概率統(tǒng)計模型

1、數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽 1 報童的訣竅報童的訣竅2 隨機人口模型隨機人口模型3 牙膏的銷售量牙膏的銷售量4 健康與疾病健康與疾病 5 鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售的存貯策略第五講第五講 概率統(tǒng)計模型概率統(tǒng)計模型確定性因素和隨機性因素確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)地以平均值的作用出現(xiàn)隨機因素影響必須考慮隨機因素影響必須考慮概率模型概率模型統(tǒng)計回歸模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型馬氏鏈模型隨機模型隨機模型確定性模型確定性模型隨機性模型隨機性模型問問題題報童售報：報童售報： a (零售價零售價) b(購進價購進價) c(退

2、回價退回價)售出一份賺售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c 每天購進多少份可使收入最大？每天購進多少份可使收入最大？分分析析購進太多購進太多賣不完退回賣不完退回賠錢賠錢購進太少購進太少不夠銷售不夠銷售賺錢少賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進量應(yīng)根據(jù)需求確定購進量每天需求量是隨機的每天需求量是隨機的優(yōu)化問題的目標函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入優(yōu)化問題的目標函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機的每天收入是隨機的存在一個合存在一個合適的購進量適的購進量等于每天收入的期望等于每天收入的期望1 建建模模 設(shè)每天購進設(shè)每天購進 n 份，份，日平均收入為日平均收入為 g(n)調(diào)查需求量的隨機規(guī)律調(diào)查需求量的

3、隨機規(guī)律每天每天需求量為需求量為 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2準準備備)()(rncbrnrbarnr賠退回賺售出nbannr)( 賺售出nrnrrnfbarfrncbrbang01)()()()()()(求求 n 使使 g(n) 最大最大 已知售出一份賺已知售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-cnndrrnpbadrrprncbrbang0)()()()()()(dndg求解求解將將r視為連續(xù)變量視為連續(xù)變量概率密度）()()(rprf0dndgcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()(

4、)(ndrrpcbnnpba0)()()()(cbbadrrpdrrpnn)()(0結(jié)果解釋結(jié)果解釋nnpdrrppdrrp201)(,)(np1p2cbbapp21取取n使使 a-b 售出一份賺的錢售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢退回一份賠的錢ncbnba)(,)(0rp背景背景 一個人的出生和死亡是隨機事件一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū)一個國家或地區(qū)平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率確定性模型確定性模型一個家族或村落一個家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率隨機性模型隨機性模型對象對象x(t) 時刻時刻 t 的人口的人口, 隨機變量隨機變量.pn(t) 概率概率

5、p(x(t)=n), n=0,1,2,研究研究pn(t)的變化規(guī)律；得到的變化規(guī)律；得到x(t)的期望和方差的期望和方差2 若若x(t)=n, 對對t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假設(shè)的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與出生一人的概率與 t成正比，記成正比，記bn t ;出生二人及二人以上的概率為出生二人及二人以上的概率為o( t).2)死亡一人的概率與死亡一人的概率與 t成正比，記成正比，記dn t ;死亡二人及二人以上的概率為死亡二人及二人以上的概率為o( t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。出生和死亡是相互獨立的隨機事件。 bn與與n成正比，記成正比，記bn= n ,

6、 出生概率出生概率；dn與與n成正比，記成正比，記dn= n， 死亡概率死亡概率。進一步假設(shè)進一步假設(shè)模型假設(shè)模型假設(shè))()1)()()()(1111totdtbtptdtptbtpttpnnnnnnnn建模建模為得到為得到pn(t)=p(x(t)=n),的變化規(guī)律，的變化規(guī)律，考察考察pn(t+ t) =p(x(t + t)=n).事件事件x(t + t)=n的分解的分解x(t)=n-1, t內(nèi)出生一人內(nèi)出生一人x(t)=n+1, t內(nèi)死亡一人內(nèi)死亡一人x(t)=n, t內(nèi)沒有出生和死亡內(nèi)沒有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出生或死亡二人，出生且死亡一人，出生且死亡一人， )概率概率pn

7、(t+ t) pn-1(t) bn-1 t pn+1(t) dn+1 t pn(t)(1-bn t -dn t) o( t)()()() 1()() 1(11tnptpntpndtdpnnnn)()()()(1111tpdbtpdtpbdtdpnnnnnnnn一組遞推微分方程一組遞推微分方程求解的困難和不必要求解的困難和不必要00, 0, 1)0(nnnnpn(t=0時已知人口為時已知人口為n0)轉(zhuǎn)而考察轉(zhuǎn)而考察x(t)的期望和方差的期望和方差bn= n，dn= n微分方程微分方程建模建模1)()()()(nntetnpdtde)()()()1()()1(121111tpntpnntpnndt

8、dennnnnn1)()(nntnptex(t)的期望的期望求解求解)()()() 1()() 1(11tnptpntpndtdpnnnn基本方程基本方程1)()1(kktpkkn-1=k1nndtdpndtden+1=k)()1(1tpkkkk求解求解0)0()()(netedtdertextx0)( 比較：確定性指數(shù)增長模型比較：確定性指數(shù)增長模型)()()(212tetpntdnnx(t)的方差的方差e(t)- (t) - = r d(t) rentert,)(0e(t)+ (t)et0n0 , d(t) 1)()()(0tteentdx(t)大致在大致在 e(t) 2 (t) 范圍內(nèi)（

9、范圍內(nèi)（ (t) 均方差）均方差）r 增長概率增長概率r 平均增長率平均增長率問問題題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型 預(yù)測在不同價格和廣告費用下的牙膏銷售量預(yù)測在不同價格和廣告費用下的牙膏銷售量 收集了收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、廣告費用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價廣告費用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價 9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量銷售

10、量(百萬支百萬支)價格差價格差（元）（元）廣告費用廣告費用(百萬元百萬元)其它廠家其它廠家價格價格(元元)本公司價本公司價格格(元元)銷售銷售周期周期3 基本模型基本模型y 公司牙膏銷售量公司牙膏銷售量x1其它廠家與本公司其它廠家與本公司價格差價格差x2公司廣告費用公司廣告費用110 xy222210 xxy55.566.577.577.588.599.510 x2y-0.677.588.599.510 x1y22322110 xxxyx1, x2解釋變量解釋變量(回歸變量回歸變量, 自變量自變量) y被解釋變量（因變量）被解釋變量（因變量） 0, 1 , 2 , 3 回歸

11、系數(shù)回歸系數(shù) 隨機隨機誤差（誤差（均值為零的均值為零的正態(tài)分布隨機變量）正態(tài)分布隨機變量）matlab 統(tǒng)計工具箱統(tǒng)計工具箱 模型求解模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 輸入輸入 x= n 4數(shù)數(shù)據(jù)矩陣據(jù)矩陣, 第第1列為全列為全1向量向量1 2221xxxalpha(置信置信水平水平,0.05) 22322110 xxxyb 的的估計值估計值 bintb的置信區(qū)間的置信區(qū)間 r 殘差向量殘差向量y-xb rintr的置信區(qū)間的置信區(qū)間 stats檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 r2,f, p yn維數(shù)據(jù)向量維數(shù)據(jù)向量輸出輸出 由數(shù)據(jù)由數(shù)據(jù) y,x1,x

12、2估計估計 參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)估計值置信區(qū)間置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 r2=0.9054 f=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3結(jié)果分析結(jié)果分析y的的90.54%可由模型確定可由模型確定 參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)估計值置信區(qū)間置信區(qū)間17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 r2=0.9054 f=82.940

13、9 p=0.0000 0 1 2 322322110 xxxyf遠超過遠超過f檢驗的臨界值檢驗的臨界值 p遠小于遠小于 =0.05 2的置信區(qū)間包含零點的置信區(qū)間包含零點(右端點距零點很近右端點距零點很近) x2對因變量對因變量y 的的影響不太顯著影響不太顯著x22項顯著項顯著 可將可將x2保留在模型中保留在模型中 模型從整體上看成立模型從整體上看成立22322110 xxxy銷售量預(yù)測銷售量預(yù)測 價格差價格差x1=其它廠家其它廠家價格價格x3-本公司本公司價格價格x4估計估計x3調(diào)整調(diào)整x4控制價格差控制價格差x1=0.2元，投入廣告費元，投入廣告費x2=650萬元萬元銷售量預(yù)測區(qū)間為銷售量

14、預(yù)測區(qū)間為 7.8230，8.7636（置信度（置信度95%）上限用作庫存管理的目標值上限用作庫存管理的目標值 下限用來把握公司的現(xiàn)金流下限用來把握公司的現(xiàn)金流 若估計若估計x3=3.9，設(shè)定，設(shè)定x4=3.7，則可以，則可以95%的把握的把握知道銷售額在知道銷售額在 7.8320 3.7 29（百萬元）以上（百萬元）以上控制控制x1通過通過x1, x2預(yù)測預(yù)測y2933.822322110 xxxy(百萬支百萬支)模型改進模型改進x1和和x2對對y的的影響?yīng)毩⒂绊應(yīng)毩?22322110 xxxy21422322110 xxxxxy參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)估計值置信區(qū)間置信區(qū)間17.32445.

15、7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 r2=0.9054 f=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)估計值置信區(qū)間置信區(qū)間29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 r2=0.9209 f=72.7771 p=0.0000 3 0 1 2 4x1和和x2對對y的影響有的影響有交互

16、作用交互作用兩模型銷售量預(yù)測兩模型銷售量預(yù)測比較比較21422322110 xxxxxy22322110 xxxy2933. 8 y(百萬支百萬支)區(qū)間區(qū)間 7.8230，8.7636區(qū)間區(qū)間 7.8953，8.7592 3272. 8 y(百萬支百萬支)控制價格差控制價格差x1=0.2元，投入廣告費元，投入廣告費x2=6.5百萬元百萬元預(yù)測區(qū)間長度更短預(yù)測區(qū)間長度更短 略有增加略有增加 y x2=6.5x1=0.2 -0.67.588.59x1y -0.67.588.59x1y 56787.588.599.510 x2y 567888.599.5101

17、0.5x2y 22322110 xxxy21422322110 xxxxxy兩模型兩模型 與與x1, ,x2關(guān)系的關(guān)系的比較比較y 交互作用影響的討論交互作用影響的討論2221 . 06712. 07558. 72267.301xxyx價格差價格差 x1=0.1 價格差價格差 x1=0.32223 . 06712. 00513. 84535.321xxyx21422322110 xxxxxy5357. 72x加大廣告投入使銷售量增加加大廣告投入使銷售量增加 （ x2大于大于6百萬元）百萬元）價格差較小時增加價格差較小時增加的速率更大的速率更大 56787.588.599.51010.5x1=0

18、.1x1=0.3x2y 1 . 03 . 011xxyy價格優(yōu)勢會使銷售量增加價格優(yōu)勢會使銷售量增加 價格差較小時更需要靠廣告價格差較小時更需要靠廣告來吸引顧客的眼球來吸引顧客的眼球 完全二次多項式模型完全二次多項式模型 22521421322110 xxxxxxymatlab中有命令中有命令rstool直接求解直接求解088.599.5105.566.57x1x2y ),(543210從輸出從輸出 export 可得可得馬氏鏈模型馬氏鏈模型 系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的 從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率

19、轉(zhuǎn)移 下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率 已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）描述一類重要的描述一類重要的隨機動態(tài)隨機動態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型系統(tǒng)（過程）的模型馬氏鏈馬氏鏈 (markov chain)時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉(zhuǎn)移過程時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉(zhuǎn)移過程通過有實際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)通過有實際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)例例1. 人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對特人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率定年齡段的人，今年健康、明

20、年保持健康狀態(tài)的概率為為0.8, 而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，人的健康狀態(tài)隨著時間的推移會隨機地發(fā)生轉(zhuǎn)變?nèi)说慕】禒顟B(tài)隨著時間的推移會隨機地發(fā)生轉(zhuǎn)變 保險公司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計保險公司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計, 以制以制訂保險金和理賠金的數(shù)額訂保險金和理賠金的數(shù)額 若某人投保時健康若某人投保時健康, 問問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率年后他仍處于健康狀態(tài)的概率4 , 1 , 0, 2 , 1,),(1njiixjxppnnij轉(zhuǎn)移概率xn+1只取決于只取決于xn和和pij, 與與xn-1, 無關(guān)無關(guān)8 . 011p2 .

21、011112pp7 . 021p3 . 012122pp年疾病第年健康第狀態(tài)nnxn, 2, 1, 1 , 0, 2 , 1),()(niixpnani狀態(tài)概率狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性有無后效性 2121111)()() 1(pnapnana0.72221212)()() 1(pnapnana n 0a2(n) 0 a1(n) 1設(shè)投保設(shè)投保時健康時健康給定給定a(0), 預(yù)測預(yù)測 a(n), n=1,2設(shè)投保設(shè)投保時疾病時疾病a2(n) 1 a1(n) 0 n時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀

22、態(tài)無關(guān)22212122121111)()()1()()()1(pnapnanapnapnana3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.23 0.223 7/9 2/9 狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移0.780.221230.10.080.65例例2. 健康和疾病狀態(tài)同上，健康和疾病狀態(tài)同上，xn=1 健康健康, xn=2 疾病疾病333232131332322212123132121111)()()()1()()()()1()()()()1(pnapnapnanapnapnapnan

23、apnapnapnanap11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡為第死亡為第3種狀態(tài)，記種狀態(tài)，記xn=3健康與疾病健康與疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 n 0 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 設(shè)投保時處于健康狀態(tài)，預(yù)測設(shè)投保時處于健康狀態(tài)，預(yù)測 a(n), n=1,2 不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3 ； 一旦一旦a1(k)= a2(

24、k)=0, a3(k)=1, 則對于則對于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即從狀態(tài)即從狀態(tài)3不會轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。不會轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移001 50 0.1293 0.0326 0.8381 , 1 , 0, 2 , 1),()(nkiixpnani狀態(tài)概率)(1ixjxppnnij轉(zhuǎn)移概率), 1 , 0(, 2 , 1nkxn狀態(tài)馬氏鏈的基本方程馬氏鏈的基本方程1)(1nakiikippkjijij, 2 , 1, 1, 01）（非負，行和為轉(zhuǎn)移概率矩陣1kkijpppnana)()1(kipnanakjjiji,2, 1,)()1(1

25、基本方程基本方程狀態(tài)概率向量)(,),(),()(21nanananaknpana)0()(wwpw滿足馬氏鏈的兩個重要類型馬氏鏈的兩個重要類型 1. 正則鏈正則鏈 從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達另外任一狀態(tài)（如例能以正概率到達另外任一狀態(tài)（如例1）。）。0,npn正則鏈pnana)() 1()()(,nwnaw正則鏈3 . 07 . 02 . 08 . 0. 1 p例)9/2 , 9/7(w2211213 . 02 . 07 . 08 . 0wwwwww11kiiww滿足121ww217 . 02 . 0ww w 穩(wěn)態(tài)概率穩(wěn)態(tài)概率qriprr0馬氏鏈的兩個

26、重要類型馬氏鏈的兩個重要類型 2. 吸收鏈吸收鏈 存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離開的狀態(tài)開的狀態(tài)i, pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達吸收狀態(tài)（如例限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達吸收狀態(tài)（如例2）。）。有有r個吸收狀態(tài)的吸收鏈個吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標準形式的轉(zhuǎn)移概率陣標準形式r有非有非零元素零元素01)(ssqqimte)1 , 1 , 1 (meyyyyrk),(21yi 從第從第 i 個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。鋼琴銷售量很小

27、，商店的庫存量不大以免積壓資金鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金 一家商店根據(jù)經(jīng)驗估計，平均每周的鋼琴需求為一家商店根據(jù)經(jīng)驗估計，平均每周的鋼琴需求為1架架存貯策略存貯策略：每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，：每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，才訂購才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購。架供下周銷售；否則，不訂購。 估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。以及每周的平均銷售量是多少。 背景與問題背景與問題5 問題分析問題分析 顧客的到來相互獨立，需求量近似服從波松分布，其顧客的到來相互獨立，需求量近似服從波

28、松分布，其參數(shù)由需求均值為每周參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計算需求概率架確定，由此計算需求概率 存貯策略是周末庫存量為零時訂購存貯策略是周末庫存量為零時訂購3架架 周末的庫存周末的庫存量可能是量可能是0, 1, 2, 3，周初的庫存量可能是，周初的庫存量可能是1, 2, 3。用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化。用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化。動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機會（需求動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機會（需求超過庫存）的概率不同。超過庫存）的概率不同。 可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機會的

29、概率和每周的平均銷售量。會的概率和每周的平均銷售量。 模型假設(shè)模型假設(shè) 鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周1架架 存貯策略存貯策略：當周末庫存量為零時，訂購：當周末庫存量為零時，訂購3架，周架，周初到貨；否則，不訂購。初到貨；否則，不訂購。 以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性。無后效性。 在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存貯策略失去銷售機會的概在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存貯策略失去銷售機會的概率，和每周的平均銷售量。率，和每周的平均銷售量。 模型建立模型建立 dn第第n周需求量，均值為周需求量，均值為1的波松分布的波

30、松分布 )2 , 1 , 0(!/)(1kkekdpnsn第第n周初庫存量周初庫存量(狀態(tài)變量狀態(tài)變量 )狀態(tài)轉(zhuǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律移規(guī)律 nnnnnnnsdsddss, 3,1368. 0)0() 11(111nnndpsspp0) 12(112nnsspp632. 0) 1() 13(113nnndpsspp3 , 2 , 1nsdn 0 1 2 3 3p 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0333231232221131211pppppppppp狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣 448. 0) 3() 0() 33(133nnnndpdpsspp 模型建立模型建立 pnana)()1(3 , 2 , 1),()(iispnani狀態(tài)概率狀態(tài)概率 )452. 0 ,263. 0 ,285. 0(),(321wwww馬氏鏈的基本方程馬氏鏈的基本方程448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0p正則鏈正則鏈 穩(wěn)態(tài)概率分布穩(wěn)