分式的化簡與求值

1、平陽 xx 中學(xué)競賽講義第二講分式的化簡與求值要解決有關(guān)分式的問題，就必須準確掌握分式的概念，分式的基本性質(zhì)、分式的四則運算等知識，本講主要講述分式的變形和求值的技巧。給出一定的條件，在此條件下求分式的值稱為有條件的分式求值而分式的化簡與求值是緊密相連的，求值之前必須先化簡，化簡的目的是為了求值，先化筒后求值是解有條件的分式的化簡與求值的基本策略一、分式的分拆例 1 若 x取整數(shù)，則使分式6x3 的值為整數(shù)的 x的值有個2x1例 2 將分式化為部分分式。例 3 化簡分式：分析 直接通分計算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多例 4 化簡分式：分析：三個分式一齊通分運

2、算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然后再化簡例 5 化簡計算 ( 式中 a， b， c 兩兩不相等 ) ：似的，對于這個分式，顯然分母可以分解因式為(a -b)(a -c) ，而分子又恰好湊成(a -b)+(a -c) ，因此有下面的解法例 6 求能使能被 n+10 整除的正整數(shù) n 的最大值。分析：解決整除性問題的一個常用方法是把整式部分分離出來，從而只須考慮后面的分式部分的整除性，這樣有利于簡化問題。二、參數(shù)法例 7、若 xyz ,且 x y z123412，求 x ,y ,z（升中題）。解：設(shè)xyzk（k 0） ,那么 x=2k、 y=3k 、 z=4k234代入x+y z=112,

3、 得： 2k 3k 4k=112, 解得：k=112，所以 :x=1 ， y= 164， z= 1 .3評注 ：引入?yún)?shù)，把三個未知數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的一元方程問題。例 8、求代數(shù)式x22x3 的最大值和最小值？2x22x1三、倒數(shù)法例10已知,求.例 11 若 ab1 ， bc1 ， ac1 求abc的值a b3 c b 4 a c 5 ab bc ac例 12 求證無論為什么整數(shù)，分式均不可約。分析： 對于某些非零代數(shù)式來說，如果從取倒數(shù)的角度來分析，有可能揭示出一些在的特征，從而找到解題的突破口。四、整體代入例 132a 2a 1a4已知 a 2a 1 0，求分式 (22a a24a 4)

4、2的值aa分析：本例是將條件式化為“ a22a1 ”代入化簡后的求值式再求值，這種代入的技巧叫做整體代入例 14適當變形，化簡分式后再計算求值五、活用特殊值0和±1例15已知abc0, 求 c( 1 a1 )bb(1c1)aa(11) 的值bc例 16 已知 abc 1，求：abc的值ab a 1bc b 1ca c 1例 17 已知 ax bycz 1，求111111的值1 a 41 b 41 c 41 x41 y 41 z4六、從結(jié)論中尋找解題途徑（學(xué)會轉(zhuǎn)化等價命題）1111,求證： a、 b、 c中至少有一個等于 1例 18 若： a b cbca例 19 不等于 0 的三個數(shù)a、 b、 c 滿足 1111，abcabc（ 1） 求證： a、 b、 c 中至少有兩個互為相反數(shù)。（ 2）11112 n 1b 2 n 1c 2 n 1a 2 n 1b2n 1c 2n 1a例 20設(shè)： Ab2c 2a 2, Ba 2c 2b 2 , Ca2b2c22bc2ac2ab求證：（