利用空間向量求空間角

1、利用空間向量求空間角(1) 兩條異面直線所成的夾角范圍：兩條異面直線所成的夾角的取值范圍是0 ： _二_ 90 :。向量求法：設(shè)直線a,b的方向向量為a,b，其夾角為二，若a與b的夾角為銳角， 則日=cosa,b)，若a與b的夾角為鈍角則° =兀-a,b)，所以有cos日二cosQ b?練習(xí) 在正方體ABCD-A iBiCiDi中,M是AB的中點(diǎn)，則對(duì)角線DBi與CM所成角的余弦值為(2) 直線與平面所成的角定義：直線與平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角范圍：直線和平面所夾角的取值范圍是 0乜二-90 :。向量求法：若n是平面“的法向量 AB是直線L的方向向量，則L小

2、所成的角"-AB，n或%門氣，所以sinosAB，n練習(xí)：1:正方體 ABCD AiBiCiDi中，E,F分別是AB,CiDi的中點(diǎn),所成的角2 :在三棱錐 POCB 中，P0 平面 OCB,OB OC, OB=OC= 、2求AiBi與平面AiEF,PC=4，D為PC的中點(diǎn)，求0D與平面PBC所成的角(3) 二面角二面角的取值范圍是0：_二_180 :。二面角的向量求法：方法一：在兩個(gè)半平面內(nèi)任取兩個(gè)與棱垂直的向量，則這兩個(gè)向量所成的即為所求的二面角的大?。环椒ǘ涸O(shè)n1，n2分別是兩個(gè)面的法向量，則向量 n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)即 為所求二面角的平面角的大小。(4)點(diǎn)到平面的距

3、離A為平面a外一點(diǎn)(如圖),n為平面a的法向量，過A作平面a的斜線AB及垂線AH.,斜線ABA與平面a的夾角為二|AB'|I AB | | n| AH |=|AB| sin v -| AB | |cos ： AB, n | AB n|n|典題賞析題目1 :如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,側(cè)棱 PA_ 底面 ABCD，AB 二 3，BC =1，PA = 2，E為PD的中點(diǎn).(I)求直線AC與PB所成角的余弦值;(U)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE 面PAC ,并求出點(diǎn)N到AB和AP的距離.解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A,B,C,D,P,E 的坐標(biāo)為 A(

4、0,0,0)、B(、3,0,0)、C( . 3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0-,1)，2從而 AC =( 3,1,0), PB =( 3,0,-2).設(shè)AC與PB的夾角為r，則AC PB 33的cos,| AC I I PB I 2.7143 '7AC與PB所成角的余弦值為百(U)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,z)，則一 1NE =(-x,1-z)，由 NE_ 面 PAC 可得,吐竺=0,即 NE AC=0.f1(x,1z) (0,0,2) =0,2化簡(jiǎn)得丿1 廠(-x, ,1 - z) (. 3,1,0) = 0.22-1=0,4冷.3x

5、 =6z=1即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(¥,0)，從而N點(diǎn)到AB和AP的距離分別為1,嚴(yán)6 6題目2.已知正方體ABCD -ABiCiDi的棱長(zhǎng)為a.求點(diǎn)Cl到平面AB1D1的距離;求平面CDDiCi與平面ABiDi所成的二面角余弦值A(chǔ)iBiADi解(i)按如圖3-i所示建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(0,0,0)、Di(0，a, a)、3(a, 0, a)、Ci(a, a, a)，向量 GA = (-a,-a,-a), ADi = (0,a,a), AB =a第02a題.Ci設(shè)n =(x, y,z)是平面ABiDi的法向量，于是，有丄ay az = 0，即 aX az = 0令z

6、-i,得x =d, y.于是平面ABiDi的一個(gè)法向量n =(i, i, -i)因此，Ci到平面ABiDi的距離Ci A n(2)由知，平面ABiDi的一個(gè)法向量是n = (i,i,-i).又因AD _平面CDDiCi ,故平面CDDiCi的一個(gè)法向量是ni二(0,i,0).設(shè)所求二面角的平面角為二(結(jié)合圖形可知二面角是銳角，即 二為銳角)，則nninni3cos -=題目3.如圖，四棱錐P -ABCD中，PA-平面ABCD，底面ABCD是直角梯形且 AB/CD ,BAD =90 :, PA=AD=DC=2 , AB =4。(1)求證：BC - PC ;依題意，PB-0.PC n = 0”2b - c = 0a + b c = 0 ，取題目3(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離解：(1 )如圖建系，則 B(0,4,0),D(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2)BC =(2, 一2,0) ,PC =(2,2, 一2),BC PC = 2 2( - 2) 2 = 0，故 BC - PC o(2) PB = (0,4 , - 2) , PC = (2 , 2 , - 2)，設(shè)平