不定積分例題及答案

1、第4章不定積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容不 不定設(shè) f(x) , xw I ,若存在函數(shù)F (x),使得對任意xw I均有F'(x)= f (x)積分積分或dF(x)= f(x)dx ,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)。的 概f (x)的全部原函數(shù)稱為f (x)在區(qū)間I上的不定積分，記為念注：(1)若f (x)連續(xù)，則必可積；(2)若F(x),G(x)均為f (x)的原函數(shù)，則F(x) =G(x) +C。故不定積分的表達(dá)式不唯一。性質(zhì)性質(zhì)1： dx -f f (x)dx= f (x)或 df f (x)dx= f (x)dx ；性質(zhì) 2： jF'(x)dx = F(x)+C 或 J

2、dF(x) = F(x)+C ;性質(zhì) 3: cc f (x) ± Pg(x)dx =cc jf (x)dx± P Jg(x)dx , « , P 為非零常數(shù)。計算第一換元積分法設(shè)f (u)的原函數(shù)為F(u) , u =9(x)可導(dǎo)，則有換元公式：方(湊微分法)法第二類換元積設(shè)x=5(t)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，f 中(t)中'(t)有原函數(shù)F(t),分法則f(x)dx = ff(5(t)5'(t)dt = F(t) + C = F(中,(x)+C分部積分法有理函數(shù)積若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和；對真分式的處理分按情況確定。本章

3、在下一章定積分中由微積分基本公式可知一求定積分的問題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題；的地后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都?xì)w結(jié)為對定積分的求位與解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個積分學(xué)理論中作用起到了根基的作用，積分的問題會不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點(diǎn)隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會慢慢體會到！課后習(xí)題全解習(xí)題4-11.求下列不定積分知識點(diǎn)：直接積分法的練習(xí)一一求不定積分的基本方法思路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分dxx2 x思路：被積函數(shù)1x2/x =x5

4、2由積分表中的公式（2）可解。dx5x 2dx(2)(3.X-)dx思路：根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：(Vx-2)dx = j(x3 -x 2)dx = jx3dx - x 2dx(3) f(2x +x2)dx思路：根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：J(2x 十x2)dx = J2xdx 十 Jx2dx =2xln 23x3C (4) 、, x(x3)dx思路：根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng),分別積分。解：f/x(x -3)dx = x2dx -3 fx2dx2 -2x2 C (5) |3x4 3x2 - 1x2 1dx思路：觀

5、察到3x4 3x212=3x后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。3x21x2 1一 2 .dx = 3x dx1 x,32dx = x arctan x C (6) |x(12) 3XeXdx思路：注意到X2_ X21 -1 _1 X2 - 1X2一11 X2,根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分解：2dx=fdx_f2dx = x-arctanx+C.1 x1 x注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個有理的假分式，通常先將其分解為一個整式 加上或減去一個真分式的形式，再分項(xiàng)積分x 1 34 j( -十T- -T)dx 342

6、x x x思路：分項(xiàng)積分。x1341134解： K+ - -)dx =- fxdx- f-dx +3fx dx 4fx dx2xxx2x2)dx,1-x2思路：分項(xiàng)積分。2)dx =3 ,1-x211 x21dx -2dx = 3arctan x -2arcsin x C.1 -x2 (9) x x xdx思路:=?看到 Jxjx« =x7=x8,直接積分。"78 15解：fyxvxVxdx = fx8dx =x8 +C.15(10)22x (1 x )dx思路：裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。行111111斛：2-dx =1(一f -2)dx = I _2dx - J2dx = 一一 -

7、arctan x+ C.x (1 x ) x 1 x x 1 x x2x ( e (ii) x dxex-1/xXX解：(dx = jdx = J(ex+1)dx = ex+x+ C.XXe -1e -1思路：初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)嘉的乘法：指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然 3xex = (3百xo一(3e)解：13 e dx = f(3Q dx =+C.ln(3e)2 (13) cot xdx22.思路：應(yīng)用三角怛等式cot x=csc x-1 ”。，一, 22解：fcot xdx = (csc x -1)dx = -cotx x +C(14)2 3x -5 23xx-dx思路：被積函數(shù)xx2 3 -5

8、23x=2 -5(-)x,積分沒困難。32 3x -5 2x3x(2)x,2、5(Q)一dx = (2 -5(-) x)dx = 2x-5一3+ C.3ln2-ln32 x , (15) cos dx2思路：若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降嘉，再積分。2 x .解：cos d = f21 cosx,11 . 八dx x sinx C.221(16) dx1 cos2x思路：應(yīng)用弦函數(shù)的升降嘉公式，先升寨再積分。一 1.解：fdx =1 cos2xcos2x(17) dxcosx - sinx72cos x,12.1.-dx = sec xdx = - tan x C.222.2思路：不

9、難，關(guān)鍵知道cos2x=cos x -sin x = (cosx+sinx)(cosx - sinx)。cos2x_解：dx = (cosx + sin x)dx = sin x cosx + C.cosx-sinxcos2x ,(18) 22dxcos x sin x22思路：同上題萬法，應(yīng)用cos2x=cos x -sin x ,分項(xiàng)積分。. cos2x解：1 22-cos x sin x2_ 2, cos x -sin x ,dx 二 22-dx 二cos x sin xsin x.1dx - 2xcos x(19)(、+ -1 -x 1 x 1 -x思路：注意到被積函數(shù) f + = +

10、1 x . 1 - x1 , x22 一 r ,應(yīng)用公式(5)即可。1 -x2, 1 - x2解：k1 x、,c 11-x)dx=21 - x1 xdx = 2arcsinx C.1 -x21 cos x (20)dx1 cos2x2 _1 cos x 思路：注意到被積函數(shù) 1 - cos2x21 cos x2cos2 x12=- sec x21- -+ -,則積分易得。22.1 cos x ,解：dx =1 cos2x12,1,一 sec xdx - dx =22tan x xC.2、設(shè) Jxf(x)dx =arccosx+C，求 f(x)。知識點(diǎn)：考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。d

11、 .思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1 ：f f(x)dx = f (x)即可 dx解：等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得：3、設(shè)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為sinx ,求f (x)的原函數(shù)全體。知識點(diǎn)：仍為考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。解：由題意可知，f (x) = Jsin xdx =-cosx+C1所以 f(x)的原函數(shù)全體為：J(cosx+C1)dx =sinx+C1x + C2。x1 2 x xxe4、證明函數(shù) 一e ,e shx和e chx者B是的原函數(shù)2chx-shx知識點(diǎn)：考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：只需驗(yàn)證即可。力 I* e2x 工

12、 d 1 2x . d x . d x . 2x解：.=e ,而(-e )=e shx=echx=echx -shxdx 2 dxdx25、一曲線通過點(diǎn)(e ,3),且在任意點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的方程。知識點(diǎn)：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。i、d1解：設(shè)曲線方程為y = f (x),由題意可知： f (x)= ，,f (x) = ln | x | +C ； dx x又點(diǎn)(e2,3)在曲線上，適合方程，有 3 = ln(e2)

13、+C,，C =1 ,所以曲線的方程為f (x) =ln |x|6、一物體由靜止開始運(yùn)動，經(jīng) t秒后的速度是3t2(m/s),問：(D在3秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？(2)物體走完360米需要多少時間？知識點(diǎn)：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設(shè)物體的位移方程為：y = f (t), d則由速度和位移的關(guān)系可得：f(t)=3t2= f(t)=t3+C,dt又因?yàn)槲矬w是由靜止開始運(yùn)動的，:f(0) =0,二C = 0;. f(t)=t3。 一 3 一(1) 3秒后物體離開出發(fā)

14、點(diǎn)的距離為：f(3)=3 =27米;令 t3 =360= t =3/360 秒 習(xí)題4-21、填空是下列等式成立.知識點(diǎn)：練習(xí)簡單的湊微分 思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可 。110.1.解：(1)dx = d(7x 3);(2) xdx = d(1 x2);(3) x3dx = d(3x4 2);72122、求下列不定積分。知識點(diǎn)：(湊微分)第一換元積分法的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實(shí)就是看看積分表達(dá)式中，有沒有成塊的形式作為一個整體 變量，這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也 非常有效，這在課

15、外例題中專門介紹！(i)Je3tdt思路：湊微分。11解：je dt=-Je d(3t)=-e +C333(2) (3 -5x) dx思路：湊微分31314解：K35x) dx = - f(3-5x) d(3 -5x) =-(3-5x)4 +Cc 1.(3) dx3 -2x思路：湊微分。-1.解：dx =3 -2xd(3 - 2x)1八=ln |3-2x| C.2思路：湊微分1111-112 一解：f . dx = f .d(5 -3x) = 1(53x) 3d(5 -3x) =(5-3x)3 +C.35 -3x 3 3 5 -3x32x(5) (sin ax -eb)dx思路：湊微分xx1r

16、x(sin ax-eb)dx = sinaxd(ax)-b ebd (-) ab1, h一- cosax - beb C a (6)思路：如果你能看到d (JT)=產(chǎn)dt,湊出d (JF)易解。解：2、t=2 cos、td ( t) = 2sin t C(7) tan10 xsec xdx思路：湊微分一 102101 一 11解：(tan xsecxdx= tan xd(tanx) = 彳tan x+C.dx(8) xln xln In x解：f dxxln xln ln xIn xln In x思路：連續(xù)三次應(yīng)用公式（3）湊微分即可。d(ln |ln x|)ln |ln ln x| C In

17、 In x(9) tan . 1 x2xdx,1 x2是什么，是什么呢？就是 d .1 x2 !這有一定難度!xdx思路：本題關(guān)鍵是能夠看到 一j,1 x2解：tan Ji +x2 xx- = ttan，1 - x2d Ji +x2 = -ln | cos，1 十 x2 | +C ,1 x2dx(10)sinxcosx思路：湊微分。方法一： 倍角公式sin 2x =2sin xcosx。方法二：將被積函數(shù)湊出tanx的函數(shù)和tanx的導(dǎo)數(shù)。方法三：三角公式sin2 x + cos,x = 1 ,然后湊微分。(11) edx e"思路：湊微分:dxexdx-x e2x edex1 e2

18、xdex1 (ex)2exdx2xe 1dex 2 - arctanex C 1 (ex)2(12)xcos(x2)dx思路：湊微分。212 . 2解：Jxcos(x )dx =3 Jcosx dxsinx2 C 2(13). 2xdx-3x2、 xdx思路：由1dx22、1 d(2-3x )湊微分易解。2、2 -3x26 2-3x2xdx解：f 2-31 d(2 -3x2) _6,2 13一2-(2-3x2)%d(2-3x2)=-61 * 2-3x2 C32 ,(14) cos ( t)sin( t)dt思路：湊微分。21212 ,解：cos (切t)singt)dt = Jcos (ot)

19、sin(ot)dot = 一一 fcos (切t)dcosgt)(15)X思路：湊微分。解：sin xx=434 1 - x4dx|1 - x4 | C.(16)3cos xdx思路：湊微分。sin x3cos xdx1 cosx =-22 cos xC.(17) r220 一xdx思路：經(jīng)過兩步湊微分即可。解：亍,220-xdx =10、220-x10dx1010 x10C1 -=一 arcsin、2 10(18)-91 -xdx 2 -4x思路：分項(xiàng)后分別湊微分即可。解：f L,91 -x- 4x2dx =.91 dx - 4x2(19)dx2x2 -1dx、9 - 4x2思路：裂項(xiàng)分項(xiàng)后

20、分別湊微分即可丘力dx解：22x2 -1dx_= ( (.2x 1)( ,2x -1) 2,2x -1.2x 1)dx，, 、 xdx (20) 2(4 -5x)2思路：分項(xiàng)后分別湊微分即可。. xdx 1 / 4 -5x -4、 ，1/1,1解：2=-(葭)dx = (-42) d(4 -5x)(4 -5x)25 (4 -5x)225 4 -5x(4 -5x)2、x2dx (21)(x-1)100思路：分項(xiàng)后分別湊微分即可。2 . x dx解：J7J00(x -1)2(x -1 1) dx100(x -1)-(x-1)2一 (/ dJ00(x-1)一 (x -1)1,27J00 . 7700

21、 )dx(x-1) (x -1)(22)等8x -1思路：裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。加 xdx解：f-8x -1xdx44(x -1)(x1)11112 )xdx = - ()dxx 14 x -1 x 1(23) cos3 xdx思路：湊微分。cosxdx = d sin x。解：cos3xdx = fcos2x cosxdx = Jcos2 xdsinx= f(1-sin2x)dsinx(24) co/(t )dt思路：降嘉后分項(xiàng)湊微分。解：Jcos2(0t + 中)dt = J1 cos2( t )11dt dt cos2( t )d2( t )24 (25)sin2xcos3xdx思路

22、：積化和差后分項(xiàng)湊微分。.C C. 1,L11.,解： 牌n2xcos3xdx = (sin5x-sinx)dx = isin5xd5x - fsinxdx 2102 (26)sin5 xsin 7xdx1cos12xd(12x)思路：積化和差后分項(xiàng)湊微分。一 . L . r ,11解：,sin5xsin7xdx= - (cos2x -cos12x)dx =- jcos2xd2x .3, (27)tan xsecxdx思路：湊微分 tan x secxdx = d secx。3222解：tan xsecxdx = tan x tanxsecxdx = tan xdsecx = (sec x -

23、 1)d secxarccosx (28)dxiTx2-1,、思路：湊微分 dx = d( - arccos x)。.1 -x2arccosxarccosx解:110 dx = -H0arccosxd arccosx = -+ C.,1-x2ln10(29)dx(arcsinx)2 .1 - x2-1思路：湊微分 ,d dx =d(arcsin x)。d -x2.dxd arcsinx 1-解：f,= = 22 =+C(arcsinx)2、1 - x2(arcsin x) arcsin x0C、arctan Jx , (30) dx.x(1 x)思路：湊微分arctan x.x(1 x)dx

24、= 2arctang d & 2 2arctanVxd (arctanVx)。1 (x)2解arctan" dx = j2arctany d & = 2arctan x/xd (arctanVx)-x(1 x) 1 ( x) (31) lntanx dxcosxsin x2思路：被積函數(shù)中間變量為tanx ，故須在微分中湊出tanx ，即被積函數(shù)中湊出sec x ,玲 ln tanx , 解：dx = fcosxsin xln tanx一/,cos xtanx, lntanx .dx = d tanx = ln tanxd(ln tanx)tanx11nx (32)d

25、x(x In x)思路：d (x ln x) = (1 In x)dx11 In x ,解：f2-dx =(xln x)一(xln x)d(xln x)二x In x(33)解：方法思路：將被積函數(shù)的分子分母同時除以ex,則湊微分易得。方法二: 思路：分項(xiàng)后湊微分思路：將被積函數(shù)的分子分母同時乘以xe ,裂項(xiàng)后湊微分。dx (34) 6x(x 4)解：方法 思路：分項(xiàng)后湊積分。方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。人 11令 x = -，則 dx = 一二 dttt2dx (35) 2x (1 - x )解：方法 思路：分項(xiàng)后湊積分。方法二：思路：利用第二類換元法的倒代換。人 1.1 .令

26、x =-，則 dx = 一下dttt2-(t6t4t21)dt -()dt = - (t6 t4 t2 1)dt - (- - )dt3、求下列不定I Ct2 -12 t -1 t 11 5131t-1111111111 -x t t -4一 一 ln| C 二一 7 5 - - - - ln |532t 17x5 x3 x3x 21 x積分 知識點(diǎn)：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習(xí) 思路分析：題目特征是-被積函數(shù)中有二次根式，如何化無理式為有理式？三角函數(shù)中，下列二恒等式起到了重要的作用。為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限

27、制在銳角范圍內(nèi)，得出新 變量的表達(dá)式，再形式化地?fù)Q回原變量即可。(1)dx1,-1 - x2思路：令x = sint, t <,先進(jìn)行三角換元，分項(xiàng)后，再用三角函數(shù)的升降嘉公式 2打解：令 x = sint, t（一，則 dx = costdt。2t=t - tan C = arcsin x 2x1；1 - x21 - 1 x -、+C.(或=arcsin x -+C )t sint 1 -cost2(萬能公式 tan=，又 sint = x時，cost=J1 -x)2 1 cost sint,x2 -9(2) dxxji思路:令 x = 3sect,t w (0,),三角換元ji解：令

28、 x =3sect,t 亡（0,萬）,dx =3secttantdt3 . x2 -9 xx2-9、(x=3secx時，cosx=-,sinx=,tanx=)xx3dx(3) (x2 1)3EM ., LI n一思路：令x = tant, t < a，三角換兀。31，一，一 ,2，解：令 x = tant, t m3，貝ij dx = sec tdt(4)dx.(x2 a2)3一， 一 . . n 思路：令x = atant, t| < ,三角換兀解：令 x =atant, t2< ,貝I dx = asec tdt2 (5)dx2思路：先令u = x ,進(jìn)行第一次換兀；然后

29、令u 二 tant, t31< 一,進(jìn)行第二次換元22,2,x 1.1 x 1.2 A-=dxdx ,令 ux.x12 x2 x4 12 _=x得：x +1 -1 u +1. n、一(dx = 一 du，令 u = tant, t < 則 du = sec tdt ,x , x4 12 u v u2 12(與課本后答案不同)(6)5 - 4x -x2dx思路：三角換元，關(guān)鍵配方要正確。解：；5 4x x2 =9 (x +2)2,令 x +2 = 3sin t, t<,則 dx = 3costdt o14、求一個函數(shù) f(x),滿足 f (x) = .且 f (0) =1 ,1

30、 x1, 一八一，思路：求出. 的不定積分、由條件 f (0) =1確定出常數(shù)C的值即可1 x11解：.J :dx=f 1 d(x 十1) =2 J1、x+C.1 x 1 x令 f(x) = 2j1+x +C ,又 f (0) =1,可知 C = 1,11 一 '.一55、設(shè) 1n = tan xdx,求證：In =tan x In-2，并求 Jtan xdx。n T思路：由目標(biāo)式子可以看出應(yīng)將被積函數(shù)tann x分開成tann“ xtan2 x，進(jìn)而寫成：n 22n 22n 2tan x(sec x-1) = tan xsec x - tan x,分項(xiàng)積分即可。證明：In = Jta

31、nnxdx= 1(tannq xsed x-tann"x)dx = Jtannq xsec2 xdx- Jtannxdx習(xí)題4-31、求下列不定積分知識點(diǎn)：基本的分部積分法的練習(xí)思路分析：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微分。”的原則進(jìn)行分部積分的練習(xí)。 (1) farcsinxdx思路：被積函數(shù)的形式看作 x0 arcsin x,按照“反、對、嘉、三、指”順序，募函數(shù)x0優(yōu)先納入到微分號下，湊微分后仍為dx解：arcsin xdx = x arcsin xxf,1 -x2 . 一 (2) Jln(1 +x )dx思路：同上題 farctanxdx思路

32、：同上題。,.112、dx = x arcsin x -d(1-x)解：Jln(1 +x2)dx =xln(1+x2)=x ln(1x2) -dx,dx解： arctan xdx = xarctan x - x21 x22: xarctanx-1 胃(4) e2xsin-dx 2思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。右* *2x xx 1 2 x、1 -2x x 1J2x 1 x .解：*e sin-dx =sin -d(-e )= e sin十一1e - cos- dx22 22 2 2222(5) x arctanxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。32

33、x解：fx arctan xdx = (arctan xd ()= 3與arctanx-4二2dx一 x . (6) xcos dx 2解：fxcosxdx =2 fxdsinx =2xsin安-2 fsin-dx = 2xsin- -4 sin-d - 222222 2思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可2.(7) xtan xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。解：fxtan2xdx= fx(sec2 x _ 1)dx = (xse(2 x -x)dx = fxsec2 xdx - xdx 2.(8)ln

34、 xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。解：fln2xdx = xln2 x - x 2ln x 1dx = xln2 x _ 2 jln xdx = xln2 x _ 2xln x + 2 jx 1dx xx(9) xln(x -1)dx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可2 x 解：fxln(x-1)dx= fln(x-1)d一 =2 x . dx-x2 ln(x -1)- 22 x -1ln x(10)dxx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可解：f ln 2xdx = jln2 xd (-1) = -1 ln2 x + J121n x -

35、dx = -1 ln2 x + 2 -ln-2xdx xx x x x xx(11) cosln xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。-1解：* Jcosln xdx = xcosln x + Jxsin ln x dx = xcosln x + Jsinln xdx x(12) lnxdx x思路：詳見第(10)小題解答中間，解答略。(13) xn ln xdx(n : -1)思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可n 1.nx1n 1解：|x ln xdx = ln xd=xn 1 n 1ln x - - xn 1 1dxn 1 x(14) x2edx思路：

36、嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可解：Jx2e"dx = x2e" + Je“2xdx = x2e" 2xe" + 2Je"dx(15)x3(lnx)2dx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可3221 41 42141解：x (lnx) dx = (ln x) d(x ) = x (ln x) - x 2ln x - dx '''444x,、ln In x ,(16)dxx思路：將積分表達(dá)式ln ln xdx寫成ln ln xd(ln x),將In x看作一個整體變量積分即可。 xln ln x1

37、11解：dx = ln ln xd(ln x) = ln xln ln x - ln x dx = ln xln ln x - - dxxln x xx (17) xsin xcosxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可,1. c ,1,1 C、1 c 1 c .解： xsinxcosxdx= -xsin2xdx=- xd(-cos2x) =一xcos2x+- cos2xdx22244一 22 x .(18) x cos - dx2思路先將cos2 x降嘉得1 * 8sx ,然后分項(xiàng)積分；第二個積分嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可 2222 x .12 12、.1

38、2.12.解：fx cos -dx= f(x +x cosx)dx = - fx dx+ fx cosxdx22222 (19) (x2 -1)sin 2xdx思路：分項(xiàng)后對第一個積分分部積分。解：(x2 1)sin2xdx= fx2sin2xdx- Jsin2xdx= xx2d (-cos2x) + - cos2x (2。)Je"xdx思路：首先換元，后分部積分。解：令 t =3/x ,則 x =t3, dx =3t2dt, (21) (arcsinx)2dx= x(arcsinx)2 2.1= x(arcsinx)2 2.1思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。解：

39、方法一:方法二: (23)ln(1 x)dx思路：嚴(yán)格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。ln(1 x)rdx=ln(1 x)d(2 . x)=2 , x ln(1 x) -dx令 t = . x ,則 dx = 2tdt,所以原積分,n(1x)dx =2豉m(1 +x) - Wx +4arctan Vx + C。.x (24)ln(1ex)dx-22 2arcsin x解： Karcsin x) dx = x(arcsin x) - x dx. 1-x2一x2 arcsinx -2 1 -x2 -x dx1-x2-x2 arcsinx - 2 dx = x(arcsinx)2 2.1

40、- x2 arcsinx - 2x C. x - 2(22) e sin xdxx二 exdx1 ex思路：嚴(yán)格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。ln(1 xe )dx = ln(1ex)d(-e) = -eln(1exe1注：該題中 7dx的其他計算萬法可參照習(xí)題 4-2, 2 (33)。1 ex1 x(25) xlndx,1 x , 解：fx lndx1 -x,1 x ,1 2、1 2 , 1 x 121-x 1-x1x,=lnd(x ) =-x ln一一 x 2-dx1 -x 221-x 21 x (1-x)2,1 x .注：該

41、題也可以化為xlndx = fxln(1+x)-ln(1 -x)dx再利用分部積分法計算。1 -xdx (26)sin2xcosx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。2思路：將被積表達(dá)式然后分部積分即可dxdx sec xdx d tan x寫成2二=sin 2xcosx 2sin xcos x 2sin x 2sin x2.dxdxsec xdx d tan x解：(二-=1f= jsin 2xcosx 2sin xcos x 2sin x 2sin x2、用列表法求下列不定積分。知識點(diǎn)：仍是分部積分法的練習(xí) 思路分析：審題看看是否需要分項(xiàng)，是否需要分部積分，是否需要湊微分。

42、按照各種方法完成。我們?nèi)匀挥靡话惴椒ń?出，不用列表法。 (1) xe3xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。解：jxe3xdx= jxd(1e3x) =1 xe3x1 je3xdx =1 xe3x 1 e3xd3x=1(x-1)e3x +C.3333933(2) (x 1)exdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。解：J(x+1)exdx= j(x+1)dex =(x+1)ex - Jexdx = xex +C。2 (3) x cosxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可。解：jx2 cosxdx = Jx2d sin x =x2 si

43、n x -2jxsin xdx = x2sin x + 2Jxdcosx (4) (x2 1)e"dx思路：分項(xiàng)后分部積分即可。解：(x2 +1)e/dx = fx2edx + fedx = jx2d(e«) + jedx (5) xln(x 1)dx2dx1 21x ln( x 1)-22x1又：f(x)dx=snx C, f(x)=xxcosx -sin xxcosx - sin x,xf(x):；12、解：fxln(x+1)dx= fln(x+1)d(x )=x e cosxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對、嘉、三、指”順序湊微分即可 解：'/ Je"co

44、sxdx = j，cosxd(-e-x) = e"cosx fe-xsin xdxsin x 一一 3、已知sne是f (x)的原函數(shù)，求fxf'(x)dx。 x知識點(diǎn)：考察原函數(shù)的定義及分部積分法的練習(xí)。sin x 思路分析：積分fxf (x)dx中出現(xiàn)了 f (x),應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分，條件告訴你 snf是f(x)的原函xsin x數(shù)，應(yīng)該知道ff(x)dx=s+C.x解：7 fxf (x)dx = Jxd(f (x)=xf (x) f f (x)dx3x - xx ，、e 4、已知 f(x)= ，求 Jxf (x)dx。 x知識點(diǎn)：仍然是分部積分法的練習(xí) 思路

45、分析：積分Jxf ”(x)dx中出現(xiàn)了 f ”(x),應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分解:'/ fxf "(x)dx = Jxd(f (x) =xf (x) -f '(x)dx =xf '(x) - f (x) +C.e xe - e又，f(x)= ,. f (x)=-xxex(x-1)2xxf (x)=ex(x-1).; xdx1 cosx n -2. 5、僅 I n = fn , (n 2 2)；證明：I n = -n 十1n4。sin xn-1 sin x n-1知識點(diǎn)：仍然是分部積分法的練習(xí)。cosx 一.1,、，思路分析：要證明的目標(biāo)表達(dá)式中出現(xiàn)了In,

46、乙一和1nl 提示我們?nèi)绾卧诒环e函數(shù)的表達(dá)式一中變出sinn'xsinnxcosxsinn1 x1可變?yōu)? 一， E和 一呢？這里涉及到三角函數(shù)中1的變形應(yīng)用，初等數(shù)學(xué)中有過專門的介紹，這里sinn , x,22sin x +cos x o22證明： ，1 = sin x - cos xIndxL 二sin x2 cos x,I-7 dx I sin x_ 22sin x cos x- nsin x2cos xdx = ndxsin xcosx.,dsinx In/ sin xcosx _.sin x - sin x n _ _ .sin xnn 4一sin x sin x-nsin2nsin xInsin2x .k 二2cos xdxsin xsin2xcos x ,dx In/ 6、設(shè)cosx n-1 - I n 2sin x2cos x ,n dx Insin xcosx nd- I n 2sin xcosxnJ- sin x1I n _2 nI n _ nI n _2I n _2笑 nIn(n - 2)In/ sin xcosx n -2+n1 sinnlxn -1In _2 .一一 -1,f(x)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，f (x)為其反函數(shù)，且J f (x)dx = F (x)+C ,求:jf(x)dx。知識點(diǎn)：本題考察了一對互為反函數(shù)的函數(shù)間的關(guān)系，還有就是