浙江專用高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.13.1.2兩條直線平行與垂直的判定學(xué)案新人教A版必修

1、13.1.23.1.2兩條直線平行與垂直兩條直線平行與垂直的判定的判定目標(biāo)定位1.掌握用斜率判定兩條直線平行和垂直的方法.2.能根據(jù)兩條直線平行或垂直的關(guān)系確定兩條直線斜率的關(guān)系.自 主 預(yù) 習(xí)1.兩條直線平行與斜率的關(guān)系(1)如圖設(shè)兩條不重合的直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，若l1l2，則k1k2；反之，若k1k2，則l1l2.(2)如圖若兩條不重合的直線的斜率不存在，則這兩條直線也平行.2.兩條直線垂直與斜率的關(guān)系(1)如圖，如果兩條直線都有斜率且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于1； 反之， 如果它們的斜率之積等于1， 那么它們互相垂直.即k1k21l1l2，l1l2k1k21.

2、(2)如圖，若l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是垂直.即 時 自 測1.判斷題(1)若兩條直線斜率相等，則兩直線平行()(2)若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交.()(3)若兩直線的斜率之積等于1，則兩直線互相垂直.()(4)若直線l1l2，則直線l1與l2的斜率互為負(fù)倒數(shù).()提示(1)當(dāng)兩直線斜率相等時，兩直線平行或重合.(4)當(dāng)一條直線的斜率為 0，另一條直線的斜率不存在時，兩直線垂直.2.已知a(2，0)，b(3，3)，直線lab，則直線l的斜率k()a.3b.3c.13d.132解析因為直線lab，所以kkab30

3、323.答案b3.已知直線l1的斜率為 0，且l1l2，則l2的傾斜角為()a.0b.135c.90d.180解析kl10 且l1l2kl2不存在，直線l2的傾斜角為 90.答案c4.已知直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，且k12，l1l2，則k2_.解析l1l2，k1k21，k21k112.答案12類型一兩條直線平行的判定【例 1】 根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2的位置關(guān)系.(1)l1經(jīng)過點a(2，1)，b(3，5)，l2經(jīng)過點c(3，3)，d(8，7)；(2)l1的傾斜角為 60，l2經(jīng)過點m(3，2 3)，n(2，3 3).解(1)由題意知k1513245，k273834

4、5.因為k1k2，且a，b，c，d四點不共線，所以l1l2.(2)由題意知k1tan 60 3，k23 32 323 3.因為k1k2，所以l1l2或l1與l2重合.規(guī)律方法1.判斷兩直線是否平行，應(yīng)首先看兩直線的斜率是否存在，即看兩點的橫坐標(biāo)是否相等，若存在再看斜率是否相等.2.判斷斜率是否相等實際是看傾斜角是否相等，歸根結(jié)底是充分利用兩直線平行的條件.【訓(xùn)練 1】 根據(jù)給定的條件，判斷直線l1與直線l2的位置關(guān)系.(1)l1平行于y軸，l2經(jīng)過點p(0，2)，q(0，5)；(2)l1經(jīng)過點e(0，1)，f(2，1)，l2經(jīng)過點g(3，4)，h(2，3).解(1)由題意知l1的斜率不存在，且

5、不是y軸，l2的斜率也不存在，恰好是y軸，所以l1l2.(2)由題意知k111201，k234231，雖然k1k2，但是e，f，g，h四點共線，所以l1與l2重合.類型二兩條直線垂直的判定3【例 2】 判斷下列各組中的直線l1與l2是否垂直：(1)l1經(jīng)過點a(1，2)，b(1，2)，l2經(jīng)過點m(2，1)，n(2，1)；(2)l1的斜率為10，l2經(jīng)過點a(10，2)，b(20，3)；(3)l1經(jīng)過點a(3，4)，b(3，100)，l2經(jīng)過點m(10，40)，n(10，40).解(1)直線l1的斜率k12（2）1（1）2，直線l2的斜率k21（1）2（2）12，k1k21，故l1與l2不垂直

6、.(2)直線l1的斜率k110，直線l2的斜率k2322010110，k1k21，故l1l2.(3)l1的傾斜角為 90，則l1x軸.直線l2的斜率k2404010（10）0，則l2x軸.故l1l2.規(guī)律方法使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟：(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第二步；(2)二用：就是將點的坐標(biāo)代入斜率公式；(3)三求值：計算斜率的值，進(jìn)行判斷.尤其是點的坐標(biāo)中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論.【訓(xùn)練 2】 已知直線l1l2，若直線l1的傾斜角為 30，則直線l2的斜率為_.解析由題意可知直線l1的斜率k1tan 30

7、33，設(shè)直線l2的斜率為k2，則k1k21，k2 3.答案 3類型三平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用(互動探究)【例 3】 已知a(4，3)，b(2，5)，c(6，3)，d(3，0)四點，若順次連接abcd四點，試判定圖形abcd的形狀.思路探究探究點一判定圖形的形狀的基本思路是什么？提示先由圖形判斷四邊形各邊的關(guān)系，猜測四邊形的形狀，再由斜率之間的關(guān)系完成證明.探究點二利用斜率判定平行與垂直時需要注意什么？提示要注意考慮斜率是否存在，又要考慮到圖形可能出現(xiàn)的各種情形.解由題意知a，b，c，d四點在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，4如圖，由斜率公式可得kab532（4）13，kcd033613，kad033（4）3

8、，kbc356212.所以kabkcd，由圖可知ab與cd不重合，所以abcd，由kadkbc，所以ad與bc不平行.又因為kabkad13(3)1，所以abad，故四邊形abcd為直角梯形.規(guī)律方法(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關(guān)系進(jìn)行判定.(2)由幾何圖形的形狀求參數(shù)(一般是點的坐標(biāo))時，要根據(jù)圖形的特征確定斜率之間的關(guān)系，既要考慮斜率是否存在，又要考慮到圖形可能出現(xiàn)的各種情形.【訓(xùn)練 3】 已知abc的頂點a(5，1)，b(1，1)，c(2，m)，若abc為直角三角形，求m的值.解若a為直角，則acab，所以kacka

9、b1，即m12511151，得m7；若b為直角，則abbc，所以kabkbc1，即1115m1211，得m3；若c為直角，則acbc，所以kackbc1，即m125m1211，得m2.綜上可知，m7 或m3 或m2.課堂小結(jié)1.兩直線平行或垂直的判定方法.斜率直線斜率均不存在平行或重合一條直線的斜率為 0，另一條直線的斜率不存在垂直5斜率均存在相等平行或重合積為1垂直2.在兩條直線平行或垂直關(guān)系的判斷中體會分類討論的思想.1.下列說法正確的有()若兩直線斜率相等，則兩直線平行；若l1l2，則k1k2；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交；若兩直線斜率都不存在，則

10、兩直線平行.a.1 個b.2 個c.3 個d.4 個解析當(dāng)k1k2時，l1與l2平行或重合，不成立；中斜率不存在時，不正確；同也不正確.只有正確.答案a2.過點( 3， 6)，(0，3)的直線與過點( 6， 2)，(2，0)的直線的位置關(guān)系為()a.垂直b.平行c.重合d.以上都不正確解析過點( 3， 6)，(0，3)的直線的斜率k16330 2 3；過點( 6， 2)，(2，0)的直線的斜率k22062 3 2.因為k1k21，所以兩條直線垂直.答案a3.直線l1的斜率為 2， 直線l2上有三點m(3， 5)，n(x， 7)，p(1，y)， 若l1l2， 則x_，y_.解析l1l2，且l1的

11、斜率為 2，則l2的斜率為12，75x3y51312，x1，y7.答案174.已知a(m，1)，b(3，4)，c(1，m)，d(1，m1).(1)當(dāng)m為何值時，abcd?(2)當(dāng)m為何值時，abcd?解(1)abcdkabkcdkbc，3m312m44，解得m3，當(dāng)m3 時，abcd.6(2)abcdkabkcd1，3m312 1，解得m92，當(dāng)m92時，abcd.基 礎(chǔ) 過 關(guān)1.經(jīng)過兩點a(2，3)，b(1，x)的直線l1與斜率為1 的直線l2平行，則實數(shù)x的值為()a.0b.6c.6d.3解析直線l1的斜率k1x3123x3，由題意可知3x31，x6.答案c2.以a(1，1)，b(2，1

12、)，c(1，4)為頂點的三角形是()a.銳角三角形b.鈍角三角形c.以a點為直角頂點的直角三角形d.以b點為直角頂點的直角三角形解析kab112123，kac411132，kabkac1，abac，a為直角.答案c3.已知abcd的三個頂點的坐標(biāo)分別是a(0， 1)，b(1， 0)，c(4， 3)， 則頂點d的坐標(biāo)為()a.(3，4)b.(4，3)c.(3，1)d.(3，8)解析設(shè)d(m，n)，由題意得abdc，adbc，則有kabkdc，kadkbc，01103n4m，n1m03041，解得m3n4，點d的坐標(biāo)為(3，4).答案a4.已知直線l1的傾斜角為 45，直線l2l1，且l2過點a(

13、2，1)和b(3，a)，則a的值為_.解析l2l1，且l1的傾斜角為 45，kl2kl1tan 451，即a（1）3（2）1，所以a4.答案475.已知直線l1的斜率為 3，直線l2經(jīng)過點a(1，2)，b(2，a)，若直線l1l2，則a_；若直線l1l2，則a_.解析l1l2時，a2213，則a5；l1l2時，a22113，則a53.答案5536.當(dāng)m為何值時，過兩點a(1，1)，b(2m21，m2)的直線：(1)傾斜角為 135；(2)與過兩點(3，2)，(0，7)的直線垂直；(3)與過兩點(2，3)，(4，9)的直線平行.解(1)由kabm32m21，解得m32或 1.(2)由kabm32

14、m2，且72033，m32m213，解得m32或3.(3)令m32m293422，解得m34或1.7.已知直線l1經(jīng)過點a(3，m)，b(m1，2)，直線l2經(jīng)過點c(1，2)，d(2，m2).(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值.解由題意知直線l2的斜率存在且k22（m2）1（2）m3.(1)若l1l2，則直線l1的斜率也存在，由k1k2，得2mm4m3，解得m1 或m6，經(jīng)檢驗，當(dāng)m1 或m6 時，l1l2.(2)若l1l2.當(dāng)k20 時，此時m0，l1斜率存在，不符合題意；當(dāng)k20 時， 直線l2的斜率存在且不為 0， 則直線l1的斜率也存在， 則k1k21， 即m32

15、mm41，解得m3 或m4，8所以當(dāng)m3 或m4 時，l1l2.能 力 提 升8.已知a(m，3)，b(2m，m4)，c(m1，2)，d(1，0)，且直線ab與直線cd平行，則m的值為()a.1b.0c.0 或 2d.0 或 1解析當(dāng)ab與cd斜率均不存在時，m0，此時abcd，當(dāng)kabkcd時，m1，此時abcd.答案d9.若點p(a，b)與q(b1，a1)關(guān)于直線l對稱，則l的傾斜角為()a.135b.45c.30d.60解析kpqa1bb1a1，kpqkl1，l的斜率為 1，傾斜角為 45.答案b10.直線l1，l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程 2k24km0 的兩根， 若l1l2，

16、則m_，若l1l2，則m_.解析由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得k1k2m2，若l1l2則m21，m2.若l1l2則k1k2即關(guān)于k的二次方程 2k24km0 有兩個相等的實根，(4)242m0，m2.答案2211.已知abc三個頂點坐標(biāo)分別為a(2，4)，b(6，6)，c(0，6)，求此三角形三邊的高所在直線的斜率.解由斜率公式可得kab6（4）6（2）54，kbc66600，kac6（4）0（2）5.由kbc0 知直線bcx軸，bc邊上的高線與x軸垂直，其斜率不存在.設(shè)ab、ac邊上高線的斜率分別為k1、k2，由k1kab1，k2kac1，即k1541，k251，解得k145，k215.bc邊上的高所在直線的斜率不存在；9