63.7 N mDTM max175TN m2、分段計(jì)算扭矩，分別為、分段計(jì)算扭矩，分別為（圖c） （圖d）（圖e）3、作扭矩圖、作扭矩圖 1、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系7.3 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力7.3.1 實(shí)心圓軸橫截面上的應(yīng)力實(shí)心圓軸橫截面上的應(yīng)力 變形后，圓軸上所有的橫截面均保持為平面，變形后，圓軸上所有的橫截面均保持為平面，即平面假設(shè)即平面假設(shè)；

5、橫截面上的半徑仍保持為直線；橫截面上的半徑仍保持為直線； 各橫截面的間距保持不變。各橫截面的間距保持不變。ddx2、物理關(guān)系、物理關(guān)系GddGGx 3、靜力學(xué)關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系 dAAT2ddAGdATx2pAdAI稱截面的極慣性矩稱截面的極慣性矩 pddTxGI得到圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上得到圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上任意點(diǎn)任意點(diǎn)切應(yīng)力公式切應(yīng)力公式pTImaxppRTTIWR當(dāng)當(dāng)時(shí)，表示圓截面邊緣處的切應(yīng)力最大時(shí)，表示圓截面邊緣處的切應(yīng)力最大 它是與截面形狀和尺寸有關(guān)的量。它是與截面形狀和尺寸有關(guān)的量。pW式中式中稱為稱為抗扭截面系數(shù)?？古そ孛嫦禂?shù)。7.3.2 極慣性矩和抗扭截面系數(shù)極慣性矩和抗扭截面系數(shù)實(shí)心

6、圓截面的極慣性矩：實(shí)心圓截面的極慣性矩： 42320232DPADIA dAd抗扭截面系數(shù)為：抗扭截面系數(shù)為：4332/ 2162PPDIDWDD空心圓極慣性矩軸空心圓極慣性矩軸： 423444222()(1)3232DdPADIA dAdDd34(1)/216PPIDWDdD式中式中為空心圓軸內(nèi)外徑之比。為空心圓軸內(nèi)外徑之比?？招膱A的抗扭截面系數(shù)空心圓的抗扭截面系數(shù)極慣性矩極慣性矩的量綱是長(zhǎng)度的四次方，的量綱是長(zhǎng)度的四次方，常用的單位為常用的單位為mm4抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)的量綱是長(zhǎng)度的三次方，的量綱是長(zhǎng)度的三次方，常用單位為常用單位為mm3工程上要求圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大切應(yīng)力不得超過(guò)工程上

7、要求圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力材料的許用切應(yīng)力 maxpmaxTW ，即7.4 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算7.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件 0.5 0.6 0.8 1.0上式稱為圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件。上式稱為圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件。塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 試驗(yàn)表明，材料扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力試驗(yàn)表明，材料扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力例題例題7.2 汽車的主傳動(dòng)軸，由汽車的主傳動(dòng)軸，由45號(hào)鋼的無(wú)縫鋼管號(hào)鋼的無(wú)縫鋼管制成，外徑制成，外徑 ，壁厚壁厚90 mmD 2.5 mm試校核該軸的強(qiáng)度。試校核該軸的強(qiáng)度。1.5 N mT 工作時(shí)的最大扭矩工作時(shí)的最大扭矩，

8、60 MPa若材料的許用切應(yīng)力若材料的許用切應(yīng)力，902 2.50.94490dD 解：1、計(jì)算抗扭截面系數(shù) 主傳動(dòng)軸的內(nèi)外徑之比6max23p1.5 10 N mm50.8 MPa295 10 mmTW2、計(jì)算軸的最大切應(yīng)力、計(jì)算軸的最大切應(yīng)力3344323p(90)(1)(1 0.944 ) mm295 10 mm1616DW抗扭截面系數(shù)為抗扭截面系數(shù)為3、強(qiáng)度校核、強(qiáng)度校核 max50.8 MPa主傳動(dòng)軸安全主傳動(dòng)軸安全 解：1、求實(shí)心軸的直徑，要求強(qiáng)度相同，即實(shí)心軸的最大切應(yīng)力也為51MPa，即 例題例題7.37.3 如把上題中的汽車主傳動(dòng)軸改為實(shí)心如把上題中的汽車主傳動(dòng)軸改為實(shí)心軸，

9、要求它與原來(lái)的空心軸強(qiáng)度相同，試確定實(shí)軸，要求它與原來(lái)的空心軸強(qiáng)度相同，試確定實(shí)心軸的直徑，并比較空心軸和實(shí)心軸的重量。心軸的直徑，并比較空心軸和實(shí)心軸的重量。631p1.5 10 N mm51MPa16TDW63116 1.5 10 N mm53.1mm 51PaDM 2、在兩軸長(zhǎng)度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比等于兩軸橫截面面積之比，即：2222221()908540.3153.14DdAAD空實(shí)討論：討論：由此題結(jié)果表明，在其它條件相同的情況由此題結(jié)果表明，在其它條件相同的情況下，空心軸的重量只是實(shí)心軸重量的下，空心軸的重量只是實(shí)心軸重量的31%31%，其節(jié)，其節(jié)省材料是非常明顯的

10、。省材料是非常明顯的。7.5.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形7.5 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件pddTxGI軸的扭轉(zhuǎn)變形用兩橫截面的軸的扭轉(zhuǎn)變形用兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：pddTxGIppddllTTlxGIGIrad相距長(zhǎng)度為l的兩橫截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 pGI當(dāng)扭矩為常數(shù)，且也為常量時(shí)，它表示軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。式中式中pGI稱為圓軸扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度， 相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)由扭矩的正負(fù)號(hào)確定，即正扭矩產(chǎn)生正扭轉(zhuǎn)角，負(fù)扭矩產(chǎn)生負(fù)扭轉(zhuǎn)角。若兩橫截面之間T有變化，或極慣性矩變化，亦或材料不同（切變模量G變化），則應(yīng)通過(guò)積分或分段計(jì)算出各段的扭轉(zhuǎn)角，然

11、后代數(shù)相加，即：1pniiiiiT lG I對(duì)于受扭轉(zhuǎn)圓軸的剛度通常用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿對(duì)于受扭轉(zhuǎn)圓軸的剛度通常用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)度的變化率用長(zhǎng)度的變化率用 表示，稱為表示，稱為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。即：即： pddTxGI 7.5.2 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件對(duì)于建筑工程、精密機(jī)械，剛度的剛度條件： maxm axpm ax180TG I將上式中的弧度換算為度，得：在工程中 的單位習(xí)慣用（度/米）表示， ， 對(duì)于等截面圓軸，即為：對(duì)于等截面圓軸，即為： maxmaxp180TGI 0.15 ( ) m 0.30 ( ) m許用扭轉(zhuǎn)角許用扭轉(zhuǎn)角的數(shù)值，根據(jù)軸的使用精密度、的數(shù)值，根

12、據(jù)軸的使用精密度、生產(chǎn)要求和工作條件等因素確定。生產(chǎn)要求和工作條件等因素確定。對(duì)于精密機(jī)器的軸對(duì)于精密機(jī)器的軸對(duì)一般傳動(dòng)軸對(duì)一般傳動(dòng)軸 0.5( ) m1.0 ( ) m50 mmd 例題例題7.47.4 圖示軸的直徑 ，切變模量切變模量80 GPaG 試計(jì)算該軸兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角。試計(jì)算該軸兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角。解解：兩端面之間扭轉(zhuǎn)為角：兩端面之間扭轉(zhuǎn)為角：pppp(2)BCCDABADABBCT lT lT llTTGIGIGIGI44444p(50) mm61.36 10 mm3232dI 6634500(2 2 101 10 )80 1061.36 100.051radAD 60 kWP 例題例題7.5 主傳動(dòng)鋼軸，傳遞功率主傳動(dòng)鋼軸，傳遞功率，轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速250 r minn 40 MPa，傳動(dòng)軸的許用切應(yīng)力傳動(dòng)軸的許用切應(yīng)力 0.5( ) m許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角80 GPaG 切變模量切變模量 求傳動(dòng)軸所需的直徑？求傳動(dòng)軸所需的直徑？ 解：解：1、計(jì)算軸的扭矩、計(jì)算軸的扭矩60 kW95492292 N m250 r minT 2、根據(jù)