第5章測量誤差PPT課件

1、例例2 2：視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸對水準(zhǔn)尺讀數(shù)的影響視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸對水準(zhǔn)尺讀數(shù)的影響Dii 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：具有累計(jì)性，對測量結(jié)果影響大。具有累計(jì)性，對測量結(jié)果影響大。 具有規(guī)律性，其影響一般可消除。具有規(guī)律性，其影響一般可消除。消除方法：消除方法：1）用計(jì)算方法，如對丈量結(jié)果加改正數(shù)。用計(jì)算方法，如對丈量結(jié)果加改正數(shù)。2 2）采取適當(dāng)?shù)挠^測方法，如水準(zhǔn)測量要求前后視距離相等。）采取適當(dāng)?shù)挠^測方法，如水準(zhǔn)測量要求前后視距離相等。2.偶然誤差偶然誤差偶然誤差在相同的觀測條件下對某量作一系列的觀測，如果產(chǎn)生的誤差的在相同的觀測條件下對某量作一系列的觀測，如果產(chǎn)生的誤差的符號

2、符號及及大小大小都都沒有表現(xiàn)出一致的傾向沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即表面上沒有任何規(guī)律性。，即表面上沒有任何規(guī)律性。第1頁/共32頁例：例：水準(zhǔn)尺讀數(shù)誤差、角度測量中的瞄準(zhǔn)誤差水準(zhǔn)尺讀數(shù)誤差、角度測量中的瞄準(zhǔn)誤差 偶然誤差的產(chǎn)生總是有原因的，是多方面因素的綜合影響，當(dāng)無一因素占主偶然誤差的產(chǎn)生總是有原因的，是多方面因素的綜合影響，當(dāng)無一因素占主導(dǎo)地位時，誤差呈隨機(jī)性。但對大量偶然誤差而言，具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。導(dǎo)地位時，誤差呈隨機(jī)性。但對大量偶然誤差而言，具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。儀器誤差多為系統(tǒng)誤差儀器誤差多為系統(tǒng)誤差觀測誤差是偶然誤差觀測誤差是偶然誤差誤差判斷：誤差判斷： 在一般情況下，測量誤差同時包含系統(tǒng)誤差和

3、偶然誤差。因系統(tǒng)誤差可以消除在一般情況下，測量誤差同時包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差。因系統(tǒng)誤差可以消除或大大減弱，當(dāng)系統(tǒng)誤差不顯著時，可認(rèn)為測量誤差僅含有偶然誤差。偶然誤差是或大大減弱，當(dāng)系統(tǒng)誤差不顯著時，可認(rèn)為測量誤差僅含有偶然誤差。偶然誤差是不能消除的，只能設(shè)法減弱其影響。不能消除的，只能設(shè)法減弱其影響。 本章討論的內(nèi)容是如何估計(jì)偶然誤差的影響。本章討論的內(nèi)容是如何估計(jì)偶然誤差的影響。注：注：測量中是不容許發(fā)生錯誤的，錯誤不屬于測量誤差范圍。測量中是不容許發(fā)生錯誤的，錯誤不屬于測量誤差范圍。第2頁/共32頁5.2 5.2 偶然誤差的特性偶然誤差的特性實(shí)例分析：實(shí)例分析：132 由于測量誤差的存在

4、，使得三角形內(nèi)角的觀測值不等于理論值，而存在真誤差由于測量誤差的存在，使得三角形內(nèi)角的觀測值不等于理論值，而存在真誤差180321 獨(dú)立觀測了獨(dú)立觀測了9696個三角形，將產(chǎn)生的真誤差按其正負(fù)號和大小并以個三角形，將產(chǎn)生的真誤差按其正負(fù)號和大小并以0.50.5 為誤為誤差區(qū)間排列于下表。差區(qū)間排列于下表。第3頁/共32頁誤差區(qū)間誤差區(qū)間 d 為正值為正值 為負(fù)值為負(fù)值個數(shù)個數(shù) v 頻率頻率 v/n 頻率頻率/組距組距個數(shù)個數(shù)v頻率頻率v/n頻率頻率/組距組距0.00.5 19 0.1980.396200.2080.4160.51.0 13 0.1350.270120.1250.2501.01.

5、5 8 0.0830.16690.0940.1881.52.0 5 0.0520.10440.0420.0842.02.5 2 0.0210.04220.0210.0422.53.0 1 0.0100.02010.0100.0203.0以上以上 0 00000 4848 偶然誤差的特性：偶然誤差的特性：1.1.在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；2.2.絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的可能性大；絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的可能性大；3.3.絕對值相等的正、負(fù)誤差，其出現(xiàn)的可能性相等；絕對值相等的正、

6、負(fù)誤差，其出現(xiàn)的可能性相等；4.4.偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增大而趨近于零。偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增大而趨近于零。第4頁/共32頁即 0limnn n21左式中上式是由偶然誤差的第上式是由偶然誤差的第3 3特性導(dǎo)出。特性導(dǎo)出。誤差分布曲線誤差分布曲線 如果觀測個數(shù)增大，誤差出現(xiàn)在如果觀測個數(shù)增大，誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的頻率就趨向一個穩(wěn)定值。也各區(qū)間的頻率就趨向一個穩(wěn)定值。也就是說，在一定的觀測條件下，一組就是說，在一定的觀測條件下，一組偶然誤差對應(yīng)著一種確定不變的誤差偶然誤差對應(yīng)著一種確定不變的誤差分布。分布。誤差分布曲線函數(shù)式為誤差分布曲線函數(shù)式為22221)(

7、ef式中式中 稱為方差，稱為方差，2nnlim2定義為組距頻率01.0 2.0 3.0 -3.0 -2.0 -1.0 表中統(tǒng)計(jì)結(jié)果用頻率直方圖表示表中統(tǒng)計(jì)結(jié)果用頻率直方圖表示長方條面積代表誤差長方條面積代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率 f第5頁/共32頁5.3 5.3 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)精度精度誤差分布的密集或離散的程度。誤差分布的密集或離散的程度。組觀測值精度高于組觀測值精度高于組組 精度高說明觀測條件好精度高說明觀測條件好一、中誤差一、中誤差 設(shè)對某一未知量進(jìn)行了設(shè)對某一未知量進(jìn)行了n n次等精度觀測，其觀測值為次等精度觀測，其觀測值為 ，設(shè)該未知量的真值為，設(shè)該未知

8、量的真值為X X，相應(yīng)的真誤差為，相應(yīng)的真誤差為 ，則定義該組觀測值的中誤差，則定義該組觀測值的中誤差m m的平方為的平方為lll,21nn,2122limnmnXliin22212式中式中),2, 1(ni)(f0第6頁/共32頁在實(shí)際測量工作中，觀測次數(shù)在實(shí)際測量工作中，觀測次數(shù)n n有限，有限，只能計(jì)算出觀測值中誤差的估值只能計(jì)算出觀測值中誤差的估值nm測量上通常將觀測值中誤差的估值測量上通常將觀測值中誤差的估值就看作為觀測值的中誤差就看作為觀測值的中誤差 即即nm22limnmn第7頁/共32頁)(f誤差分布曲線函數(shù)式可表示為誤差分布曲線函數(shù)式可表示為22221)(memfmf21)(

9、0，當(dāng)設(shè)設(shè)組觀測值的中誤差為組觀測值的中誤差為1m2m 組觀測值的中誤差為組觀測值的中誤差為21mm 因212121mm則即即 m m 值小，觀測精度高。值小，觀測精度高。2m1m第8頁/共32頁二、相對誤差二、相對誤差相對誤差相對誤差中誤差或真誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比。中誤差或真誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比。mDDmK1距離丈量的相對誤差距離丈量的相對誤差平均返往DDDK例：5000102. 010050000102. 01000221121KmDKmDDD米；米，米；米，注意：注意：相對誤差是一個無量綱的數(shù)值。相對誤差是一個無量綱的數(shù)值。 相對誤差這一指標(biāo)僅用來衡量距離測量精度。相對誤

10、差這一指標(biāo)僅用來衡量距離測量精度。第9頁/共32頁三、容許誤差三、容許誤差誤差出現(xiàn)的概率誤差出現(xiàn)的概率mmdfmmp683. 0)()(mmdfmmp22955. 0)()22(mmdfmmp33997. 0)()33()(f -3m -2m -m m 2m 3m測量上，一般取測量上，一般取2 2倍中誤差作為誤差的容倍中誤差作為誤差的容許值，即許值，即m2容例：水平角測回互差例：水平角測回互差 豎直角指標(biāo)差的變動范圍豎直角指標(biāo)差的變動范圍4221 5221 xx錯錯誤誤誤差誤差第10頁/共32頁四、用觀測值的改正數(shù)計(jì)算中誤差（四、用觀測值的改正數(shù)計(jì)算中誤差（5.55.5節(jié)）節(jié)）設(shè)某量真值為設(shè)某

11、量真值為X X；等精度觀測值為；等精度觀測值為lll,21n1. 1. 觀測值的算術(shù)平均值觀測值的算術(shù)平均值 nlnlllxn21證明：證明：當(dāng)當(dāng)Xxn時XlXlXlnn2211將上組式取和，再除以將上組式取和，再除以n n，得，得第11頁/共32頁 XxXnln Xnx根據(jù)偶然誤差的第四特性根據(jù)偶然誤差的第四特性 0limnnXxnlim所以所以可以認(rèn)為算術(shù)平均值是最接近真值的，可以認(rèn)為算術(shù)平均值是最接近真值的，也稱為最可靠值。也稱為最可靠值。2. 2. 觀測值的改正數(shù)觀測值的改正數(shù)iilxvv觀測值的改正數(shù)觀測值的改正數(shù)第12頁/共32頁3. 3. 觀測值的中誤差觀測值的中誤差iiiilx

12、vXl因?yàn)橛幸驗(yàn)橛幸陨蟽墒较嗉樱肵xvii,Xx設(shè)代入上式并移項(xiàng)iiv上式兩邊平方求和 vvvn22 0lnlnlnxv式中第13頁/共32頁上式為 nvvn2 nnXlXnlXxi而 njijijinnn1,222222取上式平方因j)(iji為偶然誤差，根據(jù)偶然誤差的第四特性，有為偶然誤差，根據(jù)偶然誤差的第四特性，有02lim1,2njijijinn當(dāng)當(dāng)n n為有限值時，第二項(xiàng)的值遠(yuǎn)比第一項(xiàng)的值要小，可忽略不計(jì)為有限值時，第二項(xiàng)的值遠(yuǎn)比第一項(xiàng)的值要小，可忽略不計(jì)。因此有因此有 nvvnn2第14頁/共32頁根據(jù)中誤差的定義，前式寫為根據(jù)中誤差的定義，前式寫為 nvvnmm22 vvmn2

13、) 1(上式變換成上式變換成則利用觀測值的改正數(shù)計(jì)算觀測值的中誤差的公式為則利用觀測值的改正數(shù)計(jì)算觀測值的中誤差的公式為 1nvvm注意：注意：只有當(dāng)只有當(dāng)n n較大時，計(jì)算中誤差才有意義。較大時，計(jì)算中誤差才有意義。4. 4. 算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差nmM nlllx21n第15頁/共32頁例例1 1：對某角觀測對某角觀測6 6個測回，求觀測值的中誤差和算術(shù)個測回，求觀測值的中誤差和算術(shù)平均值的中誤差。平均值的中誤差。 觀測值觀測值 v vv 計(jì)算計(jì)算113648 30 - 4 162 48 26 0 03 48 28 - 2 44 48 24 +2 45 48 25 +1 1

14、6 48 23 +3 9X=1364826 v=0 vv=346 . 216341 nvvm1 . 166 . 2 nmM 提高算術(shù)平均值的精度的兩個途徑：提高算術(shù)平均值的精度的兩個途徑：1 1）通過改善觀測條件，使）通過改善觀測條件，使m m值減小。值減小。 2 2）增加觀測次數(shù)。）增加觀測次數(shù)。第16頁/共32頁例例2 2 ：對某直線丈量了對某直線丈量了4 4次，丈量結(jié)果為次，丈量結(jié)果為246.535m、246.548m246.548m、246.521m246.521m、246.529m 246.529m 。求其算術(shù)平均值、。求其算術(shù)平均值、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差。算術(shù)平均值的中誤差

15、及相對誤差。246.533x 389vvvvvvlxv1ii412152432 mmnnvvnmM7 . 5) 14(4389) 1(430001533.2467 . 5mmmxMK第17頁/共32頁5.4 5.4 誤差傳播定律誤差傳播定律 某些未知量，例如點(diǎn)的坐標(biāo)某些未知量，例如點(diǎn)的坐標(biāo)X X、Y Y，高程，高程H H等都是直接觀測量的函數(shù)。函數(shù)的中誤等都是直接觀測量的函數(shù)。函數(shù)的中誤差與直接觀測量的中誤差之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，闡述這種函數(shù)關(guān)系的定律被稱差與直接觀測量的中誤差之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，闡述這種函數(shù)關(guān)系的定律被稱為誤差傳播定律。為誤差傳播定律。由于由于 的存在，使函數(shù)的存在，使

16、函數(shù)Z Z亦產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差亦產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差 。ixZnndxxFdxxFdxxFdZ2211取上式全微分取上式全微分),(21nxxxFZ設(shè)有一般函數(shù)設(shè)有一般函數(shù)式中式中 為可直接觀測的未知量，為可直接觀測的未知量，設(shè)設(shè) 的獨(dú)立觀測值為的獨(dú)立觀測值為 ，其相應(yīng)的中誤差為，其相應(yīng)的中誤差為 、真誤差、真誤差iximilixix一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律第18頁/共32頁ixZ 和因都很小，可用都很小，可用,iidxdZxZ和代替和因此有因此有nnxxFxxFxxFZ2211設(shè)設(shè)iixFfiilx 為常數(shù)if有有nnxfxfxfZ2211系系式式寫寫出出k k個個類類似似上上式式的的關(guān)關(guān)

17、進(jìn)進(jìn)行行了了k k次次觀觀測測，則則可可假假設(shè)設(shè)對對x xi i kkkknnnnnnxfxfxfZxfxfxfZxfxfxfZ22112211221122221111第19頁/共32頁將以上各式等號兩邊平方后再相加得將以上各式等號兩邊平方后再相加得njijijijinnxxf fxfxfxfZ1,222222212122上式兩端除以k k，有njijijijinnkxxf fkxfkxfkxfkZ1,222222212122仍為偶然誤差則為相互獨(dú)立的觀測值，的觀測值因各jiiixxlx根據(jù)偶然誤差的第四特性，有根據(jù)偶然誤差的第四特性，有0limkxxjik時，上式取極限有當(dāng)kkxfkxfkx

18、fkZnknkkk22222221212limlimlimlim第20頁/共32頁根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成22222221212nnZmfmfmfm或2222222121nnZmfmfmfm上式為一般函數(shù)的誤差傳播定律。上式為一般函數(shù)的誤差傳播定律。iixFfiilx 式中式中例例1 1：證明算術(shù)平均值的中誤差為證明算術(shù)平均值的中誤差為nmM 第21頁/共32頁算術(shù)平均值算術(shù)平均值 lnlnlnnlx11121n則則nmM22nmM ilmmmmn21因因 為等精度觀測值，故有為等精度觀測值，故有nlxfii1函數(shù)對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)2222

19、22122111nmnmnmnM根據(jù)誤差傳播定律，有根據(jù)誤差傳播定律，有第22頁/共32頁 例例2 2 ： 已知觀測值已知觀測值hDmhmmmmD和高差中誤差求高差04;238257007. 0;093.118 DhtanDh 求上式全微分求上式全微分dhdDDhdh式中式中2sec;tanDhDh將全微分式轉(zhuǎn)換成中誤差將全微分式轉(zhuǎn)換成中誤差242222sectan mDmmDhmmDmmDh08. 0sectan24222 第23頁/共32頁誤差傳播定律應(yīng)用總結(jié)：誤差傳播定律應(yīng)用總結(jié)：對于一般函數(shù)一般函數(shù)設(shè)設(shè) 的獨(dú)立觀測值為的獨(dú)立觀測值為 ，其相應(yīng)的中誤差為，其相應(yīng)的中誤差為),(21nxx

20、xFZixilim2222222121nnZmfmfmfm式中iixFfiilx 22222221212nnZmfmfmfm取上式全微分取上式全微分nndxxFdxxFdxxFdZ2211轉(zhuǎn)換成中誤差平方的表達(dá)式轉(zhuǎn)換成中誤差平方的表達(dá)式第24頁/共32頁二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例1. 水準(zhǔn)測量的精度水準(zhǔn)測量的精度（1 1）一個測站的高差中誤差）一個測站的高差中誤差單儀高法：單儀高法： bah設(shè)設(shè) h h 的中誤差為的中誤差為；站ma a、b b 的中誤差為的中誤差為mmmmmmbhahdbdadh21; 1222站站：或者求第25頁/共32頁雙儀高法：雙儀高法：bahbah 241412121222222hhhhhmmmmhhhhhmmm 站mmmh2站說明：說明：兩個等精度獨(dú)立觀測值之和或差的中誤差，等于觀測值中誤差的兩個等精度獨(dú)立觀測值之和或差的中誤差，等于觀測值中誤差的 倍。倍。2 兩個等精度獨(dú)立觀測值的平均值的中誤差，等于觀測值兩個等精度獨(dú)立觀測值的平均值的中誤差，等于觀測值中誤差的中誤差的 倍。倍。21第26頁/共32頁（2 2）一個測段的高差中誤差）一個