第4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法PPT課件

1、1uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為tzdd類類似似地地, ,若若中中間間變變量量為為三三個(gè)個(gè), ,),(wvufz , ,)(tu , , )(tv , ,)(tw , ,則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(),(),(tttfz 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 .ddddddddtwwztvvztuuztz 第1頁/共28頁2設(shè)設(shè)vuz 2, ,xvxue ,sin , ,求求xzdd. . 解解例例1 1xvvzxuuzxzdddddd xxuecos2 .e2sinxx 第2頁/共28頁3xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .2 2. .復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函

2、數(shù)的情形定定理理 設(shè)設(shè)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏導(dǎo)導(dǎo), ,則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 可可偏偏導(dǎo)導(dǎo), , 且且有有 鏈?zhǔn)椒▌t如圖示uvxzy第3頁/共28頁4 vz,xv yz uz鏈?zhǔn)椒▌t如圖示uvxzy xz uzxu yu vz.yv 2.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定定理理 設(shè)設(shè)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏導(dǎo)導(dǎo), ,則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 可可偏偏導(dǎo)導(dǎo), , 且且有有 第4頁/共28頁5xwwzxvvzxu

3、uzxz ,zwvuyxywwzyvvzyuuzyz .類類似似地地, ,設(shè)設(shè)),(wvufz , ,),(yxu , ,),(yxv , , ),(yxw , ,則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxyxfz 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 第5頁/共28頁6設(shè)設(shè)vzusine ，而，而xyu ，yxv ， 解解1cosesine vyvuu,)cos()sin(eyxyxyxy 1cosesine vxvuu.)cos()sin(eyxyxxxy 例例2 2求求 xz 和和 yz . xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 第6頁/共28頁7設(shè)設(shè) tuvzsin ，而而 tue ，tvc

4、os ， 解解tztvvztuuztz ddddddttuvtcossine tttttcossinecose .cos)sin(cosetttt 例例3 3.ddtz求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)第7頁/共28頁8解解例例4 4設(shè)設(shè)22 ,yxuxyuz , ,求求yzxz ,. . ，323yyx .323xyxyz 用求導(dǎo)法則，用求導(dǎo)法則，)(xuxuyxz )3(22yxy 由對稱性可知，由對稱性可知，第8頁/共28頁9設(shè)設(shè))sin(sinsinxyfxu , ,其其中中f可可微微，求求證證 證證例例5 5.coscoscoscosyxyxuxyu xu )cos()(cosxvfx ,)(1 co

5、svfx yu ,cos)(yvf 所以所以yxuxyucoscos xyvfcoscos)( 記記,sinsinxyv yxvfcoscos)(1 .coscosyx 第9頁/共28頁10設(shè)設(shè))(xyxFz , ,其其中中F可可微微，求求證證 證證例例6 6.lnzyzyyxzx xz xuuFxuF )()(yz 所以所以記記,xyu ,ln)()(yyuFxuFx ,)(1 xxyuFxyuuFx )(yzyyxzx lnyyuFxuxFxln)()(2 yyuFxxln)(2 .)(zyxFx 第10頁/共28頁11若若又又有有)(tgx , ,g可可導(dǎo)導(dǎo)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(tg

6、fy 的的微微分分為為 一階全微分的形式不變性一階全微分的形式不變性回顧回顧：結(jié)論結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx xxfyd)(d 設(shè)設(shè))(xfy 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則xxfyd)(d , , 而而 ttgxd)(d , 因因此此又又有有 xxfyd)(d , , ,d)()(dttgxfy 此性質(zhì)稱為此性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性一階微分的形式不變性. . 第11頁/共28頁12yyzxxzzddd 可以證明，可以證明，當(dāng)當(dāng) x, y 為為 s, t 的的可可微微函函數(shù)數(shù)，即即),(tsxx 仍有公式仍有公式 yyzxxzz

7、ddd 這就是說，不論這就是說，不論x, ,y是自變量還是中間變量，其微是自變量還是中間變量，其微分形式不變，稱為分形式不變，稱為一階微分的形式不變性一階微分的形式不變性. . 一階全微分的形式不變性一階全微分的形式不變性第12頁/共28頁13解解例例1010 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分. . xyyxze)( )1( e)(ddxyyxz )(dede)(yxyxxyxy )d(de)dd(e)(yxyxxyyxxyxy ,d)1(ed)1(e22yxyxxyxyxyxy 所以所以, )1(e2 yxyxzxy.)1(e2 xyxyzxy第13頁/共28頁14解解)

8、2ln( )2(2yxxz 所以所以)2ln(dd2yxxz )2ln(dd)2ln(22yxxxyx yxyxxxyx2)2(dd)2ln(222 ,d22d22)2ln(2222yyxxxyxxyx ,22)2ln(222yxxyxxz .222yxxyz 例例1010 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分. . 第14頁/共28頁15二、隱函數(shù)微分法二、隱函數(shù)微分法一元隱函數(shù)存在定理一元隱函數(shù)存在定理 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxF滿滿足足: : 1 1) ) 0),(00 yxF； 2 2) ) 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)F具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)y

9、xFF ,； 3 3) ) 0),(00 yxFy, , .ddyxFFxy 證略證略. . 第15頁/共28頁16推導(dǎo)：推導(dǎo)： ，0)(,),( xfxFyxF，0dd xyyFxF，0 yF.dd yxFFxy yxFFxy dd，0),( yxF等式兩邊對等式兩邊對x求導(dǎo)，求導(dǎo)， 第16頁/共28頁17例例1010設(shè)設(shè)2esinxyyx , ,求求xydd. . 解法解法1 1所以所以,e2yFxx 設(shè)設(shè)2esin),(xyyyxFx , , ,2cosxyyFy .2cosedd2xyyyFFxyxyx 第17頁/共28頁18方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得 ，yxyyyy

10、x 2ecos2解得解得.2cose2xyyyyx 例例1010設(shè)設(shè)2esinxyyx , ,求求xydd. . 解法解法2 2第18頁/共28頁19二元隱函數(shù)存在定理二元隱函數(shù)存在定理 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(zyxF滿滿足足: : 1 1) ) 0),(000 zyxF； 3 3) ) 0),(000 zyxFz, , 證略證略. . ，zxFFxz .zyFFyz 第19頁/共28頁20),(zyxF 兩兩邊邊對對x求求偏偏導(dǎo)導(dǎo), ,得得 0 xzFFzx, 而而0 zF zxFFxz . 兩兩邊邊對對y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo), ,得得 0 yzFFzy, , 而而0 zF zyFFyz . 0),(,

11、 yxfyxF, 推導(dǎo)：推導(dǎo)： ，0),( zyxF，zxFFxz .zyFFyz 第20頁/共28頁21例例1111解法解法1 1設(shè)設(shè)隱隱函函數(shù)數(shù)),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 確確定定， 求求 yzxz ,. . 設(shè)設(shè)yzxzzyxF2sin),( ， ,2xyzFx ,sin2zxzFy ,cos2yxzFz 所以所以，yxzxyzFFxzzx2cos2 .cos22yxzzxFFyzzy 第21頁/共28頁22方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于x 求求偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), , ，xzyxxyzxzz 22cos例例1111解法解法2 2設(shè)設(shè)隱隱函函數(shù)數(shù)),(yxzz 由由方方程程yzxz

12、2sin 確確定定， 求求 yzxz ,. . ;cos2 2yxzxyzxz 方程兩邊方程兩邊再再關(guān)于關(guān)于y 求求偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), , ，yzyxzxyzz 22cos.cos 22yxzzxyz 第22頁/共28頁23方程兩邊求方程兩邊求全微分全微分, , ，zyxyzxxxyzzzddd2dcos22 例例1111解法解法3 3設(shè)設(shè)隱隱函函數(shù)數(shù)),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 確確定定， 求求 yzxz ,. . 解得解得 ,dcosdcos2d222yyxzzxxyxzxyzz 從而從而,cos2 2yxzxyzxz .cos22yxzzxyz 第23頁/共28頁24例例12

13、12解解由由方方程程1543 zxzyz確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)),(yxzz ， 視視z為為yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxzz , , 方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于x 求求偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), , ，05434342 xzzxzzxzxzzy當(dāng)當(dāng)0 yx時(shí)時(shí), ,1 z， 代入上式得代入上式得，051 xz;51 )0,0( xz,)0,0(xz .)0,0(yz 求求第24頁/共28頁25視視z為為yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxzz , , 方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于y 求求偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), , ，05434323 yzzyzzxyzzyz將將0 yx, ,1 z代代入入， ，051 yz.51 )0,0( yz例例1212解解由由方方程程1543 zxzyz確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)),(yxzz ， ,)0,0(xz .)0,0(yz 求求第25頁/共28頁26例例1313解解對方程對方程兩邊兩邊微分微分，解得解得0)ddd(ededdd xyzxxxyzyxzyxz.dde1e )1(1dyxxxzyxzyxz 第26頁/共28頁27設(shè)設(shè)方方程程0),( xzy